Relación de superplata

Número, aproximadamente 2,20557

En matemáticas, la proporción superplata es una proporción geométrica cercana a 75/34 . Su valor real es la solución real de la ecuación x ³ = 2 x ² + 1.

El nombre de proporción superplata resulta de la analogía con la proporción plata , la solución positiva de la ecuación x ² = 2 x + 1 , y la proporción superáurea .

Definición

Dos cantidades a > b > 0 están en la proporción superplata al cuadrado si

${\displaystyle \left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}}$.

La relación se denota aquí ${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}}$ ${\displaystyle \varsigma .}$

Con base en esta definición, se tiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {2a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {2a+b}{a}}-2\right)\\&\implies \varsigma ^{2}\left(\varsigma -2\right)=1\end{aligned}}}$

De ello se deduce que la relación superplata se encuentra como la única solución real de la ecuación cúbica. La expansión decimal de la raíz comienza como (secuencia A356035 en la OEIS ). ${\displaystyle \varsigma ^{3}-2\varsigma ^{2}-1=0.}$ ${\displaystyle 2.205\,569\,430\,400\,590...}$

El polinomio mínimo para la raíz recíproca es el cúbico deprimido, por lo tanto la solución más simple con la fórmula de Cardano , ${\displaystyle x^{3}+2x-1,}$

${\displaystyle w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {59}{3}}}\right)/2}$

${\displaystyle 1/\varsigma ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

o, utilizando el seno hiperbólico ,

${\displaystyle 1/\varsigma =-2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left(-{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\right).}$

⁠ ⁠ es el ${\displaystyle 1/\varsigma }$punto fijo superestable de la iteración ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+2).}$

Reescribe el polinomio mínimo como , entonces la iteración da como resultado el radical continuo ${\displaystyle (x^{2}+1)^{2}=1+x}$ ${\displaystyle x\gets {\sqrt {-1+{\sqrt {1+x}}}}}$

${\displaystyle 1/\varsigma ={\sqrt {-1+{\sqrt {1+{\sqrt {-1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}\;}$^[1]

Dividiendo el trinomio definitorio por ⁠ ⁠ se obtiene , y los elementos conjugados de ⁠ ⁠ son ${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1}$ ${\displaystyle x-\varsigma }$ ${\displaystyle x^{2}+x/\varsigma ^{2}+1/\varsigma }$ ${\displaystyle \varsigma }$

${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {8\varsigma ^{2}+3}}\right)/2\varsigma ^{2},}$

con y ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=2-\varsigma \;}$ ${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\varsigma .}$

Propiedades

Los rectángulos con relaciones de aspecto relacionadas con potencias de ς forman mosaicos en el cuadrado.

La tasa de crecimiento del valor promedio del término n-ésimo de una secuencia aleatoria de Fibonacci es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varsigma -1}$ . ^[2]

La relación superplata se puede expresar en términos de sí misma como la serie geométrica infinita

${\displaystyle \varsigma =2\sum _{k=0}^{\infty }\varsigma ^{-3k}}$y ${\displaystyle \,\varsigma ^{2}=-1+\sum _{k=0}^{\infty }(\varsigma -1)^{-k},}$

en comparación con las identidades de la proporción de plata

${\displaystyle \sigma =2\sum _{k=0}^{\infty }\sigma ^{-2k}}$y ${\displaystyle \,\sigma ^{2}=-1+2\sum _{k=0}^{\infty }(\sigma -1)^{-k}.}$

Para cada entero se tiene ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma ^{n}&=2\varsigma ^{n-1}+\varsigma ^{n-3}\\&=4\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+2\varsigma ^{n-4}\\&=\varsigma ^{n-1}+2\varsigma ^{n-2}+\varsigma ^{n-3}+\varsigma ^{n-4}.\end{aligned}}}$

Patrón de fracción continua de unas pocas potencias bajas

${\displaystyle \varsigma ^{-2}=[0;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 0.2056}$( 24/5 )

${\displaystyle \varsigma ^{-1}=[0;2,4,1,6,2,1,1,1,1,1,...]\approx 0.4534}$( 5/11 )

${\displaystyle \ \varsigma ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \varsigma ^{1}=[2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...]\approx 2.2056}$( 53/24 )

${\displaystyle \varsigma ^{2}=[4;1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,...]\approx 4.8645}$( 73/15 )

${\displaystyle \varsigma ^{3}=[10;1,2,1,2,4,4,2,2,6,2,...]\approx 10.729}$( 118/11 )

La razón de superplata es un número de Pisot . ^[3] Debido a que el valor absoluto de los conjugados algebraicos es menor que 1, las potencias de ⁠ ⁠ generan casi números enteros . Por ejemplo: después de diez pasos de rotación, las fases del par conjugado en espiral hacia adentro, inicialmente cerca de ⁠ ⁠ , casi se alinean con el eje imaginario. ${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma }}}$ ${\displaystyle \varsigma }$ ${\displaystyle \varsigma ^{10}=2724.00146856...\approx 2724+1/681.}$ ${\displaystyle \pm 45\pi /82}$

El polinomio mínimo de la relación superplata tiene discriminante y se factoriza en el campo cuadrático imaginario tiene número de clase ⁠ ⁠ Por lo tanto, el campo de clase de Hilbert de ⁠ ⁠ se puede formar adjuntando ⁠ ⁠ ^[4] Con el argumento un generador para el anillo de números enteros de ⁠ ⁠ , la raíz real j ( τ ) del polinomio de clase de Hilbert está dada por ^{[5] [6]} ${\displaystyle m(x)=x^{3}-2x^{2}-1}$ ${\displaystyle \Delta =-59}$ ${\displaystyle (x-21)^{2}(x-19){\pmod {59}};\;}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle h=3.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \varsigma .}$ ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$ ${\displaystyle K}$  ${\displaystyle (\varsigma ^{-6}-27\varsigma ^{6}-6)^{3}.}$

El invariante de clase de Weber-Ramanujan se aproxima con un error < 3,5 ∙ 10 ⁻²⁰ mediante

${\displaystyle {\sqrt {2}}\,{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})={\sqrt[{4}]{2}}\,G_{59}\approx (e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}+24)^{1/24},}$

mientras que su valor verdadero es la raíz real única del polinomio

${\displaystyle W_{59}(x)=x^{9}-4x^{8}+4x^{7}-2x^{6}+4x^{5}-8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}+16x-8.}$

El valor singular integral elíptico ^[7] para ⁠ ⁠ tiene expresión en forma cerrada ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$ ${\displaystyle r=59}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(59)=\sin(\arcsin \left(G_{59}^{-12}\right)/2)}$

(que es menos de 1/294 de la excentricidad de la órbita de Venus).

Secuencias de Pell de tercer orden

Estos números están relacionados con la proporción de superplata como los números de Pell y los números de Pell-Lucas lo están con la proporción de plata .

La secuencia fundamental está definida por la relación de recurrencia de tercer orden

${\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-3}}$para n > 2 ,

con valores iniciales

${\displaystyle S_{0}=1,S_{1}=2,S_{2}=4.}$

Los primeros términos son 1, 2, 4, 9, 20, 44, 97, 214, 472, 1041, 2296, 5064,... (secuencia A008998 en la OEIS ). La razón límite entre términos consecutivos es la razón superplata.

Los primeros 8 índices para los cuales n es primo son n = 1, 6, 21, 114, 117, 849, 2418, 6144. El último número tiene 2111 dígitos decimales. ${\displaystyle S_{n}}$

La secuencia se puede extender a índices negativos utilizando

${\displaystyle S_{n}=S_{n+3}-2S_{n+2}}$.

La función generadora de la secuencia está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{1-2x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}}$para ^[8] ${\displaystyle x<1/\varsigma \;.}$

Los números de Pell de tercer orden están relacionados con las sumas de coeficientes binomiales por

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}\cdot 2^{n-3k}\;}$. ^[9]

La ecuación característica de la recurrencia es Si las tres soluciones son raíz real ⁠ ⁠ y par conjugado ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ , los números superplata se pueden calcular con la fórmula de Binet ${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-1=0.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle S_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n},}$con reales y ${\displaystyle a}$ conjugados y las ${\displaystyle b}$raíces de ${\displaystyle c}$​​ ${\displaystyle 59x^{3}+4x-1=0.}$

Dado que y el número ⁠ ⁠ es el entero más cercano a con n ≥ 0 y 0,17327 02315 50408 18074 84794... ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$ ${\displaystyle \alpha =\varsigma ,}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle a\,\varsigma ^{n+2},}$ ${\displaystyle a=\varsigma /(2\varsigma ^{2}+3)=}$

Los coeficientes dan como resultado la fórmula de Binet para la secuencia relacionada ${\displaystyle a=b=c=1}$ ${\displaystyle A_{n}=S_{n}+2S_{n-3}.}$

Los primeros términos son 3, 2, 4, 11, 24, 52, 115, 254, 560, 1235, 2724, 6008,... (secuencia A332647 en la OEIS ).

Esta secuencia de Pell-Lucas de tercer orden tiene la propiedad de Fermat : si p es primo, la inversa no se cumple, pero el pequeño número de pseudoprimos impares hace que la secuencia sea especial. Los 14 números compuestos impares menores de 10 ⁸ que pasan la prueba son n = 3 ² , 5 ² , 5 ³ , 315 , 99297 , 222443 , 418625 , 9122185 , 3257 ² , 11889745 , 20909625 , 24299681 , 64036831 , 76917325. ^[10] ${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}.}$ ${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-2)}$

El Peregrino : un fractal superplateado de Rauzy de tipo a ↦ aba. Las tres subtiles tienen áreas en proporción ς.

Los números de Pell de tercer orden se obtienen como potencias integrales n > 3 de una matriz con valor propio real ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varsigma }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}S_{n}&S_{n-2}&S_{n-1}\\S_{n-1}&S_{n-3}&S_{n-2}\\S_{n-2}&S_{n-4}&S_{n-3}\end{pmatrix}}}$

El rastro de ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q^{n}}$ da lo anterior ⁠ ⁠ ${\displaystyle A_{n}.}$

Alternativamente, ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q}$ se puede interpretar como una matriz de incidencia para un sistema Lindenmayer D0L en el alfabeto ⁠ ⁠ con la regla de sustitución correspondiente ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;aab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

y el iniciador . La ${\displaystyle w_{0}=b}$ serie de palabras producidas al ${\displaystyle w_{n}}$ iterar la sustitución tiene la propiedad de que el número de c, b y a es igual a los números de Pell sucesivos de tercer orden. Las longitudes de estas palabras están dadas por ^[11] ${\displaystyle l(w_{n})=S_{n-2}+S_{n-3}+S_{n-4}.}$

Asociado a este proceso de reescritura de cadenas hay un conjunto compacto compuesto de mosaicos autosimilares llamado fractal de Rauzy , que visualiza la información combinatoria contenida en una secuencia de tres letras de múltiples generaciones. ^[12]

Rectángulo superplateado

Potencias de ς dentro de un rectángulo superplateado.

Dado un rectángulo de altura 1 , longitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varsigma }$ y longitud diagonal. Los triángulos en la diagonal tienen altitudes; cada pie perpendicular divide la diagonal en razón ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \varsigma {\sqrt {\varsigma -1}}.}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\varsigma -1}}\,;}$ ${\displaystyle \varsigma ^{2}}$

En el lado derecho, corte un cuadrado de lado 1 y marque la intersección con la diagonal descendente. El rectángulo restante ahora tiene una relación de aspecto (según ). Divida el rectángulo original en cuatro partes mediante un segundo corte horizontal que pase por el punto de intersección. ^[13] ${\displaystyle 1+1/\varsigma ^{2}:1}$ ${\displaystyle \varsigma =2+1/\varsigma ^{2}}$

El rectángulo superplateado principal y las dos copias escaladas a lo largo de la diagonal tienen tamaños lineales en las proporciones Las áreas de los rectángulos opuestos a la diagonal son iguales a con proporciones de aspecto (abajo) y (arriba). ${\displaystyle \varsigma :\varsigma -1:1.}$ ${\displaystyle (\varsigma -1)/\varsigma ,}$ ${\displaystyle \varsigma (\varsigma -1)}$ ${\displaystyle \varsigma /(\varsigma -1)}$

Si el diagrama se subdivide aún más mediante líneas perpendiculares a través de los pies de las alturas, las longitudes de la diagonal y sus siete subsecciones distintas están en proporciones ${\displaystyle \varsigma ^{2}+1:\varsigma ^{2}:\varsigma ^{2}-1:\varsigma +1:}$ ${\displaystyle \,\varsigma (\varsigma -1):\varsigma :2/(\varsigma -1):1.}$

Véase también

• Soluciones de ecuaciones similares a : ${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$
  • Relación plata : la única solución positiva de la ecuación ${\displaystyle x^{2}=2x+1}$
  • Proporción áurea : la única solución positiva de la ecuación ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Proporción superáurea : la única solución real de la ecuación ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A272874". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. (secuencia A137421 en la OEIS )
3. Panju, Maysum (2011). "Una construcción sistemática de números casi enteros" (PDF) . The Waterloo Mathematics Review . 1 (2): 35–43.
4. "Campo de clase de Hilbert de un cuerpo cuadrático cuyo número de clase es 3". Intercambio de pila de matemáticas . 2012 . Consultado el 1 de mayo de 2024 .
5. Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999). "Ramanujan y el j-invariante modular". Canadian Mathematical Bulletin . 42 (4): 427–440. doi : 10.4153/CMB-1999-050-1 .
6. Johansson, Fredrik (2021). "Modular j-invariant". Fungrim . Consultado el 30 de abril de 2024 . Tabla de polinomios de clase de Hilbert
7. Weisstein, Eric W. "Valor singular de la integral elíptica". MathWorld .
8. (secuencia A008998 en la OEIS )
9. Mahon, Br. JM; Horadam, AF (1990). "Funciones diagonales de tercer orden de polinomios de Pell". The Fibonacci Quarterly . 28 (1): 3–10. doi :10.1080/00150517.1990.12429513.
10. Sólo uno de ellos es un 'pseudoprimo restringido' según la definición de: Adams, William; Shanks, Daniel (1982). "Strong primality tests that are not enough". Matemáticas de la computación . 39 (159). Sociedad matemática estadounidense : 255–300. doi : 10.1090/S0025-5718-1982-0658231-9 . JSTOR  2007637.
11. para n ≥ 2 (secuencia A193641 en la OEIS )
12. Siegel, Ana; Asíwaldner, Jörg M. (2009). "Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy". Mémoires de la Société Mathématique de France . 2. 118 : 1–140. doi :10.24033/msmf.430.
13. Análogo a la construcción en: Crilly, Tony (1994). "Un rectángulo superáureo". The Mathematical Gazette . 78 (483): 320–325. doi :10.2307/3620208. JSTOR  3620208.