La fórmula de De Moivre

Teorema: (cos x + i sen x)^n = cos nx + i sen nx

En matemáticas , la fórmula de de Moivre (también conocida como teorema de Moivre e identidad de Moivre ) establece que para cualquier número real x y entero n se cumple que

${\displaystyle {\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,}$

donde i es la unidad imaginaria ( i ² = −1 ). La fórmula lleva el nombre de Abraham de Moivre , aunque nunca lo afirmó en sus obras. ^[1] La expresión cos x + i sen x a veces se abrevia como cis x .

La fórmula es importante porque conecta números complejos y trigonometría . Al expandir el lado izquierdo y luego comparar las partes real e imaginaria bajo el supuesto de que x es real, es posible derivar expresiones útiles para cos nx y sen nx en términos de cos x y sen x .

Tal como está escrita, la fórmula no es válida para potencias no enteras n . Sin embargo, existen generalizaciones de esta fórmula válidas para otros exponentes. Estos se pueden utilizar para dar expresiones explícitas para las n -ésimas raíces de la unidad , es decir, números complejos z tales que z ⁿ = 1 .

Utilizando las extensiones estándar de las funciones seno y coseno a números complejos, la fórmula es válida incluso cuando x es un número complejo arbitrario.

Ejemplo

Para y , la fórmula de de Moivre afirma que ${\displaystyle x=30^{\circ }}$ ${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),}$$

$${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Relación con la fórmula de Euler

La fórmula de De Moivre es precursora de la fórmula de Euler.

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

xradianesgrados

Se puede derivar la fórmula de De Moivre utilizando la fórmula de Euler y la ley exponencial para potencias enteras.

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},}$

ya que la fórmula de Euler implica que el lado izquierdo es igual a mientras que el lado derecho es igual a ${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}$ ${\displaystyle \cos nx+i\sin nx.}$

Prueba por inducción

La verdad del teorema de de Moivre puede establecerse mediante el uso de inducción matemática para números naturales y extenderse a todos los números enteros a partir de ahí. Para un número entero n , llame a la siguiente declaración S( n ) :

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Para n > 0 , procedemos por inducción matemática . S(1) es claramente cierto. Para nuestra hipótesis, asumimos que S( k ) es cierta para algún k natural . Es decir, suponemos

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.}$

Ahora, considerando S( k + 1) :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{by the induction hypothesis}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{by the trigonometric identities}}\end{alignedat}}}$

Ver suma de ángulos y identidades de diferencias .

Deducimos que S( k ) implica S( k + 1) . Por el principio de inducción matemática se deduce que el resultado es verdadero para todos los números naturales. Ahora, S(0) es claramente cierto ya que cos(0 x ) + i sin(0 x ) = 1 + 0 i = 1 . Finalmente, para los casos de enteros negativos, consideramos un exponente de − n para n natural .

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos nx-i\sin nx\qquad \qquad (*)\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\\\end{aligned}}}$

La ecuación (*) es resultado de la identidad

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}$

para z = cos nx + i sen nx . Por lo tanto, S( n ) es válido para todos los números enteros n .

Fórmulas para coseno y seno individualmente.

Para una igualdad de números complejos , necesariamente se tiene igualdad tanto de las partes reales como de las partes imaginarias de ambos miembros de la ecuación. Si x , y por tanto también cos x y sen x , son números reales , entonces la identidad de estas partes se puede escribir utilizando coeficientes binomiales . Esta fórmula fue dada por el matemático francés del siglo XVI François Viète :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

En cada una de estas dos ecuaciones, la función trigonométrica final es igual a uno o menos uno o cero, eliminando así la mitad de las entradas en cada una de las sumas. De hecho, estas ecuaciones son válidas incluso para valores complejos de x , porque ambos lados son funciones completas (es decir, holomorfas en todo el plano complejo ) de x , y dos funciones que coinciden en el eje real necesariamente coinciden en todas partes. Aquí están los ejemplos concretos de estas ecuaciones para n = 2 y n = 3 :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}}$

El lado derecho de la fórmula para cos nx es, de hecho, el valor T _n (cos x ) del polinomio de Chebyshev T _n en cos x .

Fallo de potencias no enteras y generalización.

La fórmula de De Moivre no es válida para potencias no enteras. La derivación de la fórmula anterior de De Moivre implica un número complejo elevado a la potencia entera n . Si un número complejo se eleva a una potencia no entera, el resultado tiene valores múltiples (ver falla de identidades de potencia y logaritmos ). Generalmente, si z y w son números complejos arbitrarios, entonces el conjunto de valores posibles es

$${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}=\lbrace \cos(zw+2\pi kw)+i\sin(zw+2\pi kw)|k\in \mathbb {Z} \rbrace \,.}$$

wnúmero racionalp / qtérminos mínimosqw

$${\displaystyle \cos wz+i\sin wz}$$

k = 0

Raíces de números complejos

Se puede utilizar una modesta extensión de la versión de la fórmula de De Moivre proporcionada en este artículo para encontrar las raíces enésimas de un número complejo (equivalentemente, la potencia de1/norte).

Si z es un número complejo, escrito en forma polar como

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),}$

entonces las n -ésimas raíces de z están dadas por

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)}$

donde k varía entre los valores enteros de 0 a | norte | − 1 suponiendo que n es un número entero distinto de 0 .

Esta fórmula también se conoce a veces como fórmula de De Moivre. ^[2]

Análogos en otros entornos.

Trigonometría hiperbólica

Dado que cosh x + sinh x = e ^x , también se aplica una analogía a la fórmula de De Moivre a la trigonometría hiperbólica . Para todos los números enteros n ,

${\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.}$

Si n es un número racional (pero no necesariamente un número entero), entonces cosh nx + sinh nx será uno de los valores de (cosh x + sinh x ) ⁿ . ^[3]

Prueba por inducción

Tenga en cuenta que , . ${\displaystyle \cosh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ ${\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$

Se necesitan las siguientes identidades para la prueba:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)\color {white}\sinh(y)\cosh(x)1(x)\\\cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)\color {white}\sinh x+\cosh(x)\\\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\sinh(y)\cosh(x)\color {white}(\\\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\color {white}(\end{aligned}}}$

Hipótesis de inducción:

${\displaystyle (\cosh(x)+\sinh(x))^{n}=\cosh(nx)+\sinh(nx)}$

Caso base, : ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cosh(x)+\sinh(x))^{2}=\cosh ^{2}(x)+2\sinh(x)\cosh(x)+\sinh ^{2}(x){\color {white}[][]}\\(\cosh(x)+\sinh(x))^{2}=[\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)]+[2\sinh(x)\cosh(x)]\end{aligned}}}$

Aplicar las fórmulas del doble ángulo .

${\displaystyle (\cosh(x)+\sinh(x))^{2}=\cosh(2x)+\sinh(2x)}$

Paso de inducción:

Suponiendo que la hipótesis de inducción sea cierta para , debe serlo para . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\displaystyle (\cosh((n+1)x)+\sinh((n+1)x))=(\cosh((nx)+(x))+\sinh((nx)+(x))}}$

Aplicar las fórmulas de los ángulos compuestos . Aplicar la hipótesis de inducción:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cosh((n+1)x)+\sinh((n+1)x))=(\cosh(nx)+(x))+\sinh((nx)+(x)){\color {white}[[\sinh(nx)\cosh(x)(+\sinh(x)+\cosh(nx)]]}\\=[\cosh(nx)\cosh(x)+\sinh(nx)\sinh(x)]+[\sinh(nx)\cosh(x)+\sinh(x)\cosh(nx)]\\=[\cosh(nx)\cosh(x)+\sinh(x)\cosh(nx)]+[\sinh(nx)\sinh(x)+\sinh(nx)\cosh(x)]\\=(\cosh(nx))(\cosh(x)+\sinh(x))+(\sinh(nx))(\cosh(x)+\sinh(x)){\color {white}[[xx(y)\sinh()]]}\\=(\cosh(nx)+\sinh(nx))(\cosh(x)+\sinh(x)){\color {white}[[(x)(y)\sin()]]\sinh(x)\cosh(x)+++}\end{aligned}}}$

Aplicar la hipótesis de inducción:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cosh((n+1)x)+\sinh((n+1)x))=(\cosh(x)+\sinh(x))^{n}(\cosh(x)+\sinh(x))\\(\cosh((n+1)x)+\sinh((n+1)x))=(\cosh(x)+\sinh(x))^{n+1}{\color {white}(\cosh(x)+\sinh()}\end{aligned}}}$

Esto demuestra que el teorema de De Moivre se extiende a la trigonometría hiperbólica.

Extensión a números complejos

La fórmula es válida para cualquier número complejo. ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle (\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}}$

Cuaterniones

Para encontrar las raíces de un cuaternión existe una forma análoga a la fórmula de De Moivre. Un cuaternión en la forma

${\displaystyle d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }$

se puede representar en la forma

${\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .}$

En esta representación,

${\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$

y las funciones trigonométricas se definen como

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}$

En el caso de que a ² + b ² + c ² ≠ 0 ,

${\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}$

es decir, el vector unitario. Esto lleva a la variación de la fórmula de De Moivre:

${\displaystyle q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).}$^[4]

Ejemplo

Para encontrar las raíces cúbicas de

${\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}$

escribe el cuaternión en la forma

${\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }}\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}$

Entonces las raíces cúbicas vienen dadas por:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}\theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}$

matrices 2 × 2

Considere la siguiente matriz . Entonces . Este hecho (aunque se puede demostrar del mismo modo que para los números complejos) es consecuencia directa de que el espacio de matrices de tipo es isomorfo al plano complejo . ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &\sin n\phi \\-\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$

Referencias

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Manual de funciones matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 74.ISBN​ 0-486-61272-4..

1. Lial, Margaret L.; Hornsby, Juan; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). Álgebra y trigonometría universitaria (4ª ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. pag. 792.ISBN​ 9780321497444.
2. "Fórmula De Moivre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Mukhopadhyay, Utpal (agosto de 2006). "Algunas características interesantes de las funciones hiperbólicas". Resonancia . 11 (8): 81–85. doi :10.1007/BF02855783. S2CID  119753430.
4. Brand, Louis (octubre de 1942). "Las raíces de un cuaternión". El Mensual Matemático Estadounidense . 49 (8): 519–520. doi :10.2307/2302858. JSTOR  2302858.

enlaces externos

• Teorema de De Moivre para identidades trigonométricas por Michael Croucher, Proyecto de demostraciones Wolfram .

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