Número suma-producto

Un número igual al producto de la suma por el producto de sus dígitos.

Un número suma-producto en una base numérica dada es un número natural que es igual al producto de la suma de sus dígitos por el producto de sus dígitos. ${\displaystyle b}$

Hay un número finito de números suma-producto en cualquier base dada . En base 10 , hay exactamente cuatro números suma-producto (secuencia A038369 en la OEIS ): 0, 1, 135 y 144. ^[1] ${\displaystyle b}$

Definición

Sea un número natural. Definimos la función suma-producto para la base , como sigue: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\left(\sum _{i=1}^{k}d_{i}\right)\!\!\left(\prod _{j=1}^{k}d_{j}\right)}$

¿Dónde está el número de dígitos del número en base , y ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural es un número suma-producto si es un punto fijo para , lo que ocurre si . Los números naturales 0 y 1 son números suma-producto triviales para todos los , y todos los demás números suma-producto son números suma-producto no triviales . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$ ${\displaystyle b}$

Por ejemplo, el número 144 en base 10 es un número suma-producto, porque , , y . ${\displaystyle 1+4+4=9}$ ${\displaystyle 1\times 4\times 4=16}$ ${\displaystyle 9\times 16=144}$

Un número natural es un número suma-producto sociable si es un punto periódico para , donde para un entero positivo , y forma un ciclo de período . Un número suma-producto es un número suma-producto sociable con , y un número suma-producto amistoso es un número suma-producto sociable con ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}^{p}(n)=n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p=2.}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que para cualquier recuento de dígitos dado , el valor mínimo posible de es y el valor máximo posible de es La suma máxima posible de dígitos es por lo tanto y el producto máximo posible de dígitos es Por lo tanto, el valor de la función suma-producto es Esto sugiere que o dividiendo ambos lados por , Ya que esto significa que habrá un valor máximo donde debido a la naturaleza exponencial de y la linealidad de Más allá de este valor , siempre. Por lo tanto, hay un número finito de números suma-producto , y se garantiza que cualquier número natural alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que lo que lo convierte en un punto preperiódico. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{k-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{k}-1=\sum _{i=0}^{k-1}(b-1)^{k}.}$ ${\displaystyle k(b-1)}$ ${\displaystyle (b-1)^{k}.}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=k(b-1)^{k+1}.}$ ${\displaystyle k(b-1)^{k+1}\geq n\geq b^{k-1},}$ ${\displaystyle (b-1)^{k-1}}$ ${\displaystyle k(b-1)^{2}\geq {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k-1}.}$ ${\displaystyle {\frac {b}{b-1}}\geq 1,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq k(b-1)^{2},}$ ${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}}$ ${\displaystyle k(b-1)^{2}.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{b}(n)\leq n}$ ${\displaystyle b^{k}-1,}$

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función suma-producto de , y no está definido si nunca alcanza un punto fijo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Cualquier número entero que se demuestre como un número suma-producto en una base dada debe, por definición, ser también un número de Harshad en esa base.

Números suma-producto y ciclos deFbpara específicob

Todos los números están representados en base . ${\displaystyle b}$

Extensión a números enteros negativos

Los números suma-producto se pueden extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo implementa la función suma-producto descrita en la definición anterior para buscar números y ciclos suma-producto en Python .

def  suma_producto ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : """Número de suma-producto.""" suma_x = 0 producto = 1 while x > 0 : if x % b > 0 : suma_x = suma_x + x % b producto = producto * ( x % b ) x = x // b return suma_x * producto                                        def  suma_producto_ciclo ( x :  int ,  b :  int )  - >  lista [ int ]:  visto  =  []  mientras  x  no  está en  visto :  visto.append ( x ) x = suma_producto ( x , b ) ciclo = [ ] mientras x no está en ciclo : ciclo.append ( x ) x = suma_producto ( x , b ) return ciclo                   

Véase también

• Dinámica aritmética
• Número de Dudeney
• Factorión
• Número feliz
• La constante de Kaprekar
• Número de Kaprekar
• Número de Meertens
• Número narcisista
• Invariante perfecto de dígito a dígito
• Invariante digital perfecto

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A038369 (Números n tales que n = (producto de dígitos de n) * (suma de dígitos de n).)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.