número de perrin

Secuencia numérica 3,0,2,3,2,5,5,7,10,...

Espiral de triángulos equiláteros con lados de longitud igual a los números de Perrin.

En matemáticas, los números de Perrin son una secuencia entera recursiva constante doblemente infinita con ecuación característica x ³ = x + 1 . Los números de Perrin tienen la misma relación con la secuencia de Padovan que los números de Lucas con la secuencia de Fibonacci .

Definición

Los números de Perrin están definidos por la relación de recurrencia.

${\displaystyle {\begin{aligned}P(0)&=3,\\P(1)&=0,\\P(2)&=2,\\P(n)&=P(n-2)+P(n-3){\mbox{ for }}n>2,\end{aligned}}}$

y al revés

${\displaystyle P(n)=P(n+3)-P(n+1){\mbox{ for }}n<0.}$

Los primeros términos en ambas direcciones son

Los números de Perrin se pueden expresar como sumas de los tres términos iniciales.

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}n&P(n)&P(-n)\\\hline 0&P(0)&...\\1&P(1)&P(2)-P(0)\\2&P(2)&-P(2)+P(1)+P(0)\\3&P(1)+P(0)&P(2)-P(1)\\4&P(2)+P(1)&P(1)-P(0)\\5&P(2)+P(1)+P(0)&-P(2)+2P(0)\\6&P(2)+2P(1)+P(0)&2P(2)-P(1)-2P(0)\\7&2P(2)+2P(1)+P(0)&-2P(2)+2P(1)+P(0)\\8&2P(2)+3P(1)+2P(0)&P(2)-2P(1)+P(0)\end{array}}}$

Los primeros catorce números primos de Perrin son

Historia

En 1876, la secuencia y su ecuación fueron mencionadas inicialmente por Édouard Lucas , quien señaló que el índice n divide al término P(n) si n es primo. ^[5] En 1899, Raoul Perrin preguntó si había algún contraejemplo de esta propiedad. ^[6] El primer P(n) divisible por el índice compuesto n no fue encontrado hasta 1982 por William Adams y Daniel Shanks . ^[7] Presentaron una investigación detallada de la secuencia, con una secuela que apareció cuatro años después. ^[8]

Propiedades

Un microcosmos de Perrin: el algoritmo de tiempo de escape se aplica al mapa de Newton de toda la función de Perrin F(z) alrededor del punto crítico z = 1,225432 con un ancho de ventana gráfica de 0,05320. Las cuencas de atracción que emanan del centro corresponden al número infinito de raíces reales (izquierda) y complejas (derecha) F(z) = 0 .

La secuencia de Perrin también satisface la relación de recurrencia. A partir de esto y de la recurrencia que la define, se pueden crear un número infinito de relaciones adicionales, por ejemplo ${\displaystyle P(n)=P(n-1)+P(n-5).}$ ${\displaystyle P(n)=P(n-3)+P(n-4)+P(n-5).}$

La función generadora de la secuencia de Perrin es

${\displaystyle {\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)\,x^{n}}$

La secuencia está relacionada con sumas de coeficientes binomiales por

${\displaystyle P(n)=n\times \sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {k}{n-2k}}/k,}$^[1]

${\displaystyle P(-n)=n\times \sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }(-1)^{n-k}{\binom {n-2k}{k}}/(n-2k).}$

Los números de Perrin se pueden expresar en términos de sumas parciales.

${\displaystyle {\begin{aligned}P(n+5)-2&=\sum _{k=0}^{n}P(k)\\P(2n+3)&=\sum _{k=0}^{n}P(2k)\\5-P(4-n)&=\sum _{k=0}^{n}P(-k)\\3-P(1-2n)&=\sum _{k=0}^{n}P(-2k).\end{aligned}}}$

Los números de Perrin se obtienen como potencias integrales n ≥ 0 de la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P(n)\\P(n+1)\\P(n+2)\end{pmatrix}},}$

y su inversa

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P(-n)\\P(1-n)\\P(2-n)\end{pmatrix}}.}$

El análogo de Perrin de la identidad de Simson para los números de Fibonacci viene dado por el determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}P(n+2)&P(n+1)&P(n)\\P(n+1)&P(n)&P(n-1)\\P(n)&P(n-1)&P(n-2)\end{vmatrix}}=-23.}$

El número de conjuntos independientes máximos diferentes en un gráfico de ciclo de n -vértices se cuenta mediante el n.ésimo número de Perrin para n ≥ 2 . ^[9]

fórmula binet

La función de Perrin extiende la secuencia a números reales.

La solución de la recurrencia se puede escribir en términos de las raíces de la ecuación característica . Si las tres soluciones son raíz real (con valor aproximado 1,324718 y conocida como relación plástica ) y raíces conjugadas complejas y , los números de Perrin se pueden calcular con la fórmula de Binet que también es válida para n negativo . ${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$ ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P(n)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}+\gamma ^{n},}$

La forma polar es con Dado que la fórmula se reduce al primer o segundo término sucesivamente para n grandes positivos o negativos , y los números con subíndices negativos oscilan. Siempre que α se calcule con suficiente precisión, estas fórmulas se pueden utilizar para calcular los números de Perrin para n grande . ${\displaystyle P(n)=\alpha ^{n}+2\cos(n\,\theta ){\sqrt {\alpha ^{-n}}},}$ ${\displaystyle \theta =\arccos(-{\sqrt {\alpha ^{3}}}/2).}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha ^{-n}=0,}$

Expandir la identidad proporciona la importante regla de duplicación del índice mediante la cual se vinculan las partes directa e inversa de la secuencia. ${\displaystyle P^{2}(n)=(\alpha ^{n}+\beta ^{n}+\gamma ^{n})^{2}}$ ${\displaystyle P(2n)=P^{2}(n)-2P(-n),}$

El índice primo p divide a P(p)

Si la ecuación característica de la secuencia se escribe como entonces los coeficientes se pueden expresar en términos de raíces con las fórmulas de Vieta : ${\displaystyle f(x)=x^{3}-\sigma _{1}x^{2}+\sigma _{2}x-\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sigma _{1}&=\alpha +\beta +\gamma &&=0\\\sigma _{2}&=\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma &&=-1\\\sigma _{3}&=\alpha \beta \gamma &&=1.\end{alignedat}}}$

Estas funciones de valores enteros son los polinomios simétricos elementales en ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma .}$

• El teorema fundamental de los polinomios simétricos establece que cada polinomio simétrico en las raíces complejas de monic se puede representar como otra función polinómica en los coeficientes enteros de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$
• El análogo del teorema de Lucas para coeficientes multinomiales dice que si entonces es divisible por primos ${\displaystyle {\frac {p!}{i!j!k!}}}$ ${\displaystyle i,j,k<p}$ ${\displaystyle {\binom {p}{i,j,k}}}$ ${\displaystyle p.}$

Dados los números enteros a, b, c y n > 0,

${\displaystyle (a+b+c)^{n}=\sum _{i+j+k=n}{\binom {n}{i,j,k}}a^{i}b^{j}c^{k}.}$

Reorganice en sumandos monomios simétricos , permutando los exponentes i, j, k:

${\displaystyle (a+b+c)^{n}-(a^{n}+b^{n}+c^{n})=}$ ${\displaystyle \sum _{\begin{aligned}i\leq j\leq k&<n\\i+j+k&=n\end{aligned}}{\binom {n}{i,j,k}}\sum _{\pi (i,j,k)}a^{i}b^{j}c^{k}.}$

Sustituya potencias por números primos y raíces complejas por números enteros y calcule representaciones en términos de para todas las funciones polinomiales simétricas. Por ejemplo, is y la suma de potencias se pueden expresar en los coeficientes con el esquema recursivo de Newton . Se deduce que la identidad tiene términos enteros y ambos lados son divisibles por números primos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma )^{p}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{p}=0}$ ${\displaystyle \alpha ^{p}+\beta ^{p}+\gamma ^{p}=P(p)}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle p.}$

Para demostrar que un primo se divide en secuencia inversa, se debe reflejar la ecuación característica . Las raíces son entonces los coeficientes y se aplica el mismo razonamiento. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P(-p)+1}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1},\beta ^{-1},\gamma ^{-1},}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=-1,\sigma _{2}=0,\sigma _{3}=1,}$

Prueba de primalidad de Perrin

Consulta 1484. La curiosa proposición de origen chino que es objeto de la consulta 1401 ^[10] proporcionaría, de ser cierta, un criterio más práctico que el teorema de Wilson para verificar si un número dado m es primo o no; bastaría con calcular los residuos con respecto a m de términos sucesivos de la secuencia de recurrencia
u _n = 3u _n−1 − 2u _n−2 con valores iniciales u ₀ = −1, u ₁ = 0. ^[11]
He encontrado otra secuencia de recurrencia que parece poseer la misma propiedad; es aquel cuyo término general es
v _n = v _n−2 + v _n−3 con valores iniciales v ₀ = 3, v ₁ = 0, v ₂ = 2. Es fácil demostrar que v _n es divisible por n , si n es primo; He comprobado, hasta valores bastante altos de n, que en el caso contrario no lo es; pero sería interesante saber si esto es realmente así, especialmente porque la secuencia v _n da números que crecen mucho menos rápidamente que la secuencia u _n (para n = 17, por ejemplo, se encuentra u _n = 131070, v _n = 119 ), lo que conduce a cálculos más simples cuando n es un número grande.
La misma prueba, aplicable a una de las sucesiones, se aplicará indudablemente a la otra, si la propiedad enunciada es cierta para ambas: sólo es cuestión de descubrirla. ^[12]

La secuencia de Perrin tiene la propiedad de Fermat : si p es primo , P(p) ≡ P(1) ≡ 0 (mod p) . Sin embargo, lo contrario no es cierto: algún compuesto n aún puede dividir P(n) . Un número con esta propiedad se llama pseudoprimo de Perrin .

Malo y Jarden consideraron la cuestión de la existencia de pseudoprimos de Perrin, ^[13] pero no se conoció ninguno hasta que Adams y Shanks encontraron el más pequeño, 271441 = 521 ² (el número P(271441) tiene 33150 dígitos decimales). ^[14] Jon Grantham demostró más tarde que hay infinitos pseudoprimos de Perrin. ^[15]

Los diecisiete pseudoprimos de Perrin por debajo de 10 ⁹ son

271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291, 102690901, 130944133, 196075949, 214038533, 517697641, 45670533, 801123451, 855073301, 903136901, 970355431. ^[16]

Adams y Shanks notaron que los números primos también satisfacen la congruencia P(−p) ≡ P(−1) ≡ −1 (mod p) . Los compuestos en los que se mantienen ambas propiedades se denominan pseudoprimos de Perrin restringidos. Sólo hay nueve números de este tipo por debajo de 10 ⁹ . ^{[17] [18] [19]}

Si bien los pseudoprimos de Perrin son raros, se superponen con los pseudoprimos de Fermat . De los diecisiete números anteriores, cuatro también son fermatianos de base 2. Por el contrario, los pseudoprimos de Lucas están anticorrelacionados. ^[20] Presumiblemente, la combinación de las pruebas de Perrin y Lucas debería hacer una prueba de primalidad tan sólida como la confiable prueba BPSW que no tiene pseudoprimos conocidos, aunque a un costo computacional más alto.

Pseudocódigo

La prueba de primalidad de Adams y Shanks O (log n) Perrin de 1982. ^[21]

Dos matrices de enteros u(3) y v(3) se inicializan en los términos más bajos de la secuencia de Perrin, con índices positivos t = 0, 1, 2 en u( ) e índices negativos t = 0,−1,−2 en v( ).

El bucle principal de doble y suma , originalmente diseñado para ejecutarse en una calculadora de bolsillo HP-41C , calcula P(n) mod n y el inverso P(−n) mod n al costo de seis elevaciones al cuadrado modulares para cada bit de n. .

Los subíndices de los números de Perrin se duplican usando la identidad P(2t) = P ² (t) − 2P(−t) . Las brechas resultantes entre P(±2t) y P(±2t ± 2) se cierran aplicando la relación definitoria P(t) = P(t − 2) + P(t − 3) .

Los valores iniciales son  int u(0):= 3, u(1):= 0, u(2):= 2 son  int v(0):= 3, v(1):=−1, v(2) := 1 Pruebe el número positivo impar n entrada  int n set  int h:= bit más significativo de n para k:= ​​h − 1 hasta 0  Duplica los índices de  los seis números de Perrin.  para yo = 0, 1, 2 temp:= u(i)^2 − 2v(i) (mod n) v(i):= v(i)^2 − 2u(i) (mod n) u(i):= temperatura fin para  Copie P(2t + 2) y P(−2t − 2)  en los extremos de la matriz y utilícelos  en la siguiente declaración if. tu(3):= tu(2) v(3):=v(2)  Sobrescribir P(2t ± 2) con P(2t ± 1) temperatura:= u(2) − u(1) u(2):= u(0) + temperatura u(0):= temperatura  Sobrescribir P(−2t ± 2) con P(−2t ± 1) temperatura:= v(0) − v(1) v(0):= v(2) + temperatura v(2):= temperatura  si n tiene el bit k establecido ,  aumente los índices de  ambos triples de Perrin en 1.  para i = 0, 1, 2 tu(yo):= tu(yo + 1) v(yo):= v(yo + 1) fin para  endif fin para Resultado imprimir v(2), v(1), v(0) imprimir u(0), u(1), u(2)

Sucesivamente P(−n − 1), P(−n), P(−n + 1) y P(n − 1), P(n), P(n + 1) (mod n) .

Si P(−n) = −1 y P(n) = 0 entonces n es un primo probable , es decir: realmente primo o un pseudoprimo de Perrin restringido.

Shanks y cols. observaron que para todos los pseudoprimos restringidos que encontraron, el estado final de los seis registros anteriores (la "firma" de n ) es igual al estado inicial 1, −1,3, 3,0,2. ^[22] Lo mismo ocurre con ≈ 1/6 de todos los primos, por lo que los dos conjuntos no se pueden distinguir basándose únicamente en esta prueba. ^[23] Para esos casos, recomiendan utilizar también la secuencia hermana de Narayana-Lucas con relación de recurrencia A(n) = A(n − 1) + A(n − 3) y valores iniciales

u(0):= 3, u(1):= 1, u(2):= 1v(0):= 3, v(1):= 0, v(2):=−2

Se aplica la misma regla de duplicación y las fórmulas para llenar los espacios son

temperatura:= u(0) + u(1)u(0):= u(2) − temperaturau(2):= temperatura temperatura:= v(2) + v(1)v(2):= v(0) − temperaturav(0):= temperatura

Aquí, n es un primo probable si A(−n) = 0 y A(n) = 1 .

Kurtz et al. no encontró superposición entre los pseudoprimos impares para las dos secuencias por debajo de 50∙10 ⁹ y supuso que 2,277,740,968,903 = 1067179 ∙ 2134357 es el número compuesto más pequeño que pasa ambas pruebas. ^[24]

Si también se utiliza la recurrencia de Pell-Lucas de tercer orden A(n) = 2A(n − 1) + A(n − 3) , este límite se elevará a 4.057.052.731.496.380.171 = 1424263447 ∙ 2848526893. ^[25]

Además, las raíces de la congruencia de la regla de duplicación distintas de −1 o 3 exponen números compuestos, como las raíces cuadradas no triviales de 1 en la prueba de Miller-Rabin . ^[26] Esto reduce el número de pseudoprimos restringidos para cada secuencia en aproximadamente un tercio y es especialmente eficiente en la detección de números de Carmichael . ^[27] ${\displaystyle x^{2}-2x\equiv 3=P(0){\pmod {n}}\,}$

El pseudoprimo de Perrin restringido menos fuerte es 46672291 y los dos límites anteriores se expanden sucesivamente a 173,536,465,910,671 y 79,720,990,309,209,574,421. ^[28]

Notas

1. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A001608 (secuencia de Perrin (o Ondrej Tal secuencia): a(n) = a(n-2) + a(n-3) con a(0) = 3, a(1) = 0, a(2) = 2)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
2. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A078712 (Expansión en serie de (-3 - 2*x)/(1 + x - x^3) en potencias de x)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
3. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A112881 (Índices de números primos de Perrin; valores de n tales que A001608 (n) es primo)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
4. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A074788 (Números primos en la secuencia de Perrin b(n+1) = b(n-1) + b(n-2) con valores iniciales b(1)=3, b(2)=0, b(3 )=2)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
5. Lucas (1878) harvtxt error: no target: CITEREFLucas1878 (help)
6. Perrin (1899) harvtxt error: no target: CITEREFPerrin1899 (help)
7. Adams y Shanks (1982) harvtxt error: no target: CITEREFAdamsShanks1982 (help)
8. Kurtz, Shanks y Williams (1986) harvtxt error: no target: CITEREFKurtzShanksWilliams1986 (help)
9. Furedi (1987)
10. Tarry (1898) harvtxt error: no target: CITEREFTarry1898 (help)
11. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A000918 (a(n) = 2^n - 2)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
12. Perrin (1899) traducido del francés harvtxt error: no target: CITEREFPerrin1899 (help)
13. Malo (1900) , Jarden (1966) harvtxt error: no target: CITEREFMalo1900 (help)
14. Adams y Shanks (1982, pág.255) harvtxt error: no target: CITEREFAdamsShanks1982 (help)
15. Grantham (2010), Stephan (2020)
16. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A013998 (pseudoprimos de Perrin sin restricciones)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
17. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A018187 (pseudoprimos de Perrin restringidos)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
18. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A275612 (pseudoprimos de Perrin restringidos (definición de Adams y Shanks))". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
19. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A275613 (pseudoprimos de Perrin restringidos (definición de Grantham))". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
20. Ninguno de los 2402549 pseudoprimos de Lucas-Selfridge por debajo de 10 ¹⁵ enumerados por Dana Jacobsen (2020) es también un pseudoprimo de Perrin.
21. Adams y Shanks (1982, pág.265, 269-270) harvtxt error: no target: CITEREFAdamsShanks1982 (help)
22. Adams y Shanks (1982, p. 275) , Kurtz, Shanks y Williams (1986, p. 694) . Esto fue confirmado posteriormente para n < 10· ¹⁴ por Steven Arno (1991). harvtxt error: no target: CITEREFAdamsShanks1982 (help) harvtxt error: no target: CITEREFKurtzShanksWilliams1986 (help)
23. La firma proporciona información discriminatoria sobre los dos tipos restantes de números primos. Por ejemplo, el pseudoprimo de tipo Q más pequeño 50,972,694,899,204,437,633 calculado por Holger Stephan (2019) está expuesto por las condiciones de firma 14a y 14c en Adams & Shanks (1982, p. 257) . harvtxt error: no target: CITEREFAdamsShanks1982 (help)
24. Kurtz, Shanks y Williams (1986, pág. 697) harvtxt error: no target: CITEREFKurtzShanksWilliams1986 (help)
25. Esteban (2019)
26. Adams y Shanks (1982, págs. 280-283) harvtxt error: no target: CITEREFAdamsShanks1982 (help)
27. La implementación AC/C++ de la prueba Perrin extendida se puede encontrar en la subsección final de una versión anterior de este artículo.
28. Esteban (2019)

Referencias

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• Malo, E. (1900). "Respuesta a 1484". L'Intermédiaire des Mathématiciens . 7 . Gauthier-Villars et fils: 280–282, 312–314.
• Jarden, Dov (1966). Secuencias recurrentes (PDF) (2 ed.). Jerusalén: Riveon LeMatematika. págs. 86–93.
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• Kurtz, GC; Shanks, Daniel ; Williams, HC (1986). "Pruebas rápidas de primalidad para números inferiores a 50∙109". Matemáticas de la Computación . 46 (174). Sociedad Estadounidense de Matemáticas : 691–701. doi : 10.1090/S0025-5718-1986-0829639-7 . JSTOR  2008007.
• Füredi, Zoltán (1987). "El número de conjuntos independientes máximos en gráficos conectados". Revista de teoría de grafos . 11 (4): 463–470. doi :10.1002/jgt.3190110403.
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• Grantham, Jon (2010). "Hay infinitos pseudoprimos de Perrin". Revista de teoría de números . 130 (5): 1117-1128. arXiv : 1903.06825 . doi :10.1016/j.jnt.2009.11.008.
• Jacobsen, Dana (2020). "Tablas y estadísticas de pseudoprimes". ntheory.org . Consultado el 7 de marzo de 2024 . #LPSP Lucas-Selfridge
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• Stephan, Holger (2019), Pseudoprimos de Perrin. Conjuntos de datos , Berlín: Instituto Weierstrass , doi : 10.20347/WIAS.DATA.4

enlaces externos

• Jacobsen, Dana (2016). "Pruebas de primalidad de Perrin".
• Wright, Colin (2015). "Encontrar pseudoprimos de Perrin".
• "Secuencia de Perrin". MathPages.com .
• "Lucas y Perrin Pseudoprimes". MathPages.com .
• Holzbaur, Christian (1997). "Perrin Pseudoprimos".
• Turco, Richard (2014). "La pizarra de Perrin".