En matemáticas , la persistencia de un número es el número de veces que se debe aplicar una operación dada a un entero antes de llegar a un punto fijo en el que la operación ya no altera el número.
Por lo general, esto implica la persistencia aditiva o multiplicativa de un número entero no negativo, que es la frecuencia con la que uno debe reemplazar el número por la suma o el producto de sus dígitos hasta llegar a un solo dígito. Debido a que los números se descomponen en sus dígitos, la persistencia aditiva o multiplicativa depende de la base . En el resto de este artículo, se asume la base diez .
El estado final de un solo dígito que se alcanza en el proceso de cálculo de la persistencia aditiva de un número entero es su raíz digital . Dicho de otro modo, la persistencia aditiva de un número cuenta cuántas veces debemos sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital.
La persistencia aditiva de 2718 es 2: primero encontramos que 2 + 7 + 1 + 8 = 18, y luego que 1 + 8 = 9. La persistencia multiplicativa de 39 es 3, porque se necesitan tres pasos para reducir 39 a un solo dígito: 39 → 27 → 14 → 4. Además, 39 es el número más pequeño de persistencia multiplicativa 3.
En base 10, se cree que no existe ningún número con una persistencia multiplicativa mayor que 11; se sabe que esto es cierto para números hasta 2,67×10 30000 . [1] [2] Los números más pequeños con persistencia 0, 1, 2, ... son:
La búsqueda de estos números se puede acelerar utilizando propiedades adicionales de los dígitos decimales de estos números que rompen récords. Estos dígitos deben estar en orden creciente (con la excepción del segundo número, 10), y – excepto los primeros dos dígitos – todos los dígitos deben ser 7, 8, o 9. También hay restricciones adicionales sobre los primeros dos dígitos. Con base en estas restricciones, el número de candidatos para números de n dígitos con persistencia récord es solo proporcional al cuadrado de n , una fracción minúscula de todos los números de n dígitos posibles. Sin embargo, cualquier número que falte en la secuencia anterior tendría una persistencia multiplicativa > 11; se cree que tales números no existen, y necesitarían tener más de 20.000 dígitos si existieran. [1]
Puede encontrar más información sobre la persistencia aditiva de un número aquí.
Sin embargo, la persistencia aditiva de un número puede llegar a ser arbitrariamente grande ( prueba : para un número dado , la persistencia del número que consiste en repeticiones del dígito 1 es 1 mayor que la de ). Los números más pequeños de persistencia aditiva 0, 1, 2, ... son:
El siguiente número en la secuencia (el número más pequeño de persistencia aditiva 5) es 2 × 10 2×(10 22 − 1)/9 − 1 (es decir, 1 seguido de 2222222222222222222222 9). Para cualquier base fija, la suma de los dígitos de un número es como máximo proporcional a su logaritmo ; por lo tanto, la persistencia aditiva es como máximo proporcional al logaritmo iterado , y el número más pequeño de una persistencia aditiva dada crece tetracionalmente .
Algunas funciones sólo permiten la persistencia hasta cierto grado.
Por ejemplo, la función que toma el dígito mínimo solo permite persistencia 0 o 1, ya que se comienza con un número de un solo dígito o se avanza hasta él.
