Triple pitagórico

Una terna pitagórica consta de tres números enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ , tales que $a2 + b2 = c2$ . Una terna de este tipo se escribe comúnmente $($ $a, b, c);$ un ejemplo bien conocido es (3, $4 ,$ $5$ $)$ . Si $(a, b, c)$ es una terna pitagórica, entonces también lo es $(ka, kb, kc)$ para cualquier número entero positivo $k$ . Un triángulo cuyas longitudes de los lados son una terna pitagórica es un triángulo rectángulo y se llama triángulo pitagórico .

Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que $a$ , $b$ y $c$ son coprimos (es decir, no tienen ningún divisor común mayor que 1). ^[1] Por ejemplo, $(3, 4, 5)$ es una terna pitagórica primitiva mientras que $(6, 8, 10)$ no lo es. Cada terna pitagórica se puede escalar a una única terna pitagórica primitiva dividiendo $(a, b, c)$ por su máximo común divisor . A la inversa, cada terna pitagórica se puede obtener multiplicando los elementos de una terna pitagórica primitiva por un entero positivo (el mismo para los tres elementos).

El nombre se deriva del teorema de Pitágoras , que establece que todo triángulo rectángulo tiene lados que satisfacen la fórmula ; por lo tanto, las ternas pitagóricas describen las tres longitudes de lados enteros de un triángulo rectángulo. Sin embargo, los triángulos rectángulos con lados no enteros no forman ternas pitagóricas. Por ejemplo, el triángulo con lados y es un triángulo rectángulo, pero no es una terna pitagórica porque la raíz cuadrada de 2 no es un número entero ni una proporción de números enteros . Además, y no tienen un múltiplo común entero porque es irracional . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\estilo de visualización a=b=1}$ $c={\sqrt {2}}$ $(1,1,{\sqrt {2}})$ $1$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

Las ternas pitagóricas se conocen desde la antigüedad. El registro más antiguo conocido proviene de Plimpton 322 , una tablilla de arcilla babilónica de alrededor del año 1800 a. C., escrita en un sistema numérico sexagesimal . ^[2]

Al buscar soluciones enteras, la ecuación $a 2 + b 2 = c 2$ es una ecuación diofántica . Por lo tanto, las ternas pitagóricas se encuentran entre las soluciones más antiguas conocidas de una ecuación diofántica no lineal .

Ejemplos

Hay 16 ternas pitagóricas primitivas de números hasta 100:

Otras ternas pitagóricas pequeñas como (6, 8, 10) no se enumeran porque no son primitivas; por ejemplo, (6, 8, 10) es un múltiplo de (3, 4, 5).

Cada uno de estos puntos (con sus múltiplos) forma una línea radial en el diagrama de dispersión de la derecha.

Además, estos son los restantes triples pitagóricos primitivos de números hasta 300:

Generando un triple

Ternas pitagóricas primitivas mostradas como triángulos en un gráfico — Las ternas pitagóricas primitivas. El cateto impar $a$ se representa en el eje horizontal y el cateto par $b$ en el vertical. La cuadrícula curvilínea está compuesta por curvas de constante $m - n$ y de constante $m + n$ en la fórmula de Euclides.

La fórmula de Euclides ^[3] es una fórmula fundamental para generar ternas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteros $m$ y $n$ con $m > n > 0.$ La fórmula establece que los números enteros

a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}

formar una terna pitagórica. Por ejemplo, dada

m=2,\ \,n=1

generar la triple primitiva (3,4,5):

a=2^{2}-1^{2}=3,\ \,b=2\times 2\times 1=4,\ \,c=2^{2}+1^{2}=5.

El triple generado por la fórmula de Euclides es primitivo si y solo si $m$ y $n$ son coprimos y exactamente uno de ellos es par. Cuando tanto $m$ como $n$ son impares, entonces $a$ , $b$ y $c$ serán pares y el triple no será primitivo; sin embargo, dividir $a$ , $b$ y $c$ por 2 dará como resultado un triple primitivo cuando $m$ y $n$ son coprimos. ^[4]

Toda terna primitiva surge (tras el intercambio de $a$ y $b$ , si $a$ es par) de un único par de números coprimos $m$ , $n$ , uno de los cuales es par. De ello se deduce que hay infinitas ternas pitagóricas primitivas. Esta relación de $a$ , $b$ y $c$ con $m$ y $n$ a partir de la fórmula de Euclides se menciona en el resto de este artículo.

A pesar de generar todas las ternas primitivas, la fórmula de Euclides no produce todas las ternas; por ejemplo, (9, 12, 15) no se puede generar utilizando los enteros $m$ y $n$ . Esto se puede solucionar insertando un parámetro adicional $k$ en la fórmula. La siguiente fórmula generará todas las ternas pitagóricas de forma única:

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})

donde $m$ , $n$ y $k$ son números enteros positivos con $m > n$ , y con $m$ y $n$ coprimos y no ambos impares.

El hecho de que estas fórmulas generen ternas pitagóricas se puede verificar desarrollando $a 2 + b 2$ mediante álgebra elemental y verificando que el resultado es igual a $c 2$ . Dado que cada terna pitagórica se puede dividir por algún entero $k$ para obtener una terna primitiva, cada terna se puede generar de forma única utilizando la fórmula con $m$ y $n$ para generar su contraparte primitiva y luego multiplicando por $k$ como en la última ecuación.

La elección de $m$ y $n$ entre ciertas secuencias de números enteros da resultados interesantes. Por ejemplo, si $m$ y $n$ son números de Pell consecutivos , $a$ y $b$ diferirán en 1. ^[5]

Desde la época de Euclides se han desarrollado muchas fórmulas para generar triples con propiedades particulares.

Prueba de la fórmula de Euclides

Que la satisfacción de la fórmula de Euclides por a, b, c es suficiente para que el triángulo sea pitagórico es evidente por el hecho de que para los enteros positivos $m$ y $n$ , $m > n$ , los $a$ , $b$ y $c$ dados por la fórmula son todos enteros positivos, y por el hecho de que

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.

Una prueba de la necesidad de que a, b, c se expresen mediante la fórmula de Euclides para cualquier terna pitagórica primitiva es la siguiente. ^[6] Todas estas ternas primitivas pueden escribirse como $(a, b, c)$ donde $a 2 + b 2 = c 2$ y $a$ , $b$ , $c$ son coprimos . Por lo tanto, $a$ , $b$ , $c$ son coprimos por pares (si un número primo dividiera a dos de ellos, se vería obligado a dividir también al tercero). Como $a$ y $b$ son coprimos, al menos uno de ellos es impar. Si suponemos que $a$ es impar, entonces $b$ es par y $c$ es impar (si tanto $a$ como $b$ fueran impares, $c$ sería par y $c 2$ sería un múltiplo de 4, mientras que $a 2 + b 2$ sería congruente con 2 módulo 4 , como un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4).

Supongamos que $a$ es impar. Obtenemos y, por lo tanto , . Entonces . Como es racional, lo igualamos a en términos mínimos. Por lo tanto , siendo el recíproco de . Luego, resolviendo $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ $(c-a)(c+a)=b^{2}$ ${\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(c-a)}}$ ${\tfrac {(c+a)}{b}}$ ${\tfrac {m}{n}}$ ${\tfrac {(c-a)}{b}}={\tfrac {n}{m}}$ ${\tfrac {(c+a)}{b}}$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

para y da ${\tfrac {c}{b}}$ ${\tfrac {a}{b}}$

{\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

Como se reduce completamente, $m$ y $n$ son coprimos, y no pueden ser ambos pares. Si ambos fueran impares, el numerador de sería un múltiplo de 4 (porque un cuadrado impar es congruente con 1 módulo 4), y el denominador 2 mn no sería un múltiplo de 4. Como 4 sería el mínimo factor par posible en el numerador y 2 sería el máximo factor par posible en el denominador, esto implicaría $que a$ es par a pesar de definirlo como impar. Por lo tanto, uno de $m$ y $n$ es impar y el otro es par, y los numeradores de las dos fracciones con denominador 2 mn son impares. Por lo tanto, estas fracciones están completamente reducidas (un primo impar que divide este denominador divide a uno de $m$ y $n$ pero no al otro; por lo tanto, no divide $a m$ $2$ $\pm$ $n$ $2$ ). Por lo tanto, se pueden igualar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, lo que da la fórmula de Euclides ${\tfrac {m}{n}}$ ${\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}$

a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}

con

m

n

coprimos y de paridades opuestas.

Una prueba más larga pero más común se da en Maor (2007) ^[7] y Sierpiński (2003). ^[8] Otra prueba se da en Ecuación diofántica § Ejemplo de ternas pitagóricas , como un ejemplo de un método general que se aplica a toda ecuación diofántica homogénea de grado dos.

Interpretación de los parámetros en la fórmula de Euclides

Supóngase que los lados de un triángulo pitagórico tienen longitudes $m 2 - n 2$ , $2 mn$ y $m 2 + n 2$ , y supóngase que el ángulo entre el cateto de longitud $m 2 - n 2$ y la hipotenusa de longitud $m 2 + n 2$ se denota como $β$ . Entonces y los valores trigonométricos de ángulo completo son , , y . ^[9] $\tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}$ $\sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}$ $\cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}$ $\tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}$

Una variante

La siguiente variante de la fórmula de Euclides es a veces más conveniente, por ser más simétrica en $m$ y $n$ (misma condición de paridad en $m$ y $n$ ).

Si $m$ y $n$ son dos números enteros impares tales que $m > n$ , entonces

a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}

son tres números enteros que forman una terna pitagórica, que es primitiva si y solo si $m$ y $n$ son coprimos. A la inversa, toda terna pitagórica primitiva surge (tras el intercambio de $a$ y $b$ , si $a$ es par) de un único par $m > n > 0$ de números enteros impares coprimos.

No intercambiarayb

En la presentación anterior, se dice que todas las ternas pitagóricas se obtienen de manera única a partir de la fórmula de Euclides "después del intercambio de a y b , si a es par". La fórmula de Euclides y la variante anterior se pueden combinar de la siguiente manera para evitar este intercambio, lo que conduce al siguiente resultado.

Cada terna pitagórica primitiva se puede escribir de forma única

a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),

donde $m$ y $n$ son números enteros coprimos positivos, y si $m$ y $n$ son ambos impares, y en caso contrario. De manera equivalente, si $a$ es impar, y si $a$ es par. $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ $\varepsilon =1$ $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ $\varepsilon =1$

Propiedades elementales de las ternas pitagóricas primitivas

Propiedades generales

Las propiedades de una terna pitagórica primitiva $(a, b, c)$ con $a < b < c$ (sin especificar cuál de $a$ o $b$ es par y cuál es impar) incluyen:

${\tfrac {(c-a)(c-b)}{2}}$ es siempre un cuadrado perfecto. ^[10] Como es solo una condición necesaria pero no suficiente, se puede utilizar para comprobar si un triple de números dado no es un triple pitagórico. Por ejemplo, los triples ${6, 12, 18}$ y ${1, 8, 9}$ pasan cada uno la prueba de que $(c - a)(c - b)/2$ es un cuadrado perfecto, pero ninguno es un triple pitagórico.
Cuando un triple de números $a$ , $b$ y $c$ forma un triple pitagórico primitivo, entonces $(c menos el cateto par)$ y la mitad de $(c menos el cateto impar)$ son ambos cuadrados perfectos; sin embargo, esta no es una condición suficiente, ya que los números ${1, 8, 9}$ pasan la prueba de los cuadrados perfectos pero no son un triple pitagórico ya que $12 + 8 2 \neq 9 2$ .
Como máximo uno de $a$ , $b$ , $c$ es un cuadrado. ^[11]
El área de un triángulo pitagórico no puede ser el cuadrado ^[12]^{: p. 17} ni el doble del cuadrado ^[12]^{: p. 21} de un número entero.
Exactamente uno de $a$ , $b$ es divisible por 2 (es par ), y la hipotenusa $c$ siempre es impar. ^[13]
Exactamente uno de $a$ , $b$ es divisible por 3, pero nunca $c$ . ^[14]^[8]^{: 23–25}
Exactamente uno de $a$ , $b$ es divisible por 4, ^[8] pero nunca $c$ (porque $c$ nunca es par).
Exactamente uno de $a$ , $b$ , $c$ es divisible por 5. ^[8]
El número más grande que siempre divide a abc es 60. ^[15]
Cualquier número impar de la forma $2 m +1$ , donde $m$ es un entero y $m >1$ , puede ser el cateto impar de una terna pitagórica primitiva. Véase la sección sobre ternas pitagóricas primitivas casi isósceles que aparece a continuación. Sin embargo, solo los números pares divisibles por 4 pueden ser el cateto par de una terna pitagórica primitiva. Esto se debe a que la fórmula de Euclides para el cateto par que se muestra arriba es $2 mn$ y uno de $m$ o $n$ debe ser par.
La hipotenusa $c$ (que siempre es impar) es la suma de dos cuadrados. Esto requiere que todos sus factores primos sean primos de la forma $4 n + 1$ . ^[16] Por lo tanto, c tiene la forma $4 n + 1$ . Una secuencia de posibles números de hipotenusa para una terna pitagórica primitiva se puede encontrar en (secuencia A008846 en la OEIS ).
El área $(K = ab /2)$ es un número congruente ^[17] divisible por 6.
En todo triángulo pitagórico, el radio del incírculo y los radios de los tres excírculos son números enteros positivos. En concreto, para una terna primitiva, el radio del incírculo es $r = n (m - n)$ , y los radios de los excírculos opuestos a los lados $m 2 - n 2$ , 2mn y la hipotenusa $m 2 + n 2$ son respectivamente $m (m - n)$ , $n (m + n)$ y $m (m + n)$ . ^[18]
Como para cualquier triángulo rectángulo, el inverso del teorema de Tales dice que el diámetro del círculo circunscrito es igual a la hipotenusa; por lo tanto, para las ternas primitivas el circundiámetro es $m 2 + n 2$ , y el circunradio es la mitad de este y, por lo tanto, es racional pero no entero (ya que $m$ y $n$ tienen paridad opuesta).
Cuando el área de un triángulo pitagórico se multiplica por las curvaturas de su circunferencia inscrita y 3 circunferencias exscritas, el resultado son cuatro números enteros positivos $w > x > y > z$ , respectivamente. Los números enteros $- w, x, y, z$ satisfacen la ecuación del círculo de Descartes . ^[19] De manera equivalente, el radio del círculo de Soddy exterior de cualquier triángulo rectángulo es igual a su semiperímetro. El centro de Soddy exterior se encuentra en $D$ , donde $ACBD$ es un rectángulo, $ACB$ el triángulo rectángulo y $AB$ su hipotenusa. ^[19]^{: p. 6}
Sólo dos lados de una terna pitagórica primitiva pueden ser primos simultáneamente porque, según la fórmula de Euclides para generar una terna pitagórica primitiva, uno de los catetos debe ser compuesto y par. ^[20] Sin embargo, sólo un lado puede ser un entero de potencia perfecta porque si dos lados fueran enteros de potencias perfectas con igual exponente, contradeciría el hecho de que no hay soluciones enteras para la ecuación diofántica , con , y siendo coprimos por pares. ^[21] $p\geq 2$ $p$ $x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}$ $x$ $y$ $z$
No existen triángulos pitagóricos en los que la hipotenusa y un cateto sean los catetos de otro triángulo pitagórico; esta es una de las formas equivalentes del teorema del triángulo rectángulo de Fermat . ^[12]^{: p. 14}
Cada triángulo pitagórico primitivo tiene una relación entre el área, $K$ , y el semiperímetro cuadrado , $s$ , que es única para él mismo y está dada por ^[22]

{\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.

Ningún triángulo pitagórico primitivo tiene una altura entera a partir de la hipotenusa; es decir, todo triángulo pitagórico primitivo es indescomponible. ^[23]
El conjunto de todas las ternas pitagóricas primitivas forma de forma natural un árbol ternario enraizado; ver Árbol de ternas pitagóricas primitivas .
Ninguno de los ángulos agudos de un triángulo pitagórico puede ser un número racional de grados . ^[24] (Esto se desprende del teorema de Niven ).

Casos especiales

Además, se puede garantizar la existencia de ternas pitagóricas especiales con ciertas propiedades adicionales:

Todo entero mayor que 2 que no sea congruente con 2 módulo 4 (en otras palabras, todo entero mayor que 2 que no tenga la forma $4 k + 2$ ) forma parte de una terna pitagórica primitiva. (Si el entero tiene la forma $4 k$ , se puede tomar $n = 1$ y $m = 2 k$ en la fórmula de Euclides; si el entero es $2 k + 1$ , se puede tomar $n = k$ y $m = k + 1$ .)
Todo entero mayor que 2 forma parte de una terna pitagórica primitiva o no primitiva. Por ejemplo, los números enteros 6, 10, 14 y 18 no forman parte de ternas primitivas, pero sí de las ternas no primitivas $(6, 8, 10)$ , $(14, 48, 50)$ y $(18, 80, 82)$ .
Existen infinitas ternas pitagóricas en las que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en uno. Dichas ternas son necesariamente primitivas y tienen la forma $(2 n + 1, 2 n 2 + 2 n, 2 n 2 + 2 n +1)$ . Esto resulta de la fórmula de Euclides al observar que la condición implica que la terna es primitiva y debe verificar $(m 2 + n 2) - 2 mn = 1$ . Esto implica $(m - n) 2 = 1$ , y por lo tanto $m = n + 1$ . La forma anterior de las ternas resulta entonces de sustituir $m$ por $n + 1$ en la fórmula de Euclides.
Existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto más largo difieren exactamente en dos. Todas son primitivas y se obtienen poniendo $n = 1$ en la fórmula de Euclides. De manera más general, para cada entero $k > 0$ , existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en las que la hipotenusa y el cateto impar difieren en $2 k 2$ . Se obtienen poniendo $n = k$ en la fórmula de Euclides.
Existen infinitas ternas pitagóricas en las que los dos catetos difieren exactamente en uno. Por ejemplo, 20 ² + 21 ² = 29 ² ; estas se generan mediante la fórmula de Euclides cuando es convergente a . ${\tfrac {m-n}{n}}$ ${\sqrt {2}}$
Para cada entero positivo $k$ , existen $k$ ternas pitagóricas con distintas hipotenusas y la misma área.
Para cada entero positivo $k$ , existen al menos $k$ ternas pitagóricas primitivas diferentes con el mismo cateto $a$ , donde $a$ es algún entero positivo (la longitud del cateto par es 2 mn , y basta elegir $a$ con muchas factorizaciones, por ejemplo $a = 4 b$ , donde $b$ es un producto de $k$ primos impares diferentes; esto produce al menos $2 k$ ternas primitivas diferentes). ^[8]^{: 30}
Para cada entero positivo $k$ , existen al menos $k$ ternas pitagóricas diferentes con la misma hipotenusa. ^[8]^{: 31}
Si $c = p e$ es una potencia prima , existe una terna pitagórica primitiva $a 2 + b 2 = c 2$ si y sólo si el primo $p$ tiene la forma $4 n + 1$ ; esta terna es única hasta el intercambio de a y b .
De manera más general, un entero positivo $c$ es la hipotenusa de una terna pitagórica primitiva si y solo si cada factor primo de $c$ es congruente con $1$ módulo $4$ ; es decir, cada factor primo tiene la forma $4 n + 1$ . En este caso, el número de ternas pitagóricas primitivas $(a, b, c)$ con $a < b$ es $2 k -1$ , donde $k$ es el número de factores primos distintos de $c$ . ^[25]
Existen infinitas ternas pitagóricas con números cuadrados tanto para la hipotenusa $c$ como para la suma de los catetos $a + b$ . Según Fermat, la terna más pequeña de este tipo ^[26] tiene lados $a = 4.565.486.027.761$ ; $b = 1.061.652.293.520$ ; y $c = 4.687.298.610.289$ . Aquí $a + b = 2.372.159 2$ y $c = 2.165.017 2$ . Esto se genera mediante la fórmula de Euclides con valores de parámetros $m = 2.150.905$ y $n = 246.792$ .
Existen triángulos pitagóricos no primitivos con una altura entera a partir de la hipotenusa . ^[27]^[28] Estos triángulos pitagóricos se conocen como descomponibles ya que se pueden dividir a lo largo de esta altura en dos triángulos pitagóricos separados y más pequeños. ^[23]

Geometría de la fórmula de Euclides

Puntos racionales en un círculo unitario

Fórmula de Euclides para una terna pitagórica

a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}

puede entenderse en términos de la geometría de puntos racionales en el círculo unitario (Trautman 1998).

De hecho, un punto del plano cartesiano con coordenadas $(x, y)$ pertenece a la circunferencia unitaria si $x 2 + y 2 = 1$ . El punto es racional si $x$ $e y$ son números racionales , es decir, si hay números enteros coprimos $a, b, c$ tales que

{\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.

Al multiplicar ambos miembros por $c 2$ , se puede ver que los puntos racionales del círculo están en correspondencia uno a uno con las ternas pitagóricas primitivas.

El círculo unitario también puede definirse mediante una ecuación paramétrica

x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.

La fórmula de Euclides para las ternas pitagóricas y la relación inversa $t = y / (x + 1)$ significan que, excepto para $(-1, 0)$ , un punto $(x, y)$ en el círculo es racional si y solo si el valor correspondiente de $t$ es un número racional. Nótese que $t = y / (x + 1) = b / (a + c) = n / m$ es también la tangente de la mitad del ángulo opuesto al lado del triángulo de longitud $b$ .

Enfoque estereográfico

Proyección estereográfica del círculo unitario sobre el eje $x$ . Dado un punto $P$ en el círculo unitario, traza una línea desde $P$ hasta el punto $N = (0, 1)$ (el *polo norte* ). El punto $P$ ′ donde la línea interseca el eje $x$ es la proyección estereográfica de $P$ . Inversamente, comenzando con un punto $P$ ′ en el eje $x$ y trazando una línea desde $P$ ′ hasta $N$ , la proyección estereográfica inversa es el punto $P$ donde la línea interseca el círculo unitario.

Existe una correspondencia entre los puntos del círculo unitario con coordenadas racionales y las ternas pitagóricas primitivas. En este punto, las fórmulas de Euclides pueden derivarse ya sea por métodos de trigonometría o equivalentemente utilizando la proyección estereográfica .

Para el enfoque estereográfico, supongamos que $P$ ′ es un punto en el eje $x$ con coordenadas racionales

P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).

Luego, se puede demostrar mediante álgebra básica que el punto $P$ tiene coordenadas

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).

Esto establece que cada punto racional del eje $x$ se traslada a un punto racional del círculo unitario. La inversa, que cada punto racional del círculo unitario proviene de un punto del eje $x$ , se deduce aplicando la proyección estereográfica inversa. Supongamos que $P (x, y)$ es un punto del círculo unitario con números racionales $x$ e $y$ . Entonces el punto $P$ ′ obtenido por proyección estereográfica sobre el eje $x$ tiene coordenadas

\left({\frac {x}{1-y}},0\right)

Lo cual es racional.

En términos de geometría algebraica , la variedad algebraica de los puntos racionales sobre el círculo unitario es biracional con respecto a la línea afín sobre los números racionales. El círculo unitario se denomina, por tanto, curva racional , y es este hecho el que permite una parametrización explícita de los puntos (de los números racionales) sobre él mediante funciones racionales.

Triángulos pitagóricos en una red 2D

Una red 2D es una matriz regular de puntos aislados donde si se elige un punto como el origen cartesiano (0, 0), entonces todos los demás puntos están en $(x, y)$ donde $x$ e $y$ abarcan todos los números enteros positivos y negativos. Cualquier triángulo pitagórico con tripleta $(a, b, c)$ se puede dibujar dentro de una red 2D con vértices en las coordenadas $(0, 0)$ , $(a, 0)$ y $(0, b)$ . El recuento de puntos de la red que se encuentran estrictamente dentro de los límites del triángulo está dado por ^[29] para las ternas pitagóricas primitivas, este recuento de red interior es El área (por el teorema de Pick igual a uno menos que el recuento de red interior más la mitad del recuento de red límite) es igual a . ${\tfrac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}};$ ${\tfrac {(a-1)(b-1)}{2}}.$ ${\tfrac {ab}{2}}$

La primera aparición de dos ternas pitagóricas primitivas que comparten la misma área ocurre con triángulos con lados $(20, 21, 29), (12, 35, 37)$ y área común 210 (secuencia A093536 en la OEIS ). La primera aparición de dos ternas pitagóricas primitivas que comparten el mismo recuento de retículo interior ocurre con $(18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365)$ y recuento de retículo interior 2287674594 (secuencia A225760 en la OEIS ). Se han encontrado tres ternas pitagóricas primitivas que comparten la misma área: $(4485, 5852, 7373)$ , $(3059, 8580, 9109)$ , $(1380, 19019, 19069)$ con área 13123110. Hasta el momento, no se ha encontrado ningún conjunto de tres ternas pitagóricas primitivas que compartan el mismo recuento reticular interior.

Enumeración de ternas pitagóricas primitivas

Por la fórmula de Euclides, todas las ternas pitagóricas primitivas pueden generarse a partir de números enteros y con , impares y . Por lo tanto, existe una aplicación 1 a 1 de los racionales (en su mínima expresión) a las ternas pitagóricas primitivas donde está en el intervalo y es impar. $m$ $n$ $m>n>0$ $m+n$ $\gcd(m,n)=1$ ${\tfrac {n}{m}}$ $(0,1)$ $m+n$

La aplicación inversa de una terna primitiva donde a un racional se logra estudiando las dos sumas y . Una de estas sumas será un cuadrado que se puede equiparar a y la otra será el doble de un cuadrado que se puede equiparar a . Entonces es posible determinar el racional . $(a,b,c)$ $c>b>a>0$ ${\tfrac {n}{m}}$ $a+c$ $b+c$ $(m+n)^{2}$ $2m^{2}$ ${\tfrac {n}{m}}$

Para enumerar ternas pitagóricas primitivas, el racional se puede expresar como un par ordenado y mapearlo a un entero usando una función de emparejamiento como la función de emparejamiento de Cantor . Se puede ver un ejemplo en (secuencia A277557 en la OEIS ). Comienza $(n,m)$

8,18,19,32,33,34,\dots

y da razones

{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{6}},\dots

Estos, a su vez, generan triples primitivos.

(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots

Espinores y el grupo modular

Las ternas pitagóricas también se pueden codificar en una matriz cuadrada de la forma

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

Una matriz de esta forma es simétrica . Además, el determinante de $X$ es

\det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,

que es cero precisamente cuando $(a, b, c)$ es una terna pitagórica. Si $X$ corresponde a una terna pitagórica, entonces como matriz debe tener rango 1.

Como $X$ es simétrico, se deduce de un resultado en álgebra lineal que hay un vector columna $ξ = [m n] T$ tal que el producto externo

se cumple, donde $T$ denota la matriz transpuesta . Puesto que ξ y -ξ producen la misma terna pitagórica, el vector ξ puede considerarse un espinor (para el grupo de Lorentz SO(1, 2)). En términos abstractos, la fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva puede escribirse como el producto externo consigo mismo de un espinor con entradas enteras, como en ( 1 ).

El grupo modular Γ es el conjunto de matrices 2×2 con entradas enteras

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

con determinante igual a uno: $αδ - βγ = 1$ . Este conjunto forma un grupo , ya que la inversa de una matriz en Γ está a su vez en Γ, al igual que el producto de dos matrices en Γ. El grupo modular actúa sobre el conjunto de todos los espinores enteros. Además, el grupo es transitivo sobre el conjunto de espinores enteros con entradas relativamente primos. Pues si $[m n] T$ tiene entradas relativamente primos, entonces

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}

donde $u$ y $v$ se seleccionan (mediante el algoritmo euclidiano ) de modo que $mu + nv = 1$ .

Al actuar sobre el espinor ξ en ( 1 ), la acción de Γ pasa a ser una acción sobre ternas pitagóricas, siempre que se tengan en cuenta ternas con posibles componentes negativas. Por lo tanto, si $A$ es una matriz en $Γ$ , entonces

da lugar a una acción sobre la matriz $X$ en ( 1 ). Esto no da una acción bien definida sobre ternas primitivas, ya que puede llevar a una terna primitiva a una imprimitiva. Es conveniente en este punto (según Trautman 1998) llamar a una terna $(a, b, c)$ estándar si $c > 0$ y $(a, b, c)$ son primos entre sí o $(a /2, b /2, c /2)$ son primos entre sí con $a /2$ impar. Si el espinor $[m n] T$ tiene entradas relativamente primas, entonces la terna asociada $(a, b, c)$ determinada por ( 1 ) es una terna estándar. De ello se deduce que la acción del grupo modular es transitiva sobre el conjunto de ternas estándar.

Alternativamente, restrinjamos la atención a aquellos valores de $m$ y $n$ para los cuales $m$ es impar y $n$ es par. Sea el subgrupo Γ(2) de Γ el núcleo del homomorfismo de grupo

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})

donde $SL(2, Z 2)$ es el grupo lineal especial sobre el cuerpo finito $Z 2$ de números enteros módulo 2 . Entonces Γ(2) es el grupo de transformaciones unimodulares que preservan la paridad de cada entrada. Así, si la primera entrada de ξ es impar y la segunda entrada es par, entonces lo mismo es cierto de $A ξ$ para todo $A \in Γ(2)$ . De hecho, bajo la acción ( 2 ), el grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre la colección de ternas pitagóricas primitivas (Alperin 2005).

El grupo Γ(2) es el grupo libre cuyos generadores son las matrices

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.

En consecuencia, cada terna pitagórica primitiva puede obtenerse de forma única como producto de copias de las matrices $U$ y $L.$

Relaciones padre/hijo

Por un resultado de Berggren (1934), todas las ternas pitagóricas primitivas se pueden generar a partir del triángulo (3, 4, 5) utilizando las tres transformaciones lineales T ₁ , T ₂ , T ₃ siguientes, donde $a$ , $b$ , $c$ son los lados de una terna:

En otras palabras, cada triple primitivo será un "padre" de tres triples primitivos adicionales. A partir del nodo inicial con $a = 3$ , $b = 4$ y $c = 5$ , la operación $T 1$ produce el nuevo triple

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5 , 12, 13),

y de manera similar $T 2$ y $T 3$ producen los triples (21, 20, 29) y (15, 8, 17).

Las transformaciones lineales T ₁ , T ₂ y T ₃ tienen una interpretación geométrica en el lenguaje de las formas cuadráticas . Están estrechamente relacionadas con (pero no son iguales a) las reflexiones que generan el grupo ortogonal de $x 2 + y 2 - z 2$ sobre los números enteros. ^[30]

Relación con los números enteros gaussianos

Alternativamente, las fórmulas de Euclides pueden analizarse y demostrarse utilizando los números enteros de Gauss . ^[31] Los números enteros de Gauss son números complejos de la forma $α = u + vi$ , donde $u$ y $v$ son números enteros ordinarios e $i$ es la raíz cuadrada de menos uno . Las unidades de los números enteros de Gauss son ±1 y ±i. Los números enteros ordinarios se denominan números enteros racionales y se denotan como ' $Z$ '. Los números enteros de Gauss se denotan como $Z [i]$ . El lado derecho del teorema de Pitágoras puede factorizarse en números enteros de Gauss:

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).

Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que $a$ y $b$ son coprimos , es decir, no comparten ningún factor primo en los números enteros. Para una terna de este tipo, $a$ o $b$ son pares y el otro es impar; de esto se sigue que $c$ también es impar.

Los dos factores $z := a + bi$ y $z* := a - bi$ de una terna pitagórica primitiva son cada uno iguales al cuadrado de un entero gaussiano. Esto se puede demostrar utilizando la propiedad de que cada entero gaussiano se puede factorizar de forma única en primos gaussianos hasta unidades . ^[32] (Esta factorización única se desprende del hecho de que, en términos generales, se puede definir una versión del algoritmo euclidiano sobre ellos). La prueba tiene tres pasos. Primero, si $a$ y $b$ no comparten factores primos en los enteros, entonces tampoco comparten factores primos en los enteros gaussianos. (Supongamos que $a = gu$ y $b = gv$ con enteros gaussianos $g$ , $u$ y $v$ y $g$ no es una unidad. Entonces $u$ y $v$ se encuentran en la misma línea que pasa por el origen. Todos los enteros gaussianos en dicha línea son múltiplos enteros de algún entero gaussiano $h$ . Pero entonces el entero gh ≠ ±1 divide tanto $a$ como $b$ .) En segundo lugar, se deduce que $z$ y $z*$ tampoco comparten factores primos en los enteros gaussianos. Porque si lo hicieran, entonces su divisor común $δ$ también dividiría $a z + z* = 2 a$ y $z - z* = 2 ib$ . Dado que $a$ y $b$ son coprimos, eso implica que $δ$ divide $a 2 = (1 + i)(1 - i) = i(1 - i) 2$ . De la fórmula $c 2 = zz*$ , eso a su vez implicaría que $c$ es par, contrariamente a la hipótesis de una terna pitagórica primitiva. En tercer lugar, dado que $c 2$ es un cuadrado, cada primo gaussiano en su factorización se duplica, es decir, aparece un número par de veces. Como $z$ y $z*$ no comparten factores primos, esta duplicación también es válida para ellos. Por lo tanto, $z$ y $z*$ son cuadrados.

Por lo tanto, el primer factor se puede escribir

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

Las partes real e imaginaria de esta ecuación dan las dos fórmulas:

{\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right).\end{cases}}

Para cualquier terna pitagórica primitiva, deben existir números enteros $m$ y $n$ tales que se cumplan estas dos ecuaciones. Por lo tanto, toda terna pitagórica puede generarse a partir de alguna elección de estos números enteros.

Como enteros gaussianos cuadrados perfectos

Si consideramos el cuadrado de un entero gaussiano obtenemos la siguiente interpretación directa de la fórmula de Euclides como representación del cuadrado perfecto de un entero gaussiano.

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.

Utilizando los hechos de que los enteros gaussianos son un dominio euclidiano y que para un entero gaussiano p es siempre un cuadrado, es posible demostrar que una terna pitagórica corresponde al cuadrado de un entero gaussiano primo si la hipotenusa es prima. $|p|^{2}$

Si el entero gaussiano no es primo, entonces es el producto de dos enteros gaussianos p y q por y . Como las magnitudes se multiplican en los enteros gaussianos, el producto debe ser , que al elevarlo al cuadrado para encontrar una terna pitagórica debe ser compuesta. El contrapositivo completa la prueba. $|p|^{2}$ $|q|^{2}$ $|p||q|$

Distribución de triples

Existen varios resultados sobre la distribución de ternas pitagóricas. En el diagrama de dispersión, ya se aprecian varios patrones obvios. Siempre que los catetos $(a, b)$ de una terna primitiva aparecen en el diagrama, todos los múltiplos enteros de $(a, b)$ también deben aparecer en el diagrama, y esta propiedad produce la apariencia de líneas que irradian desde el origen en el diagrama.

Dentro de la dispersión, hay conjuntos de patrones parabólicos con una alta densidad de puntos y todos sus focos en el origen, que se abren en las cuatro direcciones. Diferentes parábolas se cortan en los ejes y parecen reflejarse fuera del eje con un ángulo de incidencia de 45 grados, con una tercera parábola entrando de manera perpendicular. Dentro de este cuadrante, cada arco centrado en el origen muestra la sección de la parábola que se encuentra entre su punta y su intersección con su semilatus rectum .

Estos patrones pueden explicarse de la siguiente manera. Si es un entero, entonces ( $a$ , , ) es una terna pitagórica. (De hecho, toda terna pitagórica $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ puede escribirse de esta manera con el entero $n$ , posiblemente después de intercambiar $a$ y $b$ , ya que a y $b$ no pueden ser impares ambos). Las ternas pitagóricas se encuentran, por tanto, en curvas dadas por $,$ es decir, parábolas reflejadas en el eje $a$ , y las curvas correspondientes con $a$ y $b$ intercambiadas. Si $a$ varía para un $n$ dado (es decir, en una parábola dada), los valores enteros de $b$ aparecen con relativa frecuencia si $n$ es un cuadrado o un múltiplo pequeño de un cuadrado. Si varios de estos valores se encuentran próximos entre sí, las parábolas correspondientes coinciden aproximadamente y las ternas se agrupan en una estrecha franja parabólica. Por ejemplo, $38$ $2$ $= 1444$ , $2 \times 27$ $2$ $= 1458$ , $3 \times 22$ $2$ $= 1452$ , $5 \times 17$ $2$ $= 1445$ y $10 \times 12$ $2$ $= 1440$ ; la franja parabólica correspondiente alrededor de $n$ $\approx 1450$ es claramente visible en el diagrama de dispersión. $a^{2}/4n$ $|n-a^{2}/4n|$ $n+a^{2}/4n$ $n=(b+c)/2$ $b=|n-a^{2}/4n|$

Las propiedades angulares descritas anteriormente se deducen inmediatamente de la forma funcional de las parábolas. Las parábolas se reflejan en el eje $a en$ $a = 2 n$ , y la derivada de $b$ con respecto a $a$ en este punto es –1; por lo tanto, el ángulo de incidencia es de 45°. Dado que los grupos, como todos los triples, se repiten en múltiplos enteros, el valor $2 n$ también corresponde a un grupo. La parábola correspondiente interseca el eje $b en ángulos rectos en$ $b = 2 n$ , y por lo tanto su reflexión al intercambiar $a$ y $b$ interseca el eje $a$ en ángulos rectos en $a = 2 n$ , precisamente donde la parábola para $n$ se refleja en el eje $a$ . (Por supuesto, lo mismo es cierto para $a$ y $b$ intercambiados).

Albert Fässler y otros aportan información sobre la importancia de estas parábolas en el contexto de las aplicaciones conformes. ^[33]^[34]

Casos especiales y ecuaciones relacionadas

La secuencia platónica

El caso $n = 1$ de la construcción más general de las ternas pitagóricas se conoce desde hace mucho tiempo. Proclo , en su comentario a la Proposición 47 del primer libro de los Elementos de Euclides , lo describe de la siguiente manera:

Existen ciertos métodos para el descubrimiento de triángulos de esta clase, uno que se refiere a Platón, y otro a Pitágoras . (Este último) comienza con números impares. Pues hace que el número impar sea el menor de los lados del ángulo recto; luego toma el cuadrado de este número, le resta la unidad y hace que la mitad de la diferencia sea el mayor de los lados del ángulo recto; por último, suma la unidad a esto y así forma el lado restante, la hipotenusa.
... Pues el método de Platón razona a partir de números pares. Toma el número par dado y lo hace uno de los lados del ángulo recto; luego, dividiendo este número en dos y elevando al cuadrado la mitad, suma la unidad al cuadrado para formar la hipotenusa, y resta la unidad al cuadrado para formar el otro lado del ángulo recto. ... De este modo ha formado el mismo triángulo que se obtuvo por el otro método.

En forma de ecuación, esto se convierte en:

$a$ es impar (Pitágoras, c. 540 a. C.):

{\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.

$a$ es par (Platón, c. 380 a. C.):

{\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1

Se puede demostrar que todas las ternas pitagóricas se pueden obtener, con un reescalado apropiado, a partir de la secuencia platónica básica ( $a$ , $(a 2 - 1)/2$ y $(a 2 + 1)/2$ ) al permitir que $a$ tome valores racionales no enteros. Si $a$ se reemplaza con la fracción $m / n$ en la secuencia, el resultado es igual al generador de ternas "estándar" (2 mn , $m 2 - n 2$ , $m 2 + n 2$ ) después del reescalado. De ello se deduce que cada terna tiene un valor racional $a$ correspondiente que se puede utilizar para generar un triángulo similar (uno con los mismos tres ángulos y con lados en las mismas proporciones que el original). Por ejemplo, el equivalente platónico de $(56, 33, 65)$ se genera mediante $a = m / n = 7/4$ como $(a, (a 2 -1)/2, (a 2 +1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)$ . La secuencia platónica en sí puede derivarse ^{[ aclaración necesaria ]} siguiendo los pasos para "dividir el cuadrado" descritos en Diofanto II.VIII .

La ecuación de Jacobi-Madden

La ecuación,

a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}

es equivalente al triple pitagórico especial,

(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}

Hay un número infinito de soluciones para esta ecuación, ya que la solución de las variables implica una curva elíptica . Las pequeñas son:

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400

a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150

Sumas iguales de dos cuadrados

Una forma de generar soluciones es parametrizar a, b, c, d en términos de números enteros m, n, p, q de la siguiente manera: ^[35] $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$

(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.

Sumas iguales de dos cuartas potencias

Dados dos conjuntos de ternas pitagóricas,

(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}

(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}

el problema de encontrar productos iguales de un lado no hipotenusa y la hipotenusa,

(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})

se ve fácilmente que es equivalente a la ecuación,

a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}

y fue resuelto por primera vez por Euler como . Dado que demostró que este es un punto racional en una curva elíptica , entonces hay un número infinito de soluciones. De hecho, también encontró una parametrización polinómica de séptimo grado. $a,b,c,d=133,59,158,134$

Teorema del círculo de Descartes

Para el caso del teorema del círculo de Descartes, donde todas las variables son cuadrados,

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}

Euler demostró que esto es equivalente a tres ternas pitagóricas simultáneas,

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}

También hay un número infinito de soluciones, y para el caso especial cuando , entonces la ecuación se simplifica a, $a+b=c$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}

con soluciones pequeñas como y pueden resolverse como formas cuadráticas binarias . $a,b,c,d=3,5,8,14$

Ternas pitagóricas casi isósceles

Ninguna terna pitagórica es isósceles , porque la razón de la hipotenusa con cada uno de los otros lados es √ 2 , pero √ 2 no puede expresarse como la razón de 2 números enteros .

Sin embargo, existen triángulos rectángulos con lados enteros en los que las longitudes de los lados que no son la hipotenusa difieren en uno, como por ejemplo,

3^{2}+4^{2}=5^{2}

20^{2}+21^{2}=29^{2}

y un número infinito de otros. Pueden parametrizarse completamente como,

\left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}

donde { x, y } son las soluciones de la ecuación de Pell . $x^{2}-2y^{2}=-1$

Si $a$ , $b$ , $c$ son los lados de este tipo de terna pitagórica primitiva, entonces la solución de la ecuación de Pell viene dada por la fórmula recursiva

a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2

con y

a_{1}=3

a_{2}=20

b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2

con y

b_{1}=4

b_{2}=21

c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}

con y . ^[36]

c_{1}=5

c_{2}=29

Esta secuencia de ternas pitagóricas primitivas forma el tallo central (tronco) del árbol ternario enraizado de ternas pitagóricas primitivas.

Cuando son el lado más largo que no es la hipotenusa y la hipotenusa los que difieren en uno, como en

5^{2}+12^{2}=13^{2}

7^{2}+24^{2}=25^{2}

Entonces la solución completa para la terna pitagórica primitiva $a$ , $b$ , $c$ es

a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}

donde entero es el parámetro generador. $m>0$

Esto demuestra que todos los números impares (mayores que 1) aparecen en este tipo de terna pitagórica primitiva casi isósceles. Esta secuencia de ternas pitagóricas primitivas forma el tronco externo del lado derecho del árbol ternario enraizado de ternas pitagóricas primitivas.

Otra propiedad de este tipo de terna pitagórica primitiva casi isósceles es que los lados están relacionados de tal manera que

a^{b}+b^{a}=Kc

para algún entero . O en otras palabras es divisible por tal como en $K$ $a^{b}+b^{a}$ $c$

(5^{12}+12^{5})/13=18799189

. ^[37]

Números de Fibonacci en ternas pitagóricas

A partir del 5, cada segundo número de Fibonacci es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados enteros, o en otras palabras, el número más grande en una terna pitagórica, obtenida de la fórmula La secuencia de triángulos pitagóricos obtenida de esta fórmula tiene lados de longitudes $(F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.$

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

El lado medio de cada uno de estos triángulos es la suma de los tres lados del triángulo anterior. ^[38]

Generalizaciones

Hay varias formas de generalizar el concepto de ternas pitagóricas.

pitagóriconorte-tupla

La expresión

\left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}

es una $n$ -tupla pitagórica para cualquier tupla de números enteros positivos $(m 1, ..., m n)$ con $m 21 > yo 22 + ... + m 2 n$ $La n$ -tupla pitagórica se puede hacer primitiva dividiéndola por el máximo común divisor de sus valores.

Además, cualquier $n$ -tupla pitagórica primitiva $a 21 + ... + un 2 n = c 2$ se puede encontrar mediante este enfoque. Utilice $(m 1, ..., m n) = (c + a 1, a 2, ..., a n)$ para obtener una $n$ -tupla pitagórica mediante la fórmula anterior y divida por el máximo común divisor entero, que es $2 m 1 = 2(c + a 1)$ . Dividir por el máximo común divisor de estos valores $(m 1, ..., m n)$ da la misma $n$ -tupla pitagórica primitiva; y existe una correspondencia uno a uno entre las tuplas de enteros positivos coprimos por conjuntos $(m 1, ..., m n)$ que satisfacen $m 21 > yo 22 + ... + m 2 n$ $y n-$ tuplas pitagóricas primitivas .

Los ejemplos de la relación entre valores coprimos por conjuntos y $n$ -tuplas pitagóricas primitivas incluyen: ^[39] ${\vec {m}}$

{\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}

Cuadrados consecutivos

Dado que la suma $F (k, m)$ de $k$ cuadrados consecutivos que comienzan con $m 2$ está dada por la fórmula, ^[40]

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}

Se pueden encontrar valores $(k, m)$ de modo que $F (k, m)$ sea un cuadrado, como el de Hirschhorn, donde el número de términos es en sí mismo un cuadrado, ^[41]

m={\tfrac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},\;k=v^{2},\;F(m,k)={\tfrac {v^{5}+47v}{48}}

y $v \geq 5$ es cualquier número entero no divisible por 2 o 3. Para el caso más pequeño $v = 5$ , por lo tanto $k = 25$ , esto produce el conocido problema de apilamiento de balas de cañón de Lucas ,

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}

un hecho que está relacionado con la red Leech .

Además, si en una $n$ -tupla pitagórica ( $n \geq 4$ ) todos los sumandos son consecutivos excepto uno, se puede utilizar la ecuación, ^[42]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}

Dado que la segunda potencia de $p$ se cancela, esto es solo lineal y se resuelve fácilmente como si $k$ , $m$ debieran elegirse de modo que $p$ sea un entero, con un pequeño ejemplo siendo $k$ $= 5$ , $m$ $= 1$ , lo que da como resultado: $p={\tfrac {F(k,m)-1}{2}}$

1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}

Por lo tanto, una forma de generar $n$ -tuplas pitagóricas es utilizando, para varios $x$ , ^[43]

x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

donde q = n –2 y donde

p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.

El último teorema de Fermat

Una generalización del concepto de ternas pitagóricas es la búsqueda de ternas de números enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ , tales que $a n + b n = c n$ , para algún $n$ estrictamente mayor que 2. Pierre de Fermat afirmó en 1637 que no existe tal terna, afirmación que llegó a conocerse como el Último Teorema de Fermat porque tardó más tiempo que cualquier otra conjetura de Fermat en ser demostrada o refutada. La primera demostración la dio Andrew Wiles en 1994.

n - 1onorte nortelas potencias suman unnorteel poder

Otra generalización consiste en buscar secuencias de $n + 1$ enteros positivos para los cuales la potencia $n$ del último sea la suma de las potencias $n de los términos anteriores. Las secuencias más pequeñas para valores conocidos de$ $n$ son:

$n$ = 3: {3, 4, 5; 6}.
$n$ = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
$n$ = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
$n$ = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
$n$ = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Para el caso $n = 3$ , en el que se llama cúbico de Fermat , existe una fórmula general que da todas las soluciones. $x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},$

Una generalización ligeramente diferente permite que la suma de las potencias $(k + 1 )$ $n$ $sea igual a la suma de las potencias (n - k)$ $n$ . Por ejemplo:

( $n = 3$ ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ , hecho famoso por el recuerdo de Hardy de una conversación con Ramanujan sobre el número 1729 como el número más pequeño que puede expresarse como suma de dos cubos de dos maneras distintas.

También pueden existir $n - 1$ enteros positivos cuyas potencias $n$ sumen una potencia $n$ (aunque, según el último teorema de Fermat , no para $n = 3)$ ; estos son contraejemplos de la conjetura de la suma de potencias de Euler . Los contraejemplos más pequeños conocidos son ^[44]^[45]^[15]

$n = 4$ : (95800, 217519, 414560; 422481)
$n = 5$ : (27, 84, 110, 133; 144)

Triples del triángulo heroniano

Un triángulo heroniano se define comúnmente como uno con lados enteros cuya área también es un entero. Las longitudes de los lados de un triángulo de este tipo forman una terna heroniana $(a, b, c)$ para $a \leq b \leq c$ . Toda terna pitagórica es una terna heroniana, porque al menos uno de los catetos $a$ , $b$ debe ser par en una terna pitagórica, por lo que el área ab /2 es un entero. Sin embargo, no toda terna heroniana es una terna pitagórica, como lo muestra el ejemplo $(4, 13, 15)$ con área 24.

Si $(a, b, c)$ es una terna heroniana, entonces también lo es $(ka, kb, kc)$ donde $k$ es cualquier entero positivo; su área será el entero que es $k 2$ veces el área entera del triángulo $(a, b, c)$ . La terna heroniana $(a, b, c)$ es primitiva siempre que a , b , c sean coprimos entre sí . (Con las ternas pitagóricas primitivas también se aplica la afirmación más fuerte de que son coprimos entre sí , pero con los triángulos heronianos primitivos la afirmación más fuerte no siempre es cierta, como con $(7, 15, 20)$ .) Aquí hay algunas de las ternas heronianas primitivas más simples que no son ternas pitagóricas:

(4, 13, 15) con área 24

(3, 25, 26) con área 36

(7, 15, 20) con área 42

(6, 25, 29) con área 60

(11, 13, 20) con área 66

(13, 14, 15) con área 84

(13, 20, 21) con área 126

Según la fórmula de Herón , la condición adicional para que un triple de números enteros positivos $(a, b, c)$ con $a < b < c$ sea heroniano es que

(a2 + b2 + c2) 2-2 (a4 + b4 + c4) ​ ​ ​ ​ ​ ​

o equivalentemente

2 (a2b2 + a2c2 + b2c2) - (a4 + b4 + c4) ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

sea un cuadrado perfecto distinto de cero divisible por 16.

Aplicación a la criptografía

Las ternas pitagóricas primitivas se han utilizado en criptografía como secuencias aleatorias y para la generación de claves. ^[46]

Véase también

Notas

^ Largo (1972, pág. 48)
^ Robson, Eleanor (2002), "Palabras e imágenes: nueva luz sobre Plimpton 322" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 109 (2): 105–120, doi :10.1080/00029890.2002.11919845, S2CID 33907668
^ Joyce, DE (junio de 1997), "Libro X, Proposición XXIX", Elementos de Euclides , Universidad Clark
^ Mitchell, Douglas W. (julio de 2001), "Una caracterización alternativa de todas las ternas pitagóricas primitivas", The Mathematical Gazette , 85 (503): 273–5, doi :10.2307/3622017, JSTOR 3622017, S2CID 126059099
^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A000129 (números de Pell)", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
^ Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, ER (2000), "Representación paramétrica de ternas pitagóricas primitivas", en Nelsen, Roger B. (ed.), Demostraciones sin palabras: Más ejercicios de pensamiento visual , vol. II, Asociación Matemática de América , pág. 120, ISBN 978-0-88385-721-2, OCLC 807785075
^ Maor, Eli , El teorema de Pitágoras , Princeton University Press, 2007: Apéndice B.
^ abcdef Sierpiński, Wacław (2003), Triángulos pitagóricos , Dover, págs. iv–vii, ISBN 978-0-486-43278-6
^ Houston, David (1993), "Triples pitagóricos mediante fórmulas de doble ángulo", en Nelsen, Roger B. (ed.), Pruebas sin palabras: ejercicios de pensamiento visual , Asociación Matemática de América, pág. 141, ISBN 978-0-88385-700-7, OCLC 29664480
^ Posamentier, Alfred S. (2010), El teorema de Pitágoras: la historia de su poder y belleza, Prometheus Books, pág. 156, ISBN 9781616141813.
^ Para la inexistencia de soluciones donde $a$ y $b$ son ambos cuadrados, probada originalmente por Fermat, véase Koshy, Thomas (2002), Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, p. 545, ISBN 978-0-852-2-312-0 . 9780124211711. Para el otro caso, en el que $c$ es uno de los cuadrados, véase Stillwell, John (1998), Numbers and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics , Springer, pág. 133, ISBN 9780387982892.
^ abc Carmichael, Robert D. (1915), Análisis diofántico, John Wiley & Sons
^ Sierpiński 2003, págs. 4-6
^ Actas de la Conferencia del Sureste sobre Combinatoria, Teoría de Grafos y Computación, Volumen 20, Utilitas Mathematica Pub, 1990, pág. 141, ISBN 9780919628700
^ ab MacHale, Des ; van den Bosch, Christian (marzo de 2012), "Generalización de un resultado sobre las ternas pitagóricas", Mathematical Gazette , 96 : 91–96, doi : 10.1017/S0025557200004010 , S2CID 124096076
^ Sally, Judith D. (2007), De las raíces a la investigación: un desarrollo vertical de problemas matemáticos, American Mathematical Society, págs. 74-75, ISBN 9780821872673.
^ Esto se desprende inmediatamente del hecho de que ab es divisible por doce, junto con la definición de números congruentes como las áreas de triángulos rectángulos de lados racionales. Véase, por ejemplo, Koblitz, Neal (1993), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 97, Springer, p. 3, ISBN 9780387979663.
^ Baragar, Arthur (2001), Un estudio de geometrías clásicas y modernas: con actividades informáticas , Prentice Hall, Ejercicio 15.3, pág. 301, ISBN 9780130143181
^ de Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (2005), Fórmula de Heron, círculos de Descartes y triángulos pitagóricos , arXiv : math/0701624
^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A237518 (Mínimos primos que junto con el primo(n) forman un triángulo heroniano)", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
^ H. Darmon y L. Merel. Cocientes de bobinado y algunas variantes del último teorema de Fermat, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.
^ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; Wulf, Daniel B. (mayo de 2008), "Triángulos de Heron y espacios de módulos", Mathematics Teacher , 101 : 656–663, doi :10.5951/MT.101.9.0656
^ ab Yiu, Paul (2008), Triángulos de Heron que no se pueden descomponer en dos triángulos rectángulos enteros (PDF) , 41.ª Reunión de la Sección de Florida de la Asociación Matemática de Estados Unidos, pág. 17
^ Weisstein, Eric W. , "Triángulo racional", MathWorld
^ Yekutieli, Amnon (2023), "Trias pitagóricas, números complejos, grupos abelianos y números primos", The American Mathematical Monthly , 130 (4): 321–334, arXiv : 2101.12166 , doi :10.1080/00029890.2023.2176114, MR 4567419
^ Pickover, Clifford A. (2009), "Teorema de Pitágoras y triángulos", The Math Book, Sterling, pág. 40, ISBN 978-1402757969
^ Voles, Roger (julio de 1999), "83.27 Soluciones enteras de ", The Mathematical Gazette , 83 (497): 269–271, doi :10.2307/3619056, JSTOR 3619056, S2CID 123267065 $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$
^ Richinick, Jennifer (julio de 2008), "92.48 El teorema de Pitágoras al revés", The Mathematical Gazette , 92 (524): 313–316, doi :10.1017/s0025557200183275, JSTOR 27821792, S2CID 125989951
^ Yiu, Paul (2003), "Matemáticas recreativas" (PDF) , Notas del curso , Departamento de Ciencias Matemáticas, Florida Atlantic University, cap. 2, pág. 110
^ (Alperín 2005)
^ Stillwell, John (2002), "6.6 Ternas pitagóricas", Elementos de teoría de números , Springer, págs. 110-2, ISBN 978-0-387-95587-2
^ Gauss CF (1832), "Theoria residuorum biquadraticorum", Comm. Soc. Reg. Ciencia. Gött. Rec. , 4 .Véase también Werke , 2 :67–148.
^ Preimpresión de 1988 Archivado el 9 de agosto de 2011 en Wayback Machine. Véase la Figura 2 en la página 3., posteriormente publicada como Fässler, Albert (junio-julio de 1991), "Multiple Pythagorean number triples", American Mathematical Monthly , 98 (6): 505–517, doi :10.2307/2324870, JSTOR 2324870
^ Benito, Manuel; Varona, Juan L. (junio de 2002), "Triángulos pitagóricos con catetos menores que $n$ ", Journal of Computational and Applied Mathematics , 143 (1): 117–126, Bibcode :2002JCoAM.143..117B, doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4como PDF
^ Nahin, Paul J. (1998), Un cuento imaginario: La historia de , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 25-26, ISBN ${\sqrt {-1}}$ 0-691-02795-1, Sr. 1645703
^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A001652", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation; Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A001653", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A303734", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
^ Pagni, David (septiembre de 2001), "Fibonacci se encuentra con Pitágoras", Matemáticas en la escuela , 30 (4): 39–40, JSTOR 30215477
^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A351061 (El entero positivo más pequeño cuyo cuadrado puede escribirse como la suma de n cuadrados perfectos positivos)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , OEIS Foundation
^ Suma de cubos consecutivos igual a un cubo, archivado desde el original el 15 de mayo de 2008
^ Hirschhorn, Michael (noviembre de 2011), "¿Cuándo la suma de cuadrados consecutivos es un cuadrado?", The Mathematical Gazette , 95 : 511–2, doi : 10.1017/S0025557200003636 , ISSN 0025-5572, OCLC 819659848, S2CID 118776198
^ Goehl, John F. Jr. (mayo de 2005), "Reflexiones del lector", Mathematics Teacher , 98 (9): 580, doi :10.5951/MT.98.9.0580
^ Goehl, John F., Jr., "Triples, cuartetos, pentadas", Mathematics Teacher 98, mayo de 2005, pág. 580.
^ Kim, Scott (mayo de 2002), "Bogglers", Discover : 82, La ecuación w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ es más difícil. En 1988, después de 200 años de intentos de los matemáticos por demostrar que era imposible, Noam Elkies de Harvard encontró el contraejemplo, 2.682.440 ⁴ + 15.365.639 ⁴ + 18.796.760 ⁴ = 20.615.673 ⁴ .
^ Elkies, Noam (1988), "Sobre A4 + B4 + C4 = D4", Matemáticas de la computación , 51 (184): 825–835, doi :10.2307/2008781, JSTOR 2008781, MR 0930224
^ Kak, S. y Prabhu, M. Aplicaciones criptográficas de las ternas pitagóricas primitivas. Cryptologia, 38:215–222, 2014. [1]

Referencias

Alperin, Roger C. (2005), "El árbol modular de Pitágoras" (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (9): 807–816, CiteSeerX 10.1.1.112.3085 , doi :10.2307/30037602, JSTOR 30037602, MR 2179860
Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (en sueco), 17 : 129-139
Barning, FJM (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF) , Math. Centrum Ámsterdam Afd. Zuivere Wisk. (en holandés), ZW-011: 37
Eckert, Ernest (1992), "Triples pitagóricos primitivos", The College Mathematics Journal , 23 (5): 413–417, doi :10.2307/2686417, JSTOR 2686417
Elkies, Noam , ternas pitagóricas y teorema de Hilbert 90 (PDF)
Heath, Thomas (1956), Los trece libros de los elementos de Euclides, vol. 1 (libros I y II) (2.ª ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-60088-8
Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2.ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN 77171950
Martin, Artemas (1875), "Triángulos rectángulos racionales casi isósceles", The Analyst , 3 (2): 47–50, doi :10.2307/2635906, JSTOR 2635906
McCullough, Darryl (2005), "Altura y exceso de ternas pitagóricas" (PDF) , Mathematics Magazine , 78 (1): 26–44, doi :10.1080/0025570X.2005.11953298, S2CID 1701449
Romik, Dan (2008), "La dinámica de las ternas pitagóricas" (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 360 (11): 6045–6064, arXiv : math.DS/0406512 , doi : 10.1090/S0002-9947-08-04467-X , MR 2425702
Teigen, MG; Hadwin, DW (1971), "Sobre la generación de ternas pitagóricas", The American Mathematical Monthly , 78 (4): 378–379, doi :10.2307/2316903, JSTOR 2316903
Trautman, Andrzej (1998), "Espinores pitagóricos y twistores de Penrose", en SA Hugget; LJ Mason; KP Tod; ST Tsou; NMJ Woodhouse (eds.), Universo geométrico (Postscript)

Enlaces externos

Álgebras de Clifford y parametrización de Euclides de las ternas pitagóricas
Consecuencias curiosas de una ecuación cuadrática mal copiada
Discusión de propiedades de las ternas pitagóricas, calculadoras interactivas, rompecabezas y problemas
Generación de ternas pitagóricas mediante progresiones aritméticas
"Números pitagóricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Calculadora interactiva de ternas pitagóricas
La ecuación de Pell negativa y las ternas pitagóricas
Parametrización de ternas pitagóricas mediante una única terna de polinomios
Price, H. Lee (2008), El árbol de Pitágoras: una nueva especie , arXiv : 0809.4324
Ternas pitagóricas y el círculo unitario, cap. 2-3, en "A Friendly Introduction to Number Theory" de Joseph H. Silverman, 3.ª ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
Ternas pitagóricas en cut-the-knot Aplicación interactiva que muestra las relaciones entre círculos unitarios y ternas pitagóricas
Tripletes pitagóricos
El notable círculo inscrito en un triángulo
Soluciones a pares cuadráticos compatibles en relación a las ternas pitagóricas
Propiedades teóricas de las ternas pitagóricas y conexiones con la geometría
El árbol trinario subyacente a las ternas pitagóricas primitivas en el momento del corte del nudo
Weisstein, Eric W. , "La terna pitagórica", MathWorld