En matemáticas , una secuencia periódica (a veces llamada ciclo u órbita ) es una secuencia para la cual los mismos términos se repiten una y otra vez:
El número p de términos repetidos se llama periodo ( período ). [1]
Una secuencia (puramente) periódica (con período p ), o una secuencia p- periódico , es una secuencia a 1 , a 2 , a 3 , ... que satisface
para todos los valores de n . [1] [2] [3] Si una secuencia se considera como una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales , entonces una secuencia periódica es simplemente un tipo especial de función periódica . [ cita necesaria ] El p más pequeño para el cual una secuencia periódica es p -periódica se llama período mínimo [1] o período exacto .
Toda función constante es 1-periódica.
La secuencia es periódica con mínimo período 2.
La secuencia de dígitos en la expansión decimal de 1/7 es periódica con periodo 6:
De manera más general, la secuencia de dígitos en la expansión decimal de cualquier número racional es eventualmente periódica (ver más abajo). [4]
La secuencia de potencias de −1 es periódica con período dos:
De manera más general, la secuencia de potencias de cualquier raíz de unidad es periódica. Lo mismo se aplica a las potencias de cualquier elemento de orden finito en un grupo .
Un punto periódico para una función f : X → X es un punto x cuya órbita
es una secuencia periódica. Aquí, significa la composición n veces de f aplicada a x . Los puntos periódicos son importantes en la teoría de los sistemas dinámicos . Cada función de un conjunto finito consigo misma tiene un punto periódico; La detección de ciclos es el problema algorítmico de encontrar tal punto.
Cualquier secuencia periódica se puede construir mediante suma, resta, multiplicación y división de elementos de secuencias periódicas que constan de ceros y unos. Las secuencias periódicas de cero y uno se pueden expresar como sumas de funciones trigonométricas:
Un enfoque estándar para probar estas identidades es aplicar la fórmula de De Moivre a la raíz de unidad correspondiente . Estas secuencias son fundamentales en el estudio de la teoría de números .
Una secuencia es eventualmente periódica si puede volverse periódica eliminando un número finito de términos desde el principio. Por ejemplo, la secuencia de dígitos en la expansión decimal de 1/56 es eventualmente periódica:
En última instancia, una secuencia es periódica si satisface la condición para algún r y k suficientemente grande . [1]
Una secuencia es asintóticamente periódica si sus términos se aproximan a los de una secuencia periódica. Es decir, la secuencia x 1 , x 2 , x 3 , ... es asintóticamente periódica si existe una secuencia periódica a 1 , a 2 , a 3 , ... para la cual
Por ejemplo, la secuencia
es asintóticamente periódico, ya que sus términos se aproximan a los de la secuencia periódica 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....