Acción grupal

En matemáticas , muchos conjuntos de transformaciones forman un grupo bajo composición de funciones ; por ejemplo, las rotaciones alrededor de un punto del plano. Muchas veces resulta útil considerar al grupo como un grupo abstracto , y decir que se tiene una acción grupal del grupo abstracto que consiste en realizar las transformaciones del grupo de transformaciones. La razón para distinguir el grupo de las transformaciones es que, generalmente, un grupo de transformaciones de una estructura actúa también sobre varias estructuras relacionadas; por ejemplo, el grupo de rotación anterior actúa también sobre triángulos transformando triángulos en triángulos.

Formalmente, una acción grupal de un grupo $G$ sobre un conjunto $S$ es un homomorfismo grupal de $G$ a algún grupo (bajo composición de funciones ) de funciones de $S$ a sí mismo.

Si un grupo actúa sobre una estructura, normalmente también actuará sobre objetos construidos a partir de esa estructura. Por ejemplo, el grupo de isometrías euclidianas actúa sobre el espacio euclidiano y también sobre las figuras dibujadas en él; en particular, actúa sobre el conjunto de todos los triángulos . De manera similar, el grupo de simetrías de un poliedro actúa sobre los vértices , las aristas y las caras del poliedro.

Una acción grupal en un espacio vectorial se llama representación del grupo. En el caso de un espacio vectorial de dimensión finita, permite identificar muchos grupos con subgrupos del grupo lineal general $GL(n, K)$ , el grupo de las matrices invertibles de dimensión $n$ sobre un campo $K$ .

El grupo simétrico $S n$ actúa sobre cualquier conjunto con $n$ elementos permutando los elementos del conjunto. Aunque el grupo de todas las permutaciones de un conjunto depende formalmente del conjunto, el concepto de acción grupal permite considerar un solo grupo para estudiar las permutaciones de todos los conjuntos con la misma cardinalidad .

Definición

Acción del grupo de izquierda

Si $G$ es un grupo con elemento de identidad $e$ , y $X$ es un conjunto, entonces una acción de grupo ( izquierda ) $α$ de $G$ sobre $X$ es una función

\alpha \colon G\times X\to X,

que satisface los dos axiomas siguientes : ^[1]

para todo $g$ y $h$ en $G$ y todo $x$ en $X$ .

Entonces se dice que el grupo $G$ actúa sobre $X$ (desde la izquierda). Un conjunto $X$ junto con una acción de $G$ se llama conjunto G $($ izquierdo ) .

Puede ser notablemente conveniente curry la acción $α$ , de modo que, en su lugar, se tenga una colección de transformaciones $α g : X \to X$ , con una transformación $α g$ para cada elemento del grupo $g \in G$ . Las relaciones de identidad y compatibilidad luego leen

\alpha _{e}(x)=x

\alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)

siendo $\circ$ la composición de funciones . El segundo axioma establece entonces que la composición de funciones es compatible con la multiplicación de grupos; Forman un diagrama conmutativo . Este axioma se puede acortar aún más y escribirse como $α g \circ α h = α gh$ .

Con el entendimiento anterior, es muy común evitar escribir $α$ por completo y reemplazarlo con un punto o con nada en absoluto. Por lo tanto, $α (g, x)$ se puede acortar a $g \cdot x$ o $gx$ , especialmente cuando la acción se desprende del contexto. Los axiomas son entonces

e{\cdot }x=x

g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x

De estos dos axiomas, se deduce que para cualquier $g$ fijo en $G$ , la función de $X$ a sí misma que asigna $x$ a $g \cdot x$ es una biyección , con biyección inversa la función correspondiente para $g -1$ . Por lo tanto, se puede definir de manera equivalente una acción grupal de $G$ sobre $X$ como un homomorfismo grupal de $G$ en el grupo simétrico $Sym(X)$ de todas las biyecciones de $X$ hacia sí mismo. ^[2]

Acción de grupo correcta

Asimismo, una acción de grupo derecho de $G$ sobre $X$ es una función

\alpha \colon X\times G\to X,

que satisface los axiomas análogos: ^[3]

(con $α (x, g)$ a menudo abreviado a $xg$ o $x \cdot g$ cuando la acción que se está considerando se desprende del contexto)

para todo $g$ y $h$ en $G$ y todo $x$ en $X$ .

La diferencia entre las acciones de izquierda y derecha está en el orden en que un producto $gh$ actúa sobre $x$ . Para una acción hacia la izquierda, $h$ actúa primero, seguido de $g$ segundo. Para una acción correcta, $g$ actúa primero, seguido de $h$ en segundo lugar. Debido a la fórmula $(gh) -1 = h -1 g -1$ , se puede construir una acción izquierda a partir de una acción derecha componiendo con la operación inversa del grupo. Además, una acción hacia la derecha de un grupo $G$ sobre $X$ puede considerarse como una acción hacia la izquierda de su grupo opuesto $G op$ sobre $X.$

Por tanto, para establecer las propiedades generales de las acciones grupales, basta considerar sólo las acciones de izquierda. Sin embargo, hay casos en los que esto no es posible. Por ejemplo, la multiplicación de un grupo induce tanto una acción izquierda como una acción derecha en el grupo mismo: multiplicación a la izquierda y a la derecha, respectivamente.

Propiedades notables de las acciones.

Sea $G$ un grupo que actúa sobre un conjunto $X.$ La acción se llamafiel oefectivo si $g \cdot x = x$ para todo $x \in X$ implica que $g = e G$ . De manera equivalente, elhomomorfismode $G$ al grupo de biyecciones de $X$ correspondiente a la acción esinyectivo.

La acción se llamalibre (osemirregularode punto fijo) si la afirmación de que $g \cdot x = x$ para algún $x \in X$ ya implica que $g = e G$ . En otras palabras, ningún elemento no trivial de $G$ fija un puntode $X.$ Esta es una propiedad mucho más fuerte que la fidelidad.

Por ejemplo, la acción de cualquier grupo sobre sí mismo mediante la multiplicación por la izquierda es gratuita. Esta observación implica el teorema de Cayley de que cualquier grupo puede estar incluido en un grupo simétrico (que es infinito cuando el grupo lo está). Un grupo finito puede actuar fielmente sobre un conjunto de tamaño mucho menor que su cardinalidad (sin embargo, tal acción no puede ser libre). Por ejemplo, el grupo 2 abeliano $(Z / 2 Z) n$ (de cardinalidad $2 n$ ) actúa fielmente sobre un conjunto de tamaño $2 n$ . Este no es siempre el caso, por ejemplo el grupo cíclico $Z /2 n Z$ no puede actuar fielmente en un conjunto de tamaño inferior a $2 n$ .

En general, el conjunto más pequeño sobre el cual se puede definir una acción fiel puede variar mucho para grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, tres grupos de tamaño 120 son el grupo simétrico $S 5$ , el grupo icosaédrico $A 5 \times Z / 2 Z$ y el grupo cíclico $Z / 120 Z$ . Los conjuntos más pequeños en los que se pueden definir acciones fieles para estos grupos son de tamaño 5, 7 y 16 respectivamente.

Propiedades de transitividad

La acción de $G$ sobre $X$ se llamatransitivo si para dos puntos cualesquiera $x, y \in X$ existe un $g \in G$ tal que $g \cdot x = y$ .

La acción essimplemente transitivo (omarcadamente transitivo, oregular ) si es transitivo y libre. Esto significa que dado $x, y \in X$ el elemento $g$ en la definición de transitividad es único. Si $un grupo G$ actúa sobre $X$ de forma simplemente transitiva, entonces se le llamaespacio principal homogéneopara $G$ o $G$ -torsor.

Para un número entero $n \geq 1$ , la acción es $n$ -transitivo si $X$ tiene al menos $n$ elementos, y para cualquier par de $n$ -tuplas $(x 1, ..., x n), (y 1, ..., y n) \in X n$ con entradas distintas por pares ( es decir $x i \neq x j$ , $y i \neq y j$ cuando $i \neq j$ ) existe un $g \in G$ tal que $g \cdot x i = y i$ para $i = 1, ..., n$ . En otras palabras, la acción sobre el subconjunto de $X n$ de tuplas sin entradas repetidas es transitiva. Para $n = 2, 3,$ esto a menudo se denomina transitividad doble o triple. La clase degrupos 2-transitivos(es decir, subgrupos de un grupo simétrico finito cuya acción es 2-transitiva) y, más generalmente,grupos transitivos múltiplesestá bien estudiada en la teoría de grupos finitos.

una acción esmarcadamente $n$ -transitiva cuando la acción sobre tuplas sin entradas repetidas en $X n$ es marcadamente transitiva.

Ejemplos

La acción del grupo simétrico de $X$ es transitiva, de hecho $n$ -transitiva para cualquier $n$ hasta la cardinalidad de $X.$ Si $X$ tiene cardinalidad $n$ , la acción del grupo alterno es $(n - 2)$ -transitiva pero no $(n - 1)$ -transitiva.

La acción del grupo lineal general de un espacio vectorial $V$ sobre el conjunto $V ∖ {0}$ de vectores distintos de cero es transitiva, pero no 2-transitiva (de manera similar para la acción del grupo lineal especial si la dimensión de $v$ está en menos 2). La acción del grupo ortogonal de un espacio euclidiano no es transitiva sobre vectores distintos de cero pero sí sobre la esfera unitaria .

Acciones primitivas

La acción de $G$ sobre $X$ se llama primitiva si no hay ninguna partición de $X$ preservada por todos los elementos de $G$ aparte de las particiones triviales (la partición en una sola pieza y su dual , la partición en singletons ).

Propiedades topológicas

Supongamos que $X$ es un espacio topológico y la acción de $G$ es por homeomorfismos .

La acción es errante si todo $x \in X$ tiene una vecindad $U$ tal que sólo hay un número finito de $g \in G$ con $g \cdot U \cap U \neq \emptyset$ . ^[4]

De manera más general, un punto $x \in X$ se llama punto de discontinuidad para la acción de $G$ si hay un subconjunto abierto $U ∋ x$ tal que solo hay un número finito de $g \in G$ con $g \cdot U \cap U \neq \emptyset$ . El dominio de discontinuidad de la acción es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad. De manera equivalente, es el subconjunto abierto $G$ -estable más grande $Ω \subset X$ tal que la acción de $G$ sobre $Ω$ es errante. ^[5] En un contexto dinámico, esto también se denomina conjunto errante .

La acción es propiamente discontinua si para cada subconjunto compacto $K \subset X$ sólo hay un número finito $de g \in G$ tales que $g \cdot K \cap K \neq \emptyset$ . Esto es estrictamente más fuerte que deambular; por ejemplo, la acción de $Z$ sobre $R 2 ∖ {(0, 0)}$ dada por $n \cdot(x, y) = (2 n x, 2 - n y)$ es errante y libre pero no propiamente discontinua. ^[6]

La acción mediante transformaciones de cubierta del grupo fundamental de un espacio simplemente conectado localmente sobre un espacio de cobertura es errante y libre. Tales acciones se pueden caracterizar por la siguiente propiedad: cada $x \in X$ tiene una vecindad $U$ tal que $g \cdot U \cap U = \emptyset$ para cada $g \in G ∖ {e G}$ . ^[7] Las acciones con esta propiedad a veces se denominan libremente discontinuas , y el subconjunto más grande en el que la acción es libremente discontinua se denomina conjunto regular libre . ^[8]

Una acción de un grupo $G$ sobre un espacio localmente compacto $X$ se llama cocompacto si existe un subconjunto compacto $A \subset X$ tal que $X = G \cdot A$ . Para una acción propiamente discontinua, la cocopacidad es equivalente a la compacidad del espacio cociente $G \ X$ .

Acciones de grupos topológicos.

Ahora supongamos que $G$ es un grupo topológico y $X$ un espacio topológico sobre el que actúa mediante homeomorfismos. Se dice que la acción es continua si el mapa $G \times X \to X$ es continuo para la topología del producto .

Se dice que la acción esapropiado si el mapa $G \times X \to X \times X$ definido por $(g, x) \mapsto (x, g \cdot x)$ espropio.^[9]Esto significa que dados conjuntos compactos $K, K'$ el conjunto de $g \in G$ tal que $g \cdot K \cap K' \neq \emptyset$ es compacto. En particular, esto es equivalente a la discontinuidad propia $G$ es ungrupo discreto.

Se dice que es localmente libre si existe una vecindad $U$ de $e G$ tal que $g \cdot x \neq x$ para todo $x \in X$ y $g \in U ∖ {e G}$ .

Se dice que la acción es fuertemente continua si el mapa orbital $g \mapsto g \cdot x$ es continuo para cada $x \in X$ . Al contrario de lo que sugiere el nombre, se trata de una propiedad más débil que la continuidad de la acción. ^{[ cita necesaria ]}

Si $G$ es un grupo de Lie y $X$ una variedad diferenciable , entonces el subespacio de puntos suaves para la acción es el conjunto de puntos $x \in X$ tales que el mapa $g \mapsto g \cdot x$ es suave . Existe una teoría bien desarrollada de las acciones grupales de Lie , es decir, acciones que son suaves en todo el espacio.

Acciones lineales

Si $g$ actúa mediante transformaciones lineales sobre un módulo sobre un anillo conmutativo , se dice que la acción es irreducible si no hay submódulos $g$ -invariantes adecuados distintos de cero. Se dice que es semisimple si se descompone como suma directa de acciones irreductibles.

Órbitas y estabilizadores

Considere un grupo $G$ que actúa sobre un conjunto $X.$ ElLa órbita de un elemento $x$ en $X$ es el conjunto de elementos en $X$ al que $x$ puede ser movido por los elementosde $G.$ La órbita de $x$ se denota por $G \cdot x$ :

G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.

Las propiedades definitorias de un grupo garantizan que el conjunto de órbitas de (puntos $x$ en) $X$ bajo la acción de $G$ formen una partición de $X.$ La relación de equivalencia asociada se define diciendo $x ~ y$ si y sólo si existe una $g$ en $G$ con $g \cdot x = y$ . Las órbitas son entonces las clases de equivalencia bajo esta relación; dos elementos $x$ e $y$ son equivalentes si y solo si sus órbitas son iguales, es decir, $G \cdot x = G \cdot y$ .

La acción grupal es transitiva si y solo si tiene exactamente una órbita, es decir, si existe $x$ en $X$ con $G \cdot x = X$ . Este es el caso si y sólo si $G \cdot x = X$ para todo $x$ en $X$ (dado que $X$ no está vacío).

El conjunto de todas las órbitas de $X$ bajo la acción de $G$ se escribe como $X / G$ (o, con menos frecuencia, como $G \ X$ ), y se llamacociente de la acción. En situaciones geométricas se le puede llamarespacio orbital , mientras que en situaciones algebraicas se le puede llamar espacio decoinvariantes , y escrito $X G$ , en contraste con los invariantes (puntos fijos), denotados $X G$ : los coinvariantes son uncocientemientras que los invariantes son unsubconjunto. La terminología y notación coinvariante se utilizan particularmente encohomologíayhomología, que utilizan la misma convención de superíndice/subíndice.

Subconjuntos invariantes

Si $Y$ es un subconjunto de $X$ , entonces $G \cdot Y$ denota el conjunto ${g \cdot y : g \in G e y \in Y}$ . Se dice que el subconjunto $Y$ es invariante bajo $G$ si $G \cdot Y = Y$ (que es equivalente $G \cdot Y \subseteq Y$ ). En ese caso, $G$ también opera sobre $Y$ restringiendo la acción a $Y.$ El subconjunto $Y$ se llama fijo bajo $G$ si $g \cdot y = y$ para todo g $en$ G $y$ todo $y$ en $Y.$ Todo subconjunto que está fijo bajo $G$ también es invariante bajo $G$ , pero no a la inversa.

Cada órbita es un subconjunto invariante de $X$ sobre el cual $G$ actúa transitivamente . Por el contrario, cualquier subconjunto invariante de $X$ es una unión de órbitas. La acción de $G$ sobre $X$ es transitiva si y sólo si todos los elementos son equivalentes, lo que significa que sólo hay una órbita.

Un elemento $G$ -invariante de $X$ es $x \in X$ tal que $g \cdot x = x$ para todo $g \in G$ . El conjunto de todos esos $x$ se denota por $X G$ y se denomina $G$ -invariantes de $X$ . Cuando $X$ es un $G$ -módulo , $X G$ es el grupo de cohomología cero de $G$ con coeficientes en $X$ , y los grupos de cohomología superiores son los functores derivados del functor de $G$ -invariantes.

Puntos fijos y subgrupos estabilizadores.

Dado $g$ en $G$ y $x$ en $X$ con $g \cdot x = x$ , se dice que " $x$ es un punto fijo de $g$ " o que " $g$ fija $x$ ". Para cada $x$ en $X$ , elEl subgrupo estabilizador de $G$ con respecto a $x$ (también llamadogrupo de isotropíaopequeño grupo^[10]) es el conjunto de todos los elementos en $G$ que fijan $x$ :

G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.

subgrupo

G

G

X

libre

N

G \to Sym(X)

intersección

G x

x

X

N

Sean $x$ e $y$ dos elementos en $X$ , y sea $g$ un elemento de grupo tal que $y = g \cdot x$ . Entonces los dos grupos estabilizadores $G x$ y $G y$ están relacionados por $G y = gG x g -1$ . Prueba: por definición, $h \in G y$ si y solo si $h \cdot(g \cdot x) = g \cdot x$ . Al aplicar $g -1$ a ambos lados de esta igualdad se obtiene $(g -1 hg)\cdot x = x$ ; es decir, $g -1 hg \in G x$ . De manera similar se sigue una inclusión opuesta tomando $h \in G x$ y $x = g -1 \cdot y$ .

Lo anterior dice que los estabilizadores de elementos en la misma órbita están conjugados entre sí. Así, a cada órbita, podemos asociar una clase de conjugación de un subgrupo de $G$ (es decir, el conjunto de todos los conjugados del subgrupo). Sea $(H)$ la clase de conjugación de $H$ . Entonces la órbita $O$ es de tipo $(H)$ si el estabilizador $G x$ de algún/cualquier $x$ en $O$ pertenece a $(H)$ . Un tipo de órbita máxima a menudo se denomina tipo de órbita principal .

Teorema del estabilizador de órbita y lema de Burnside

Las órbitas y los estabilizadores están estrechamente relacionados. Para una $x$ fija en $X$ , considere el mapa $f : G \to X$ dado por $g \mapsto g \cdot x$ . Por definición la imagen $f (G)$ de este mapa es la órbita $G \cdot x$ . La condición para que dos elementos tengan la misma imagen es

f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.

f (g) = f (h)

si y solo si

g

h

clase lateral

G x

fibra

f -1 ({y})

f

y

G \cdot x

f

biyección

G / G x

G \cdot x

gG x \mapsto g \cdot x

^[11]teorema del estabilizador de órbita

Si $G$ es finito, entonces el teorema del estabilizador de órbita, junto con el teorema de Lagrange , da

|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,

x

orden del grupo

Ejemplo: Sea

G

un grupo de orden primo

p

que actúa sobre un conjunto

X

con

k

elementos. Dado que cada órbita tiene

1

p

elementos, hay como máximo

k mod p

órbitas de longitud

1

que son

G

-elementos invariantes.

Este resultado es especialmente útil ya que puede emplearse para contar argumentos (normalmente en situaciones en las que $X$ también es finito).

Ejemplo: podemos usar el teorema del estabilizador de órbita para contar los automorfismos de un gráfico . Considere la gráfica cúbica como se muestra en la imagen y sea

G

su grupo de automorfismo . Entonces

G

actúa sobre el conjunto de vértices

{1, 2, ..., 8}

, y esta acción es transitiva como se puede ver al componer rotaciones alrededor del centro del cubo. Por tanto, según el teorema del estabilizador de órbita,

| GRAMO | = | GRAMO \cdot 1 | | G 1 | = 8 | G 1 |

. Aplicando ahora el teorema al estabilizador

G 1

, podemos obtener

| G 1 | = | (GRAMO 1) \cdot 2 | | (GRAMO 1) 2 |

. Cualquier elemento de

G

que fije 1 debe enviar 2 a 2, 4 o 5. Como ejemplo de tales automorfismos, considere la rotación alrededor del eje diagonal que pasa por 1 y 7 por

2 π /3

, que permuta 2, 4, 5 y 3, 6, 8 y fija 1 y 7. Así,

| (GRAMO 1) \cdot 2 | = 3

. Aplicando el teorema por tercera vez se obtiene

| (GRAMO 1) 2 | = | ((GRAMO 1) 2) \cdot 3 | | ((GRAMO 1) 2) 3 |

. Cualquier elemento de

G

que fije 1 y 2 debe enviar 3 a 3 o 6. Reflejar el cubo en el plano que pasa por 1, 2, 7 y 8 es un automorfismo que envía 3 a 6, por lo tanto

| ((GRAMO 1) 2) \cdot 3 | = 2

. También se ve que

((G 1) 2) 3

consiste únicamente en el automorfismo de identidad, ya que cualquier elemento de

G

que fije 1, 2 y 3 también debe fijar todos los demás vértices, ya que están determinados por su adyacencia a 1, 2 y 3. Combinando los cálculos anteriores, ahora podemos obtener

| GRAMO | = 8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48

Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de órbita es el lema de Burnside :

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

X g

g

G

X

Al fijar un grupo $G$ , el conjunto de diferencias formales de conjuntos $G$ finitos forma un anillo llamado anillo de Burnside de $G$ , donde la suma corresponde a la unión disjunta y la multiplicación al producto cartesiano .

Ejemplos

Ella acción trivial de cualquier grupo $G$ en cualquier conjunto $X$ se define por $g \cdot x = x$ para todo $g$ en $G$ y todo $x$ en $X$ ; es decir, cada elemento del grupo induce lapermutaciónde identidaden $X.$ ^[12]
En cada grupo $G$ , la multiplicación por la izquierda es una acción de G $sobre$ G $:$ g $\cdot x = gx para$ todo $g$ , $x$ en $G.$ Esta acción es libre y transitiva (regular) y forma la base de una prueba rápida del teorema de Cayley : que todo grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico de permutaciones del conjunto $G.$
En cada grupo $G$ con subgrupo $H$ , la multiplicación por la izquierda es una acción de $G$ sobre el conjunto de clases laterales $G / H$ : $g \cdot aH = gaH$ para todo $g$ , $a$ en $G.$ En particular, si $H$ no contiene subgrupos normales no triviales de $G,$ esto induce un isomorfismo de $G$ a un subgrupo del grupo de permutación de grado $[G : H]$ .
En todo grupo $G$ , la conjugación es una acción de $G$ sobre $G$ : $g \cdot x = gxg -1$ . Comúnmente se usa una notación exponencial para la variante de acción correcta: $x g = g -1 xg$ ; satisface ( $x g) h = x gh$ .
En cada grupo $G$ con subgrupo $H$ , la conjugación es una acción de $G$ sobre conjugados de $H$ : $g \cdot K = gKg -1$ para todos $los g$ en $G$ y $K$ conjugados de $H.$
Una acción de $Z$ sobre un conjunto $X$ determina de forma única y está determinada por un automorfismo de $X$ , dado por la acción de 1. De manera similar, una acción de Z $/ 2 Z$ sobre $X$ es equivalente a los datos de una involución de $X.$
El grupo simétrico $S n$ y sus subgrupos actúan sobre el conjunto ${1, ..., n}$ permutando sus elementos
El grupo de simetría de un poliedro actúa sobre el conjunto de vértices de ese poliedro. También actúa sobre el conjunto de caras o el conjunto de aristas del poliedro.
El grupo de simetría de cualquier objeto geométrico actúa sobre el conjunto de puntos de ese objeto.
Para un espacio de coordenadas $V$ sobre un campo $F$ con un grupo de unidades $F *$ , la aplicación $F * \times V \to V$ dada por $a \times (x 1, x 2, ..., x n) \mapsto (ax 1, ax 2, ..., ax n)$ es una acción grupal llamada multiplicación escalar .
El grupo de automorfismo de un espacio vectorial (o grafo , o grupo, o anillo...) actúa sobre el espacio vectorial (o conjunto de vértices del grafo, o grupo, o anillo...).
El grupo lineal general $GL(n, K)$ y sus subgrupos, particularmente sus subgrupos de Lie (incluido el grupo lineal especial $SL(n, K)$ , grupo ortogonal $O(n, K)$ , grupo ortogonal especial $SO(n, K)$ , y el grupo simpléctico $Sp(n, K)$ ) son grupos de Lie que actúan sobre el espacio vectorial $K n$ . Las operaciones de grupo se obtienen multiplicando las matrices de los grupos por los vectores de $K n$ .
El grupo lineal general $GL(n, Z)$ actúa sobre $Z n$ por acción matricial natural. Las órbitas de su acción se clasifican por el máximo común divisor de coordenadas del vector en $Z n$ .
El grupo afín actúa transitivamente sobre los puntos de un espacio afín , y el subgrupo V del grupo afín (es decir, un espacio vectorial) tiene acción transitiva y libre (es decir, regular ) sobre estos puntos; ^[13] de hecho, esto se puede utilizar para dar una definición de espacio afín .
El grupo lineal proyectivo $PGL(n + 1, K)$ y sus subgrupos, particularmente sus subgrupos de Lie, que son grupos de Lie que actúan sobre el espacio proyectivo $P n (K)$ . Este es un cociente de la acción del grupo lineal general sobre el espacio proyectivo. Particularmente notable es $PGL(2, K)$ , las simetrías de la línea proyectiva, que es marcadamente 3-transitiva, preservando la relación cruzada ; el grupo de Möbius $PGL(2, C)$ es de particular interés.
Las isometrías del plano actúan sobre el conjunto de imágenes y patrones 2D, como los patrones de papel tapiz . La definición se puede hacer más precisa especificando qué se entiende por imagen o patrón, por ejemplo, una función de posición con valores en un conjunto de colores. De hecho, las isometrías son un ejemplo de grupo afín (acción). ^{[ dudoso – discutir ]}
Los conjuntos sobre los que actúa un grupo $G$ comprenden la categoría de $G$ -conjuntos en los que los objetos son $G$ -conjuntos y los morfismos son $G$ -homomorfismos de conjuntos: funciones $f : X \to Y$ tales que $g \cdot(f (x)) = f (g \cdot x)$ para cada $g$ en $G$ .
El grupo de Galois de una extensión de campo $L / K$ actúa sobre el campo $L$ pero tiene sólo una acción trivial sobre elementos del subcampo $K.$ Los subgrupos de $Gal(L / K)$ corresponden a subcampos de $L$ que contienen $K$ , es decir, extensiones de campo intermedias entre $L$ y $K$ .
El grupo aditivo de los números reales $(R, +)$ actúa sobre el espacio de fases de los sistemas " bien comportados " en la mecánica clásica (y en sistemas dinámicos más generales ) por traducción temporal : si $t$ está en $R$ y $x$ está en la fase espacio, entonces $x$ describe un estado del sistema, y $t + x$ se define como el estado del sistema $t$ segundos después si $t$ es positivo o $hace -t$ $segundos$ si $t$ es negativo.
El grupo aditivo de los números reales $(R, + )$ actúa sobre el conjunto de funciones reales de una variable real de varias maneras, siendo $(t \cdot f)(x)$ igual a, por ejemplo, $f (x + t)$ , $f (x) + t$ , $f (xet)$ , $f (x) e t$ , $f (x + t) et,$ o $f (xet$ $)$ $+$ $t$ $,$ $pero$ no $f ($ $xet$ $+$ $t$ $)$ .
Dada una acción grupal de $G$ sobre $X$ , podemos definir una acción inducida de $G$ sobre el conjunto potencia de $X$ , estableciendo $g \cdot U = {g \cdot u : u \in U}$ para cada subconjunto $U$ de $X$ y cada $g$ en $G$ . Esto es útil, por ejemplo, para estudiar la acción del gran grupo de Mathieu en un conjunto de 24 y para estudiar la simetría en ciertos modelos de geometrías finitas .
Los cuaterniones con norma 1 (los versores ), como grupo multiplicativo, actúan sobre $R 3$ : para cualquier cuaternión $z = cos α /2 + v sin α /2$ , el mapeo $f (x) = z x z *$ es un rotación en sentido antihorario a través de un ángulo $α$ alrededor de un eje dado por un vector unitario $v$ ; $z$ es la misma rotación; ver cuaterniones y rotación espacial . Esta no es una acción fiel porque el cuaternión $-1$ deja todos los puntos donde estaban, al igual que el cuaternión $1$ .
Dados los conjuntos $G izquierdos$ $X$ , $Y$ , hay un conjunto $G izquierdo$ $Y X$ cuyos elementos son aplicaciones $G$ equivalentes $α : X \times G \to Y$ , y con la acción $G$ izquierda dada por $g \cdot α = α \circ (id X \times - g)$ (donde " $- g$ " indica multiplicación correcta por $g$ ). Este conjunto $G$ tiene la propiedad de que sus puntos fijos corresponden a aplicaciones equivariantes $X \to Y$ ; De manera más general, es un objeto exponencial en la categoría de $G$ -conjuntos.

Acciones grupales y grupoides.

La noción de acción grupal puede codificarse mediante el grupoide de acción $G' = G ⋉ X$ asociado a la acción grupal. Los estabilizadores de la acción son los grupos de vértices del grupoide y las órbitas de la acción son sus componentes.

Morfismos e isomorfismos entre conjuntos G

Si $X$ e $Y$ son dos conjuntos $G$ , un morfismo de $X$ a $Y$ es una función f $: X \to Y tal$ que $f (g \cdot x) = g \cdot f (x)$ para todo $g$ en $G$ y todo $x$ en $X.$ Los morfismos de conjuntos $G$ también se denominan mapas equivariantes o mapas $G.$

La composición de dos morfismos es nuevamente un morfismo. Si un morfismo $f$ es biyectivo, entonces su inverso también es un morfismo. En este caso $f$ se llama isomorfismo , y los dos conjuntos $G$ $X$ e $Y$ se llaman isomórficos ; A todos los efectos prácticos, los conjuntos $G$ isomórficos son indistinguibles.

Algunos ejemplos de isomorfismos:

Cada acción regular $de G$ es isomorfa a la acción de $G$ sobre $G$ dada por la multiplicación por la izquierda.
Cada acción libre $de G$ es isomorfa a $G \times S$ , donde $S$ es algún conjunto y $G$ actúa sobre $G \times S$ mediante multiplicación por la izquierda en la primera coordenada. ( Se puede considerar que $S es el conjunto de órbitas$ $X / G$ ).
Cada acción transitiva $G es isomorfa a la multiplicación por la izquierda por$ $G$ en el conjunto de clases laterales izquierdas de algún subgrupo $H$ de $G$ . ( Se puede considerar que $H$ es el grupo estabilizador de cualquier elemento del conjunto $G$ original ).

Con esta noción de morfismo, la colección de todos los conjuntos $G$ forma una categoría ; esta categoría es un topos de Grothendieck (de hecho, suponiendo una metalógica clásica , este topos será incluso booleano).

Variantes y generalizaciones

También podemos considerar acciones de monoides en conjuntos, usando los mismos dos axiomas anteriores. Sin embargo, esto no define mapas biyectivos ni relaciones de equivalencia. Ver acción de semigrupo .

En lugar de acciones sobre conjuntos, podemos definir acciones de grupos y monoides sobre objetos de una categoría arbitraria: comenzar con un objeto $X$ de alguna categoría y luego definir una acción sobre $X$ como un homomorfismo monoide en el monoide de endomorfismos de $X.$ Si $X$ tiene un conjunto subyacente, entonces todas las definiciones y hechos establecidos anteriormente pueden trasladarse. Por ejemplo, si tomamos la categoría de espacios vectoriales, obtenemos representaciones de grupos de esta manera.

Podemos ver un grupo $G$ como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible . Una acción de grupo (izquierda) no es más que un funtor (covariante) de $G$ a la categoría de conjuntos , y una representación de grupo es un funtor de $G$ a la categoría de espacios vectoriales . Un morfismo entre $G$ -conjuntos es entonces una transformación natural entre los functores de acción del grupo. Por analogía, una acción de un grupoide es un funtor del grupoide a la categoría de conjuntos o a alguna otra categoría.

Además de las acciones continuas de grupos topológicos sobre espacios topológicos, a menudo también se consideran acciones suaves de grupos de Lie sobre variedades suaves , acciones regulares de grupos algebraicos sobre variedades algebraicas y acciones de esquemas de grupo sobre esquemas . Todos estos son ejemplos de objetos de grupo que actúan sobre objetos de su categoría respectiva.

Galería

Órbita de un triángulo esférico fundamental (marcado en rojo) bajo la acción del grupo octaédrico completo.
Órbita de un triángulo esférico fundamental (marcado en rojo) bajo la acción del grupo icosaédrico completo.

Ver también

Notas

Citas

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^ Esto lo hace, por ejemplo, Smith (2008). Introducción al álgebra abstracta. pag. 253.
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Referencias

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enlaces externos

"Acción de un grupo sobre una variedad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Acción grupal". MundoMatemático .