Número primo pitagórico

El primo pitagórico 5 y su raíz cuadrada son hipotenusas de triángulos rectángulos con catetos enteros. Las fórmulas muestran cómo transformar cualquier triángulo rectángulo con catetos enteros en otro triángulo rectángulo con catetos enteros cuya hipotenusa sea el cuadrado de la hipotenusa del primer triángulo.

Un primo pitagórico es un número primo de la forma . ${\displaystyle 4n+1}$ Los primos pitagóricos son exactamente los números primos impares que son la suma de dos cuadrados; esta caracterización es el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados .

De manera equivalente, por el teorema de Pitágoras , son los números primos impares para los cuales es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos enteros, y también son los números primos para los cuales es la hipotenusa de un triángulo pitagórico primitivo . Por ejemplo, el número 5 es un primo pitagórico; es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 1 y 2, y el propio 5 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Valores y densidad

Los primeros números primos pitagóricos son

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , ... (secuencia A002144 en la OEIS ).

Según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , esta secuencia es infinita. Más fuertemente, para cada , los números de primos pitagóricos y no pitagóricos hasta son aproximadamente iguales. Sin embargo, el número de primos pitagóricos hasta es frecuentemente algo menor que el número de primos no pitagóricos; este fenómeno se conoce como sesgo de Chebyshev . ^[1] Por ejemplo, los únicos valores de hasta 600000 para los cuales hay más primos impares pitagóricos que no pitagóricos menores o iguales a n son 26861 y 26862. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Representación como suma de dos cuadrados

La suma de un cuadrado impar y un cuadrado par es congruente con 1 módulo 4, pero existen números compuestos como 21 que son 1 módulo 4 y, sin embargo, no pueden representarse como sumas de dos cuadrados. El teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados establece que los números primos que pueden representarse como sumas de dos cuadrados son exactamente 2 y los primos impares congruentes con 1 módulo 4. ^[3] La representación de cada uno de estos números es única, hasta el orden de los dos cuadrados. ^[4]

Utilizando el teorema de Pitágoras , esta representación puede interpretarse geométricamente: los primos pitagóricos son exactamente los números primos impares tales que existe un triángulo rectángulo , con catetos enteros, cuya hipotenusa tiene longitud . También son exactamente los números primos tales que existe un triángulo rectángulo con lados enteros cuya hipotenusa tiene longitud . Porque, si el triángulo con catetos y tiene longitud de hipotenusa (con ), entonces el triángulo con catetos y tiene longitud de hipotenusa . ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle 2xy}$ ${\displaystyle p}$

Otra forma de entender esta representación como suma de dos cuadrados involucra a los enteros gaussianos , los números complejos cuya parte real y parte imaginaria son ambas números enteros. ^[6] La norma de un entero gaussiano es el número . Por lo tanto, los primos pitagóricos (y 2) ocurren como normas de los enteros gaussianos, mientras que otros primos no. Dentro de los enteros gaussianos, los primos pitagóricos no se consideran números primos, porque pueden factorizarse como De manera similar, sus cuadrados pueden factorizarse de una manera diferente a su factorización entera , como Las partes real e imaginaria de los factores en estas factorizaciones son las longitudes de los catetos de los triángulos rectángulos que tienen las hipotenusas dadas. ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ $${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p^{2}&=(x+iy)^{2}(x-iy)^{2}\\&=(x^{2}-y^{2}+2ixy)(x^{2}-y^{2}-2ixy).\\\end{aligned}}}$$

Residuos cuadráticos

La ley de reciprocidad cuadrática dice que si y son primos impares distintos, al menos uno de los cuales es pitagórico, entonces es un residuo cuadrático mod si y solo si es un residuo cuadrático mod ; por el contrario, si ni ni son pitagóricos, entonces es un residuo cuadrático mod si y solo si no es un residuo cuadrático mod . ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

En el cuerpo finito con un primo pitagórico, la ecuación polinómica tiene dos soluciones. Esto se puede expresar diciendo que es un residuo cuadrático mod . Por el contrario, esta ecuación no tiene solución en los cuerpos finitos donde es un primo impar pero no es pitagórico. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2}=-1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$

El gráfico de Paley con 13 vértices

Para cada primo pitagórico , existe un grafo de Paley con vértices, que representan los números módulo , con dos números adyacentes en el grafo si y solo si su diferencia es un residuo cuadrático. Esta definición produce la misma relación de adyacencia independientemente del orden en que se resten los dos números para calcular su diferencia, debido a la propiedad de los primos pitagóricos de que es un residuo cuadrático . ^[7] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$

Referencias

1. Rubinstein, Michael; Sarnak, Peter (1994), "El sesgo de Chebyshev", Experimental Mathematics , 3 (3): 173–197, doi :10.1080/10586458.1994.10504289
2. Granville, Andrew ; Martin, Greg (enero de 2006), "Carreras de números primos" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 113 (1): 1--33, doi :10.2307/27641834, JSTOR  27641834
3. Stewart, Ian (2008), Por qué la belleza es verdad: una historia de la simetría, Basic Books, pág. 264, ISBN 9780465082377
4. LeVeque, William Judson (1996), Fundamentos de la teoría de números, Dover, págs. 100, 103, 183, ISBN 9780486689067
5. Stillwell, John (2003), Elementos de teoría de números, Textos de pregrado en matemáticas , Springer, pág. 112, ISBN 9780387955872
6. Mazur, Barry (2010), "Números algebraicos [IV.I]", en Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 315–332, ISBN 9781400830398Véase en particular la sección 9, "Representaciones de números primos mediante formas cuadráticas binarias", pág. 325.
7. Chung, Fan RK (1997), Teoría de grafos espectrales, Serie de conferencias regionales CBMS, vol. 92, American Mathematical Society, págs. 97-98, ISBN 9780821889367

Enlaces externos

• Eaves, Laurence , "Números primos pitagóricos: incluidos 5, 13 y 137", Numberphile , Brady Haran , archivado desde el original el 19-03-2016 , consultado el 2-04-2013
• Secuencia OEIS A007350 (donde la raza principal 4n-1 vs. 4n+1 cambia de líder)