El octavo problema del segundo libro de Aritmética de Diofanto (c. 200/214 d. C. – c. 284/298 d. C. ) es dividir un cuadrado en una suma de dos cuadrados.
Diofanto toma el cuadrado como 16 y resuelve el problema de la siguiente manera: [1]
Dividir un cuadrado dado en una suma de dos cuadrados.
Dividir 16 en una suma de dos cuadrados.
Sea el primer sumando , y por tanto el segundo . Este último debe ser un cuadrado. Formo el cuadrado de la diferencia de un múltiplo arbitrario de x disminuido por la raíz [de] 16, es decir, disminuido en 4. Formo, por ejemplo, el cuadrado de 2 x − 4. Es . Pongo esta expresión igual a . Sumo a ambos lados y resto 16. De esta manera obtengo , por lo tanto .
Por lo tanto, un número es 256/25 y el otro 144/25. La suma de estos números es 16 y cada sumando es un cuadrado.
Geométricamente, podemos ilustrar este método dibujando el círculo x 2 + y 2 = 4 2 y la línea y = 2 x - 4. El par de cuadrados buscados son entonces x 0 2 e y 0 2 , donde ( x 0 , y 0 ) es el punto que no está en el eje y donde se intersecan la línea y el círculo. Esto se muestra en el diagrama adyacente.
Podemos generalizar la solución de Diofanto para resolver el problema para cualquier cuadrado dado, que representaremos algebraicamente como 2 . Además, dado que Diofanto se refiere a un múltiplo arbitrario de x , tomaremos el múltiplo arbitrario como tx . Entonces:
Por lo tanto, encontramos que uno de los sumandos es y el otro es . La suma de estos números es y cada sumando es un cuadrado. Geométricamente, hemos intersecado el círculo x 2 + y 2 = a 2 con la línea y = tx - a , como se muestra en el diagrama adyacente. [2] Escribiendo las longitudes, OB, OA y AB, de los lados del triángulo OAB como una tupla ordenada, obtenemos la triple
El resultado específico obtenido por Diofanto se puede obtener tomando a = 4 y t = 2:
Vemos que la solución particular de Diofanto es, de hecho, una terna (3, 4, 5) sutilmente disfrazada. Sin embargo, como la terna siempre será racional mientras a y t sean racionales, podemos obtener una infinidad de ternas racionales modificando el valor de t y, por lo tanto, modificando el valor del múltiplo arbitrario de x .
Esta solución algebraica necesita sólo un paso adicional para llegar a la secuencia platónica y es multiplicar todos los lados del triple anterior por un factor . Observe también que si a = 1, los lados [OB, OA, AB] se reducen a
En notación moderna, esto es solo para θ que se muestra en el gráfico anterior, escrito en términos de la cotangente t de θ/2. En el ejemplo particular dado por Diofanto, t tiene un valor de 2, el multiplicador arbitrario de x . Al despejar los denominadores , esta expresión generará ternas pitagóricas . Curiosamente, el multiplicador arbitrario de x se ha convertido en la piedra angular de la(s) expresión(es) generadora(s).
Diofanto II.IX llega a la misma solución por una vía aún más rápida y muy similar a la "solución generalizada" anterior. Una vez más, el problema consiste en dividir 16 en dos cuadrados. [3]
Sea el primer número N y el segundo un múltiplo arbitrario de N disminuido por la raíz (de) 16. Por ejemplo 2 N − 4. Entonces:
El famoso comentario de Fermat , que más tarde se convirtió en el Último Teorema de Fermat, aparece intercalado entre «Quaestio VIII» y «Quaestio IX» en la página 61 de una edición de 1670 de Arithmetica.