número de kaprekar

Propiedad dependiente de la base de los números enteros

En matemáticas , un número natural en una base numérica determinada es un número de Kaprekar si la representación de su cuadrado en esa base se puede dividir en dos partes, donde la segunda parte tiene dígitos, que suman el número original. Por ejemplo, en base 10 , 45 es un número 2-Kaprekar, porque 45² = 2025 y 20 + 25 = 45. Los números llevan el nombre de DR Kaprekar . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Definición y propiedades

Sea un número natural. Definimos la función Kaprekar para base y potencia de la siguiente manera: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\alpha +\beta }$,

dónde y ${\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}}$

Un número natural es un número de Kaprekar si es un punto fijo para , lo que ocurre si . y son números de Kaprekar triviales para todos y , todos los demás números de Kaprekar son números de Kaprekar no triviales . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)=n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

El ejemplo anterior de 45 satisface esta definición con y , porque ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20}$

${\displaystyle F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45}$

Un número natural es un número de Kaprekar sociable si es un punto periódico para , donde para un entero positivo (donde es el iterado de ) , y forma un ciclo de período . Un número Kaprekar es un número Kaprekar sociable con , y un número Kaprekar amigable es un número Kaprekar sociable con . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{p,b}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$

El número de iteraciones necesarias para llegar a un punto fijo es la persistencia de la función Kaprekar de , e indefinida si nunca llega a un punto fijo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Sólo hay un número finito de números y ciclos de -Kaprekar para una base dada , porque si , dónde entonces ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n=b^{p}+m}$ ${\displaystyle m>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&=(b^{p}+m)^{2}\\&=b^{2p}+2mb^{p}+m^{2}\\&=(b^{p}+2m)b^{p}+m^{2}\\\end{aligned}}}$

y y .​ Sólo cuando existen los números y ciclos de Kaprekar. ${\displaystyle \beta =m^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =b^{p}+2m}$ ${\displaystyle F_{p,b}(n)=b^{p}+2m+m^{2}=n+(m^{2}+m)>n}$ ${\displaystyle n\leq b^{p}}$

Si es cualquier divisor de , entonces también es un número de -Kaprekar para la base . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b^{p}}$

En base , todos los números pares perfectos son números de Kaprekar. De manera más general, cualquier número de la forma o para números naturales son números de Kaprekar en base 2 . ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}-1)}$ ${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}+1)}$ ${\displaystyle n}$

Definición de teoría de conjuntos y divisores unitarios

Podemos definir el conjunto de un número entero dado como el conjunto de números enteros para los cuales existen números naturales y que satisfacen la ecuación diofántica ^[1] ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle X^{2}=AN+B}$, dónde ${\displaystyle 0\leq B<N}$

${\displaystyle X=A+B}$

Un número -Kaprekar para base es entonces aquel que se encuentra en el conjunto . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K(b^{n})}$

^{En 2000 [1]} se demostró que existe una biyección entre los divisores unitarios de y el conjunto definido anteriormente. Denotemos el inverso multiplicativo de módulo , es decir, el entero menos positivo tal que , y para cada divisor unitario de sea y . Entonces la función es una biyección del conjunto de divisores unitarios de sobre el conjunto . En particular, un número está en el conjunto si y sólo si para algún divisor unitario de . ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Inv} (a,c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle am=1{\bmod {c}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle e={\frac {N-1}{d}}}$ ${\displaystyle \zeta (d)=d\ {\text{Inv}}(d,e)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X=d\ {\text{Inv}}(d,e)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$

Los números en aparecen en pares complementarios, y . Si es divisor unitario de entonces también lo es y si entonces . ${\displaystyle K(N)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N-X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle e={\frac {N-1}{d}}}$ ${\displaystyle X=d\operatorname {Inv} (d,e)}$ ${\displaystyle N-X=e\operatorname {Inv} (e,d)}$

Números de Kaprekar para F p , b {\displaystyle F_{p,b}}

b = 4 k + 3 y p = 2 n + 1

Sean y números naturales, la base numérica y . Entonces: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=4k+3=2(2k+1)+1}$ ${\displaystyle p=2n+1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{2}}=(2k+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.

Prueba

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&={\frac {b^{p}-1}{2}}\\&={\frac {b-1}{2}}\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}\\&={\frac {4k+3-1}{2}}\sum _{i=0}^{2n+1-1}b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\end{aligned}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}^{2}&=\left({\frac {b^{p}-1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {b^{2p}-2b^{p}+1}{4}}\\&={\frac {b^{p}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n+1}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)(4k+4)-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)\\&={\frac {-(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)(4k+4)+(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{p}-2)-(k+1)b^{2n-1}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}(k+1)b^{i}(b^{p}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {(4k+3)^{1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {-(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-4b^{2n+1}+3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{p-2}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{1}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {-3+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+3(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}-2+3)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)\left(-1+(k+1)\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}b^{2i}-b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}(b-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}((k+1)b-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(4k+3)-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}}$

Los dos números y son ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

y su suma es

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}&=X_{1}\\\end{aligned}}}$

Por tanto, es un número de Kaprekar. ${\displaystyle X_{1}}$

• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+1}{2}}=X_{1}+1}$es un número de Kaprekar para todos los números naturales . ${\displaystyle n}$

Prueba

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}&={\frac {b^{2n+1}+1}{2}}\\&={\frac {b^{2n+1}-1}{2}}+1\\&=X_{1}+1\end{aligned}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}^{2}&=(X_{1}+1)^{2}\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+b^{p}-1+1\\&=b^{p}\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}}$

Los dos números y son ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}$

y su suma es

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=1+X_{1}\\&=X_{2}\end{aligned}}}$

Por tanto, es un número de Kaprekar. ${\displaystyle X_{2}}$

b = m 2 k + m + 1 y p = mn + 1

Sean , y números naturales, la base numérica y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m+1}$ ${\displaystyle p=mn+1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{1}+1}$es un número de Kaprekar.

b = m 2 k + m + 1 y p = mn + m − 1

Sean , y números naturales, la base numérica y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {m(b^{p}-1)}{4}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {mb^{p}+1}{4}}=X_{3}+1}$es un número de Kaprekar.

b = m 2 k + m 2 − m + 1 y p = mn + 1

Sean , y números naturales, la base numérica y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m^{2}-m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {(m-1)(b^{p}-1)}{m}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {(m-1)b^{p}+1}{m}}=X_{1}+1}$es un número de Kaprekar.

b = m 2 k + m 2 − m + 1 y p = mn + m − 1

Sean , y números naturales, la base numérica y la potencia . Entonces: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b=m^{2}k+m^{2}-m+1}$ ${\displaystyle p=mn+m-1}$

• ${\displaystyle X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}}$es un número de Kaprekar.
• ${\displaystyle X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{3}+1}$es un número de Kaprekar.

Números y ciclos de Kaprekar para específicos , F p , b {\displaystyle F_{p,b}} p {\displaystyle p} b {\displaystyle b}

Todos los números están en base . ${\displaystyle b}$

Extensión a enteros negativos

Los números de Kaprekar se pueden extender a enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.

Ver también

• Dinámica aritmética
• Número automorfo
• número de amigo
• factorización
• numero feliz
• La constante de Kaprekar.
• número de meertens
• numero narcisista
• Invariante perfecto dígito a dígito
• Invariante digital perfecto
• Número de suma-producto

Notas

1. Iannucci (2000)

Referencias

• DR Kaprekar (1980-1981). "Sobre los números de Kaprekar". Revista de Matemáticas Recreativas . 13 : 81–82.
• M. Charosh (1981-1982). "Algunas aplicaciones de la eliminación de 999...". Revista de Matemáticas Recreativas . 14 : 111-118.
• Iannucci, Douglas E. (2000). "Los números de Kaprekar". Diario de secuencias enteras . 3 : 00.1.2. Código Bib : 2000JIntS...3...12I.