Número aritmético

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de la naturaleza aritmética del número 6

En teoría de números , un número aritmético es un entero cuyo promedio de sus divisores positivos también es un entero. Por ejemplo, 6 es un número aritmético porque el promedio de sus divisores es

${\displaystyle {\frac {1+2+3+6}{4}}=3,}$

que también es un número entero. Sin embargo, 2 no es un número aritmético porque sus únicos divisores son 1 y 2, y su media 3/2 no es un número entero.

Los primeros números en la secuencia de números aritméticos son

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ... (secuencia A003601 en la OEIS ).

Las medias aritméticas de los divisores de números aritméticos se enumeran en A102187.

Densidad

Se sabe que la densidad natural de tales números es 1: ^[1] de hecho, la proporción de números menores que X que no son aritméticos es asintóticamente ^[2]

${\displaystyle \exp \left({-c{\sqrt {\log \log X}}}\,\right)}$

donde c = 2 √ log 2 + o(1).

Un número N es aritmético si el número de divisores d ( N  ) divide a la suma de divisores σ( N  ). Se sabe que la densidad de números enteros N que obedecen a la condición más fuerte de que d ( N  ) ² divide a σ( N  ) es 1/2. ^{[1] [2]}

Notas

1. Guy (2004) pág. 76
2. Bateman, Paul T. ; Erdős, Paul ; Pomerance, Carl ; Straus, EG (1981). "La media aritmética de los divisores de un entero". En Knopp, MI (ed.). Teoría analítica de números, Proc. Conf., Temple Univ., 1980 (PDF) . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 899. Springer-Verlag . págs. 197–220. Zbl  0478.10027.

Referencias

• Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3.ª ed.). Springer-Verlag . B2. ISBN 978-0-387-20860-2.Zbl 1058.11001  .