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Teorema 90 de Hilbert

En álgebra abstracta , el teorema 90 de Hilbert (o Satz 90 ) es un resultado importante sobre extensiones cíclicas de cuerpos (o una de sus generalizaciones) que conduce a la teoría de Kummer . En su forma más básica, establece que si L / K es una extensión de cuerpos con grupo de Galois cíclico G  = Gal( L / K ) generado por un elemento y si es un elemento de L de norma relativa 1, es decir

entonces existe en L tal que

El teorema toma su nombre del hecho de que es el teorema número 90 en el Zahlbericht de David Hilbert (Hilbert 1897, 1998), aunque originalmente se debe a Kummer  (1855, p.213, 1861).

A menudo se le da el nombre a un teorema más general debido a Emmy Noether  (1933), que establece que si L / K es una extensión de Galois finita de campos con un grupo de Galois arbitrario G  = Gal( L / K ), entonces el primer grupo de cohomología de G , con coeficientes en el grupo multiplicativo de L , es trivial:

Ejemplos

Sea la extensión cuadrática . El grupo de Galois es cíclico de orden 2, su generador actúa por conjugación:

Un elemento en tiene norma . Un elemento de norma uno corresponde entonces a una solución racional de la ecuación o, en otras palabras, a un punto con coordenadas racionales en el círculo unitario . El teorema 90 de Hilbert establece entonces que cada elemento a de norma uno puede escribirse como

donde es como en la conclusión del teorema, y ​​c y d son ambos números enteros. Esto puede verse como una parametrización racional de los puntos racionales en el círculo unitario. Los puntos racionales en el círculo unitario corresponden a ternas pitagóricas , es decir, ternas de números enteros que satisfacen .

Cohomología

El teorema se puede enunciar en términos de cohomología de grupos : si L × es el grupo multiplicativo de cualquier extensión de Galois (no necesariamente finita) L de un campo K con el grupo de Galois correspondiente G , entonces

Específicamente, la cohomología de grupo es la cohomología del complejo cuyas i- cocadenas son funciones arbitrarias de i -tuplas de elementos del grupo al grupo de coeficientes multiplicativos, , con diferenciales definidos en dimensiones por:

donde denota la imagen del elemento -módulo bajo la acción del elemento de grupo . Nótese que en el primero de estos hemos identificado una cocadena 0 , con su único valor de imagen . La trivialidad del primer grupo de cohomología es entonces equivalente a que los 1-cociclos sean iguales a los 1-colímites , es decir:

Para cíclico , un 1-cociclo está determinado por , con y:

Por otra parte, un 1-colímite está determinado por . Al igualarlos se obtiene la versión original del Teorema.


Una generalización adicional es la cohomología con coeficientes no abelianos : si H es el grupo lineal general o especial sobre L , incluyendo , entonces

Otra generalización es para un esquema X :

donde es el grupo de clases de isomorfismo de haces localmente libres de -módulos de rango 1 para la topología de Zariski, y es el haz definido por la línea afín sin el origen considerado como un grupo bajo multiplicación. [1]

Hay otra generalización de la teoría K de Milnor que juega un papel en la prueba de Voevodsky de la conjetura de Milnor .

Prueba

Sea cíclico de grado y genere . Elija cualquiera de las normas

Al despejar los denominadores, resolver es lo mismo que demostrar que tiene como valor propio. Extendemos esto a una función de espacios vectoriales mediante

El teorema del elemento primitivo da para algún . Dado que tiene polinomio mínimo

podemos identificar

a través de

Aquí escribimos el segundo factor como un polinomio en .

Bajo esta identificación, nuestro mapa se convierte en

Es decir bajo este mapa

es un vector propio con valor propio si y solo si tiene norma .

Referencias

  1. ^ Milne, James S. (2013). "Conferencias sobre cohomología étale (v2.21)" (PDF) . pág. 80.

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