En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , los objetos de grupo son ciertas generalizaciones de grupos que se construyen sobre estructuras más complicadas que los conjuntos . Un ejemplo típico de un objeto de grupo es un grupo topológico , un grupo cuyo conjunto subyacente es un espacio topológico tal que las operaciones del grupo son continuas .
Definición
Formalmente, comenzamos con una categoría C con productos finitos (es decir, C tiene un objeto terminal 1 y dos objetos cualesquiera de C tienen un producto ). Un objeto de grupo en C es un objeto G de C junto con morfismos
- m : G × G → G (considerado como la "multiplicación de grupo")
- e : 1 → G (considerado como la "inclusión del elemento de identidad")
- inv : G → G (considerada como la "operación de inversión")
de modo que se satisfacen las siguientes propiedades (modeladas sobre los axiomas de grupo; más precisamente, sobre la definición de grupo utilizada en el álgebra universal )
- m es asociativo, es decir, m ( m × id G ) = m (id G × m ) como morfismos G × G × G → G , y donde p. ej. m × id G : G × G × G → G × G ; aquí identificamos G × ( G × G ) de manera canónica con ( G × G ) × G .
- e es una unidad bilateral de m , es decir, m (id G × e ) = p 1 , donde p 1 : G × 1 → G es la proyección canónica, y m ( e × id G ) = p 2 , donde p 2 : 1 × G → G es la proyección canónica
- inv es una inversa bilateral para m , es decir, si d : G → G × G es la función diagonal, y e G : G → G es la composición del morfismo único G → 1 (también llamado counit) con e , entonces m (id G × inv ) d = e G y m ( inv × id G ) d = e G .
Obsérvese que esto se enuncia en términos de mapas (el producto y el inverso deben ser mapas en la categoría) y sin ninguna referencia a los "elementos" subyacentes del objeto del grupo (las categorías en general no tienen elementos de sus objetos).
Otra forma de expresar lo anterior es decir que G es un objeto de grupo en una categoría C si para cada objeto X en C , existe una estructura de grupo en los morfismos Hom( X , G ) de X a G tal que la asociación de X a Hom( X , G ) es un funtor (contravariante) de C a la categoría de grupos .
Ejemplos
- Cada conjunto G para el cual se puede definir una estructura de grupo ( G , m , u , −1 ) se puede considerar un objeto de grupo en la categoría de conjuntos . La función m es la operación de grupo, la función e (cuyo dominio es un singleton ) selecciona el elemento identidad u de G y la función inv asigna a cada elemento de grupo su inverso. e G : G → G es la función que envía cada elemento de G al elemento identidad.
- Un grupo topológico es un objeto de grupo en la categoría de espacios topológicos con funciones continuas .
- Un grupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de variedades suaves con mapas suaves .
- Un supergrupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de supervariedades .
- Un grupo algebraico es un objeto de grupo de la categoría de variedades algebraicas . En la geometría algebraica moderna , se consideran los esquemas de grupo más generales , objetos de grupo de la categoría de esquemas .
- Un grupo local es un objeto de grupo en la categoría de configuraciones regionales .
- Los objetos de grupo en la categoría de grupos (o monoides ) son los grupos abelianos . La razón de esto es que, si se supone que inv es un homomorfismo, entonces G debe ser abeliano. Más precisamente: si A es un grupo abeliano y denotamos por m la multiplicación de grupo de A , por e la inclusión del elemento identidad, y por inv la operación de inversión sobre A , entonces ( A , m , e , inv ) es un objeto de grupo en la categoría de grupos (o monoides). Por el contrario, si ( A , m , e , inv ) es un objeto de grupo en una de esas categorías, entonces m necesariamente coincide con la operación dada sobre A , e es la inclusión del elemento identidad dado sobre A , inv es la operación de inversión y A con la operación dada es un grupo abeliano. Véase también argumento de Eckmann-Hilton .
- El grupo estricto de 2 es el objeto de grupo en la categoría de categorías pequeñas .
- Dada una categoría C con coproductos finitos , un objeto cogrupo es un objeto G de C junto con una "comultiplicación" m : G → G G, una "coidentidad" e : G → 0 y una "coinversión" inv : G → G que satisfacen las versiones duales de los axiomas para objetos de grupo. Aquí 0 es el objeto inicial de C. Los objetos cogrupo ocurren naturalmente en la topología algebraica .
Véase también
Referencias
- Awodey, Steve (2010), Teoría de categorías , Oxford University Press, ISBN 9780199587360
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
