Función lambda modular

Función holomorfa simétrica

Función lambda modular en el plano complejo.

En matemáticas , la función lambda modular λ(τ) ^{[nota 1]} es una función holomorfa altamente simétrica en el semiplano superior complejo . Es invariante bajo la acción lineal fraccionaria del grupo de congruencia Γ(2), y genera el campo funcional del cociente correspondiente, es decir, es un Hauptmodul para la curva modular X (2). Sobre cualquier punto τ, su valor se puede describir como una relación cruzada de los puntos de ramificación de una doble cobertura ramificada de la línea proyectiva por la curva elíptica , donde el mapa se define como el cociente de la involución [−1]. ${\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }$

La expansión q, donde está el nombre , viene dada por: ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle \lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots }$. OEIS : A115977

Al simetrizar la función lambda bajo la acción canónica del grupo simétrico S ₃ sobre X (2), y luego normalizar adecuadamente, se obtiene una función en el semiplano superior que es invariante bajo el grupo modular completo , y de hecho es Invariante j modular de Klein . ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Una gráfica de x→ λ(ix)

Propiedades modulares

La función es invariante bajo el grupo generado por ^[1] ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .}$

Los generadores del grupo modular actúan por ^[2]

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;}$

${\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .}$

En consecuencia, la acción del grupo modular es la del grupo anarmónico , dando los seis valores de la relación cruzada : ^[3] ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .}$

Relaciones con otras funciones

Es el cuadrado del módulo elíptico, ^[4] es decir, . En términos de la función eta de Dedekind y las funciones theta , ^[4] ${\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}}$

y,

${\displaystyle {\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}}$

donde ^[5]

${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}}$

En términos de los semiperíodos de las funciones elípticas de Weierstrass , sea un par fundamental de períodos con . ${\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}$ ${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

${\displaystyle e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

tenemos ^[4]

${\displaystyle \lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.}$

Dado que los tres valores de medio período son distintos, esto muestra que no toma el valor 0 o 1. ^[4] ${\displaystyle \lambda }$

La relación con el invariante j es ^{[6] [7]}

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

cuál es el j -invariante de la curva elíptica de la forma de Legendre ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

Dado , deja ${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

${\displaystyle \tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}}$

donde es la integral elíptica completa de primer tipo con parámetro . Entonces ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \lambda (\tau )=m.}$

Ecuaciones modulares

La ecuación modular de grado (donde es un número primo) es una ecuación algebraica en y . Si y , las ecuaciones modulares de grados son, respectivamente, ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (p\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (p\tau )=u^{8}}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )=v^{8}}$ ${\displaystyle p=2,3,5,7}$

${\displaystyle (1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,}$

${\displaystyle u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,}$

${\displaystyle u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,}$

${\displaystyle (1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.}$

La cantidad (y por tanto ) puede considerarse como una función holomorfa en el semiplano superior : ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Desde entonces , las ecuaciones modulares se pueden utilizar para dar valores algebraicos de para cualquier primo . ^{[nota 2]} Los valores algebraicos de también están dados por ^{[9] [nota 3]} ${\displaystyle \lambda (i)=1/2}$ ${\displaystyle \lambda (pi)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (ni)}$

${\displaystyle \lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})}$

${\displaystyle \lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})}$

donde es el seno de la lemniscata y es la constante de la lemniscata . ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \varpi }$

estrella lambda

Definición y cálculo de estrella lambda.

La función ^[10] (donde ) da el valor del módulo elíptico , para el cual la integral elíptica completa de primer tipo y su contraparte complementaria se relacionan mediante la siguiente expresión: ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})}$

${\displaystyle {\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}}$

Los valores de se pueden calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}}$

Las funciones y se relacionan entre sí de esta manera: ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}}$

Propiedades de la estrella lambda

Todo valor de un número racional positivo es un número algebraico positivo : ${\displaystyle \lambda ^{*}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}.}$

${\displaystyle K(\lambda ^{*}(x))}$y (la integral elíptica completa de segundo tipo ) se puede expresar en forma cerrada en términos de la función gamma para cualquiera , como demostraron Selberg y Chowla en 1949. ^{[11] [12]} ${\displaystyle E(\lambda ^{*}(x))}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{+}}$

La siguiente expresión es válida para todos : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]}$

¿Dónde está la función elíptica de Jacobi delta amplitudinis con módulo ? ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle k}$

Al conocer un valor, esta fórmula se puede utilizar para calcular valores relacionados: ^[9] ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda ^{*}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}}$

donde y es la función elíptica de Jacobi sinus amplitudinis con módulo . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle k}$

Otras relaciones:

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1}$

${\displaystyle [\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}}$$

Invariantes de clase de Ramanujan

Invariantes de clase de Ramanujan y se definen como ^[13] ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),}$

${\displaystyle g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),}$

dónde . Para tales , las invariantes de clase son números algebraicos. Por ejemplo ${\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.}$

Las identidades con las invariantes de clase incluyen ^[14]

${\displaystyle G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.}$

Las invariantes de clase están muy relacionadas con las funciones modulares de Weber y . Estas son las relaciones entre lambda-star y las invariantes de clase: ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}}$

${\displaystyle G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]}$

${\displaystyle g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}}$

Otras apariciones

Teorema del pequeño Picard

La función lambda se utiliza en la prueba original del teorema de Little Picard , de que una función completa no constante en el plano complejo no puede omitir más de un valor. Este teorema fue demostrado por Picard en 1879. ^[15] Supongamos, si es posible, que f es entera y no toma los valores 0 y 1. Dado que λ es holomorfa, tiene una inversa holomorfa local ω definida a partir de 0,1,∞. Considere la función z → ω( f ( z )). Según el teorema de Monodromía, esto es holomórfico y asigna el plano complejo C al semiplano superior. A partir de esto es fácil construir una función holomorfa desde C hasta el disco unitario, que según el teorema de Liouville debe ser constante. ^[16]

Luz de la luna

La función es el Hauptmodul normalizado para el grupo , y su expansión q , OEIS : A007248 donde , es el carácter graduado de cualquier elemento en la clase de conjugación 4C del grupo de monstruos que actúa sobre el álgebra de vértices de monstruos . ${\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(4)}$ ${\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots }$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Notas a pie de página

1. Chandrasekharan (1985) p.115
2. Chandrasekharan (1985) p.109
3. Chandrasekharan (1985) p.110
4. Chandrasekharan (1985) p.108
5. Chandrasekharan (1985) p.63
6. Chandrasekharan (1985) p.117
7. Rankin (1977) págs.226-228
8. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 103–109, 134
9. Jacobi, Carl Gustav Jacob (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (en latín).pag. 42
10. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 152
11. Chowla, S.; Selberg, A. (1949). "Sobre la función Zeta de Epstein (I)". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041 . S2CID  45071481. 
12. Chowla, S.; Selberg, A. "Sobre la función Zeta de Epstein". EuDML . págs. 86-110.
13. Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat; Zhang, Liang-Cheng (6 de junio de 1997). "Invariantes de clase de Ramanujan, fórmula límite de Kronecker y ecuaciones modulares". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 349 (6): 2125–2173.
14. Eymard, Pedro; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (en francés). HERMANO. ISBN 2705614435.pag. 240
15. Chandrasekharan (1985) p.121
16. Chandrasekharan (1985) p.118

Referencias

Notas

1. no es una función modular (según la definición de Wikipedia), pero cada función modular es una función racional en . Algunos autores utilizan una definición no equivalente de "funciones modulares". ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )}$
2. Para cualquier potencia prima , podemos iterar la ecuación modular de grado . Este proceso se puede utilizar para dar valores algebraicos de para cualquier ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (ni)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$
3. es algebraico para cada ${\displaystyle \operatorname {sl} a\varpi }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$

Otro

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl  0543.33001
• Chandrasekharan, K. (1985), Funciones elípticas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag , págs. 108-121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl  0575.33001
• Conway, John Horton ; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 11 (3): 308–339, doi :10.1112/blms/11.3.308, MR  0554399, Zbl  0424.20010
• Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X, Zbl  0376.10020
• Reinhardt, WP; Walker, PL (2010), "Función modular elíptica", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.

• Borwein, JM y Borwein, PB Pi y la AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional. Nueva York: Wiley, págs. 139 y 298, 1987.

• Conway, JH y Norton, SP "Monstrous Moonshine". Toro. Matemáticas de Londres. Soc. 11, 308-339, 1979.

• Selberg, A. y Chowla, S. "Sobre la función Zeta de Epstein". J. reina angew. Matemáticas. 227, 86-110, 1967.

Enlaces externos

• Función lambda modular en Fungrim