En matemáticas , el anillo de Burnside de un grupo finito es una construcción algebraica que codifica las diferentes formas en que el grupo puede actuar sobre conjuntos finitos. Las ideas fueron introducidas por William Burnside a finales del siglo XIX. La estructura de anillo algebraico es un desarrollo más reciente, debido a Solomon (1967).
Dado un grupo finito G , los generadores de su anillo de Burnside Ω( G ) son las sumas formales de las clases de isomorfismo de los G -conjuntos finitos . Para la estructura de anillo , la adición se da por la unión disjunta de los G -conjuntos y la multiplicación por su producto cartesiano .
El anillo de Burnside es un módulo Z libre , cuyos generadores son los tipos de órbita (clases de isomorfismo de ) de G.
Si G actúa sobre un conjunto finito X , entonces se puede escribir (unión disjunta), donde cada X i es una única órbita G . Elegir cualquier elemento x i en X i crea un isomorfismo G / G i → X i , donde G i es el subgrupo estabilizador (isotropía) de G en x i . Una elección diferente del representante y i en X i da un subgrupo conjugado a G i como estabilizador. Esto muestra que los generadores de Ω( G ) como un módulo Z son las órbitas G / H cuando H varía sobre las clases de conjugación de los subgrupos de G .
En otras palabras, un elemento típico de Ω( G ) es donde a i en Z y G 1 , G 2 , ..., G N son representantes de las clases de conjugación de subgrupos de G .
Así como la teoría de caracteres simplifica el trabajo con representaciones de grupos , las marcas simplifican el trabajo con representaciones de permutación y el anillo de Burnside.
Si G actúa sobre X , y H ≤ G ( H es un subgrupo de G ), entonces la marca de H sobre X es el número de elementos de X que están fijados por cada elemento de H : , donde
Si H y K son subgrupos conjugados, entonces m X ( H ) = m X ( K ) para cualquier G -conjunto finito X ; de hecho, si K = gHg −1 entonces X K = g · X H .
También es fácil ver que para cada H ≤ G , la función Ω ( G ) → Z : X ↦ m X ( H ) es un homomorfismo. Esto significa que para conocer las marcas de G , es suficiente evaluarlas en los generadores de Ω ( G ), es decir, las órbitas G / H .
Para cada par de subgrupos H , K ≤ G definen
Esto es m X ( H ) para X = G / K . La condición HgK = gK es equivalente a g −1 Hg ≤ K , por lo que si H no es conjugado a un subgrupo de K entonces m ( K , H ) = 0.
Para registrar todas las marcas posibles, se forma una tabla, la Tabla de Marcas de Burnside , de la siguiente manera: Sean G 1 (= subgrupo trivial), G 2 , ..., G N = G representantes de las N clases de conjugación de subgrupos de G , ordenados de tal manera que siempre que G i sea conjugado a un subgrupo de G j , entonces i ≤ j . Ahora defina la tabla N × N (matriz cuadrada) cuya ( i , j )ésima entrada es m ( G i , G j ). Esta matriz es triangular inferior y los elementos en la diagonal no son cero, por lo que es invertible.
De ello se deduce que si X es un G -conjunto, y u su vector fila de marcas, por lo que u i = m X ( G i ), entonces X se descompone como una unión disjunta de a i copias de la órbita de tipo G i , donde el vector a satisface,
donde M es la matriz de la tabla de marcas. Este teorema se debe a (Burnside 1897).
La tabla de marcas para el grupo cíclico de orden 6:
La tabla de notas para el grupo simétrico S 3 :
Los puntos en las dos tablas son todos ceros, lo que simplemente enfatiza el hecho de que las tablas son triangulares inferiores.
(Algunos autores utilizan la transposición de la tabla, pero así es como Burnside la definió originalmente.)
El hecho de que la última fila esté llena de 1 se debe a que [ G / G ] es un único punto. Los términos diagonales son m ( H , H ) = | N G ( H )/ H |. Los números de la primera columna muestran el grado de la representación.
La estructura de anillo de Ω ( G ) se puede deducir de estas tablas: los generadores del anillo (como un módulo Z ) son las filas de la tabla, y el producto de dos generadores tiene una marca dada por el producto de las marcas (es decir, la multiplicación de los vectores de fila por componentes), que luego se puede descomponer como una combinación lineal de todas las filas. Por ejemplo, con S 3 ,
como (3, 1, 0, 0).(2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0).
A cualquier conjunto finito X se asocia un espacio vectorial V = V X , que es el espacio vectorial con los elementos de X como base (utilizando cualquier cuerpo especificado). Una acción de un grupo finito G sobre X induce una acción lineal sobre V , llamada representación de permutación . El conjunto de todas las representaciones de dimensión finita de G tiene la estructura de un anillo, el anillo de representación , denotado R(G) .
Para un G -conjunto X dado , el carácter de la representación asociada es
¿Dónde está el grupo cíclico generado por ?
El mapa resultante
Llevar un conjunto G a la representación correspondiente no es, en general, ni inyectivo ni sobreyectivo.
El ejemplo más simple que muestra que β no es en general inyectiva es para G = S 3 (ver la tabla anterior), y está dado por
El anillo de Burnside para grupos compactos se describe en (tom Dieck 1987).
La conjetura de Segal relaciona el anillo de Burnside con la homotopía .
![{\displaystyle \suma _{i=1}^{N}a_{i}[G/G_{i}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c8b7abf86218b9e0fccf2112ae72591d06ad48)
![{\displaystyle m(K,H)=\left|[G/K]^{H}\right|=\#\left\{gK\in G/K\mid HgK=gK\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2c9054e6a22089eeb0e5b017873f2696457c76)
![{\displaystyle [G/\mathbf {Z} _{2}]\cdot [G/\mathbf {Z} _{3}]=[G/1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af6652024e1875626e79c152e007410515d1e2a)
![{\displaystyle \beta (2[S_{3}/\mathbf {Z} _{2}]+[S_{3}/\mathbf {Z} _{3}])=\beta ([S_{3} ]+2[S_{3}/S_{3}]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694a836fbaa06bb7a238326d8d55819c16866336)