Grupo Harada-Norton

Grupo simple esporádico

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo Harada-Norton HN es un grupo simple esporádico de orden

   273.030.912.000.000

= 2 ¹⁴  · 3 ⁶  · 5 ⁶  · 7  · 11  · 19

≈ 3 × 10¹⁴ .

Historia y propiedades

HN es uno de los 26 grupos esporádicos y fue encontrado por Harada  (1976) y Norton  (1975)).

Su multiplicador de Schur es trivial y su grupo de automorfismo externo tiene orden 2.

HN tiene una involución cuyo centralizador es de la forma 2.HS.2, donde HS es el grupo de Higman-Sims (que es como lo encontró Harada).

El primo 5 desempeña un papel especial en el grupo. Por ejemplo, centraliza un elemento de orden 5 en el grupo Monster (que es como lo descubrió Norton) y, como resultado, actúa de manera natural en un álgebra de operadores de vértices sobre el cuerpo con 5 elementos (Lux, Noeske y Ryba 2008). Esto implica que actúa en un álgebra de 133 dimensiones sobre F ₅ con un producto conmutativo pero no asociativo, análogo al álgebra de Griess (Ryba 1996).

El nominalizador completo de un elemento 5A en el grupo Monster es (D ₁₀ × HN).2, por lo que HN centraliza 5 involuciones junto con el ciclo 5. Estas involuciones están centralizadas por el grupo Baby Monster , que por lo tanto contiene a HN como subgrupo.

Alcoholismo monstruoso generalizado

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para recordar, el número primo 5 juega un papel especial en el grupo y para HN , la serie McKay-Thompson relevante es donde se puede establecer el término constante a(0) = −6 ( OEIS : A007251 ), ${\displaystyle T_{5A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{5A}(\tau )&=T_{5A}(\tau )-6\\&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}+5^{3}\left({\frac {\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\\&={\frac {1}{q}}-6+134q+760q^{2}+3345q^{3}+12256q^{4}+39350q^{5}+\dots \end{aligned}}}$

y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .

Subgrupos máximos

Norton y Wilson (1986) encontraron las 14 clases de conjugación de subgrupos máximos de HN de la siguiente manera:

Referencias

• Harada, Koichiro (1976), "Sobre el grupo simple F de orden 2 ¹⁴  · 3 ⁶  · 5 ⁶  · 7 · 11 · 19", Actas de la Conferencia sobre Grupos Finitos (Universidad de Utah, Park City, Utah, 1975) , Boston, MA: Academic Press , págs. 119–276, MR  0401904
• Lux, Klaus; Noeske, Felix; Ryba, Alexander JE (2008), "Los caracteres 5-modulares del grupo esporádico simple Harada–Norton HN y su grupo de automorfismos HN.2", Journal of Algebra , 319 (1): 320–335, doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.03.046 , ISSN  0021-8693, MR  2378074
• Norton, SP (1975), F y otros grupos simples (Tesis doctoral), Universidad de Cambridge
• Norton, SP; Wilson, Robert A. (1986), "Subgrupos máximos del grupo Harada-Norton", Journal of Algebra , 103 (1): 362–376, doi : 10.1016/0021-8693(86)90192-4 , ISSN  0021-8693, MR  0860712
• Ryba, Alexander JE (1996), "Un álgebra invariante natural para el grupo Harada-Norton", Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge , 119 (4): 597–614, doi :10.1017/S0305004100074454, ISSN  0305-0041, MR  1362942

Enlaces externos

• MathWorld: Grupo Harada-Norton
• Atlas de representaciones de grupos finitos: grupo Harada-Norton