Un policubo es una figura sólida formada al unir uno o más cubos iguales cara a cara. Los policubos son los análogos tridimensionales de los poliominós planos . El cubo Soma , el cubo Bedlam , el cubo Diabólico , el rompecabezas Slothouber-Graatsma y el rompecabezas Conway son ejemplos de problemas de empaquetamiento basados en policubos. [1]
Al igual que los poliominós , los policubos se pueden enumerar de dos maneras, dependiendo de si los pares quirales de policubos se cuentan como un policubo o dos. Por ejemplo, 6 tetracubos tienen simetría especular y uno es quiral , dando una cuenta de 7 u 8 tetracubos respectivamente. [2] A diferencia de los poliominós, los policubos generalmente se cuentan con pares de espejos distinguidos, porque no se puede voltear un policubo para reflejarlo como se puede hacer con un poliominó dadas tres dimensiones. En particular, el cubo Soma utiliza ambas formas del tetracubo quiral.
Los policubos se clasifican según la cantidad de celdas cúbicas que tienen: [3]
Los policubos fijos (tanto las reflexiones como las rotaciones se cuentan como distintas (secuencia A001931 en el OEIS )) y los policubos unilaterales se han enumerado hasta n = 20. Se han enumerado policubos libres hasta n =16. [4] Más recientemente, se han investigado familias específicas de policubos. [5] [6]
Al igual que con los poliominós, los policubos se pueden clasificar según la cantidad de simetrías que tengan. Las simetrías de policubos (clases conjugadas de subgrupos del grupo octaédrico aquiral ) fueron enumeradas por primera vez por WF Lunnon en 1972. La mayoría de los policubos son asimétricos, pero muchos tienen grupos de simetría más complejos, hasta el grupo de simetría completo del cubo con 48 elementos. . Son posibles muchas otras simetrías; por ejemplo, hay siete formas posibles de simetría de 8 veces [2]
12 pentacubos son planos y corresponden a los pentominós . 5 de los 17 restantes tienen simetría especular y los otros 12 forman 6 pares quirales.
Los cuadros delimitadores de los pentacubos tienen tamaños 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 4×2×2, 3×2×2 y 2×2×2. . [7]
Un policubo puede tener hasta 24 orientaciones en la red cúbica, o 48, si se permite la reflexión. De los pentacubos, 2 caras (5-1-1 y la cruz) tienen simetría especular en los tres ejes; estos tienen sólo tres orientaciones. 10 tienen una simetría especular; estos tienen 12 orientaciones. Cada uno de los 17 pentacubos restantes tiene 24 orientaciones.
El teseracto ( hipercubo de cuatro dimensiones ) tiene ocho cubos como facetas , y así como el cubo se puede desplegar en un hexomino , el teseracto se puede desplegar en un octacubo. Un despliegue, en particular, imita el conocido despliegue de un cubo en cruz latina : consta de cuatro cubos apilados uno encima del otro, con otros cuatro cubos unidos a las caras cuadradas expuestas del segundo desde arriba. cubo de la pila, para formar una forma de doble cruz tridimensional . Salvador Dalí utilizó esta forma en su pintura de 1954 Crucifixión (Corpus Hypercubus) [8] y se describe en el cuento de Robert A. Heinlein de 1940 " Y construyó una casa torcida ". [9] En honor a Dalí, este octacubo ha sido llamado cruz de Dalí . [10] [11] Puede colocar mosaicos en el espacio . [10]
De manera más general (respondiendo a una pregunta planteada por Martin Gardner en 1966), de los 3811 octacubos libres diferentes, 261 son despliegues del teseracto. [10] [12]
Aunque es necesario que los cubos de un policubo estén conectados cuadrado con cuadrado, no es necesario que los cuadrados de su límite estén conectados de borde a borde. Por ejemplo, el cubo de 26 formado al hacer una cuadrícula de cubos de 3×3×3 y luego quitar el cubo central es un policubo válido, en el que el límite del vacío interior no está conectado al límite exterior. Tampoco es necesario que el límite de un policubo forme una variedad . Por ejemplo, uno de los pentacubos tiene dos cubos que se encuentran de borde a borde, de modo que el borde entre ellos es el lado de cuatro cuadrados límite.
Si un policubo tiene la propiedad adicional de que su complemento (el conjunto de cubos enteros que no pertenecen al policubo) está conectado por caminos de cubos que se encuentran cuadrado a cuadrado, entonces los cuadrados límite del policubo necesariamente también están conectados por caminos. de cuadrados que se encuentran de borde a borde. [13] Es decir, en este caso la frontera forma un poliominoide .
¿Se puede desplegar cada policubo con un límite conectado en un poliominó? Si es así, ¿se puede desplegar cada uno de esos policubos en un poliominó que mosaico el plano?
Cada k -cubo con k < 7 , así como la cruz de Dalí (con k = 8 ), se puede desplegar en un poliominó que mosaico el plano. Es un problema abierto si cada policubo con un límite conectado se puede desplegar en un poliominó, o si esto siempre se puede hacer con la condición adicional de que el poliominó forme un mosaico en el plano. [11]
La estructura de un policubo se puede visualizar mediante un "gráfico dual" que tiene un vértice por cada cubo y una arista por cada dos cubos que comparten un cuadrado. [14] Esto es diferente de las nociones con nombres similares de un poliedro dual y del gráfico dual de un gráfico incrustado en la superficie.
Los gráficos duales también se han utilizado para definir y estudiar subclases especiales de los policubos, como aquellas cuyo gráfico dual es un árbol. [15]
Robert Heinlein's " Y construyó una casa torcida", publicado en 1940, y "El profesor sin lados", de Martin Gardner, publicado en 1946, se encuentran entre los primeros libros de ciencia ficción en presentar a los lectores la banda de Moebius, la botella de Klein y el hipercubo ( teseracto)..
