función quíntica

Función polinómica de grado 5

Gráfica de un polinomio de grado 5, con 3 ceros reales (raíces) y 4 puntos críticos .

En matemáticas , una función quíntica es una función de la forma

${\displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,}$

donde a , b , c , d , e y f son miembros de un campo , típicamente los números racionales , los números reales o los números complejos , y a es distinto de cero. En otras palabras, una función quíntica está definida por un polinomio de grado cinco.

Debido a que tienen un grado impar, las funciones quínticas normales parecen similares a las funciones cúbicas normales cuando se representan gráficamente, excepto que pueden poseer un máximo local adicional y un mínimo local adicional. La derivada de una función quíntica es una función cuártica .

Establecer g ( x ) = 0 y asumir a ≠ 0 produce una ecuación quíntica de la forma:

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,}$

Resolver ecuaciones quínticas en términos de radicales ( nésimas raíces) fue un problema importante en álgebra desde el siglo XVI, cuando se resolvieron ecuaciones cúbicas y cuárticas , hasta la primera mitad del siglo XIX, cuando se demostró la imposibilidad de una solución tan general. con el teorema de Abel-Ruffini .

Encontrar raíces de una ecuación quíntica

Encontrar las raíces (ceros) de un polinomio dado ha sido un problema matemático destacado.

Siempre se puede resolver ecuaciones lineales , cuadráticas , cúbicas y cuárticas en términos de radicales y operaciones aritméticas elementales sobre los coeficientes, sin importar si las raíces son racionales o irracionales, reales o complejas; existen fórmulas que producen las soluciones requeridas. Sin embargo, no existe una expresión algebraica (es decir, en términos de radicales) para las soluciones de ecuaciones quínticas generales sobre las racionales; esta afirmación se conoce como teorema de Abel-Ruffini , afirmado por primera vez en 1799 y completamente demostrado en 1824. Este resultado también es válido para ecuaciones de grado superior. Un ejemplo de una quíntica cuyas raíces no se pueden expresar en términos de radicales es x ⁵ − x + 1 = 0 .

Algunas quinticas pueden resolverse en términos de radicales. Sin embargo, la solución suele ser demasiado complicada para utilizarla en la práctica. En cambio, las aproximaciones numéricas se calculan utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces para polinomios .

quinticas solubles

Algunas ecuaciones quínticas se pueden resolver en términos de radicales. Estas incluyen las ecuaciones quínticas definidas por un polinomio que es reducible , como x ⁵ − x ⁴ − x + 1 = ( x ² + 1)( x + 1)( x − 1) ² . Por ejemplo, se ha demostrado ^[1] que

${\displaystyle x^{5}-x-r=0}$

tiene soluciones en radicales si y solo si tiene una solución entera o r es una de ±15, ±22440 o ±2759640, en cuyos casos el polinomio es reducible.

Como la resolución de ecuaciones quínticas reducibles se reduce inmediatamente a la resolución de polinomios de grado inferior, en el resto de esta sección sólo se consideran ecuaciones quínticas irreducibles, y el término "quíntica" se referirá únicamente a las quínticas irreducibles. Una quíntica soluble es, por tanto, un polinomio quíntico irreducible cuyas raíces pueden expresarse en términos de radicales.

Para caracterizar las quinticas solubles y, más generalmente, los polinomios de grado superior solubles, Évariste Galois desarrolló técnicas que dieron lugar a la teoría de grupos y la teoría de Galois . Aplicando estas técnicas, Arthur Cayley encontró un criterio general para determinar si una quintica determinada tiene solución. ^[2] Este criterio es el siguiente. ^[3]

Dada la ecuación

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}$

la transformación de Tschirnhaus x = y −b/5 un, que deprime la quíntica (es decir, elimina el término de grado cuatro), da la ecuación

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}$,

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}$

Ambas quinticas se pueden resolver mediante radicales si y solo si son factorizables en ecuaciones de grados inferiores con coeficientes racionales o el polinomio P ² − 1024 z Δ , llamadoEl resolutivo de Cayley , tiene una raíz racional enz, donde

${\displaystyle {\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}}$

El resultado de Cayley nos permite probar si una quíntica tiene solución. Si es así, encontrar sus raíces es un problema más difícil, que consiste en expresar las raíces en términos de radicales que involucran los coeficientes de la quíntica y la raíz racional del resolutivo de Cayley.

En 1888, George Paxton Young describió cómo resolver una ecuación quíntica que se podía resolver, sin proporcionar una fórmula explícita; ^[4] En 2004, Daniel Lazard escribió una fórmula de tres páginas. ^[5]

Quintics en forma Bring-Jerrard

Hay varias representaciones paramétricas de quinticas solubles de la forma x ⁵ + ax + b = 0 , llamada forma Bring-Jerrard .

Durante la segunda mitad del siglo XIX, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carl Runge dieron la siguiente parametrización: una quíntica irreducible con coeficientes racionales en forma Bring-Jerrard tiene solución si y sólo si a = 0 o puede ser escrito

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

donde μ y ν son racionales.

En 1994, Blair Spearman y Kenneth S. Williams dieron una alternativa:

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 se puede ver definiendo la expresión

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

donde a =5(4 ν + 3)/y ² + 1. Usando el caso negativo de la raíz cuadrada se obtiene, después de escalar las variables, la primera parametrización, mientras que el caso positivo da la segunda.

La sustitución c =-metro​/l ⁵, mi =1/yoen la parametrización de Spearman-Williams permite no excluir el caso especial a = 0 , dando el siguiente resultado:

Si a y b son números racionales, la ecuación x ⁵ + ax + b = 0 se puede resolver mediante radicales si su lado izquierdo es producto de polinomios de grado menor que 5 con coeficientes racionales o si existen dos números racionales l y Soy tal que

${\displaystyle a={\frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}\qquad b={\frac {4(11l^{5}+2m)}{m^{2}+l^{10}}}.}$

Raíces de una quíntica soluble

Una ecuación polinómica se puede resolver mediante radicales si su grupo de Galois es un grupo que se puede resolver . En el caso de las quinticas irreducibles, el grupo de Galois es un subgrupo del grupo simétrico S ₅ de todas las permutaciones de un conjunto de cinco elementos, que tiene solución si y sólo si es un subgrupo del grupo F ₅ , de orden 20 , generado por las permutaciones cíclicas (1 2 3 4 5) y (1 2 4 3) .

Si la quíntica tiene solución, una de las soluciones puede representarse mediante una expresión algebraica que incluya una quinta raíz y como máximo dos raíces cuadradas, generalmente anidadas . Las otras soluciones se pueden obtener cambiando la raíz quinta o multiplicando todas las apariciones de la raíz quinta por la misma potencia de una raíz quinta primitiva de la unidad , como por ejemplo

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}$

De hecho, las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad se pueden obtener cambiando apropiadamente los signos de las raíces cuadradas; es decir, la expresión

${\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}$

donde , produce las cuatro raíces quintas primitivas distintas de la unidad. ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}$

De ello se deduce que es posible que se necesiten cuatro raíces cuadradas diferentes para escribir todas las raíces de una quíntica soluble. Incluso para la primera raíz que involucra como máximo dos raíces cuadradas, la expresión de las soluciones en términos de radicales suele ser muy complicada. Sin embargo, cuando no se necesita raíz cuadrada, la forma de la primera solución puede ser bastante simple, como en el caso de la ecuación x ⁵ − 5 x ⁴ + 30 x ³ − 50 x ² + 55 x − 21 = 0 , para la cual la única la verdadera solución es

${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}$

Un ejemplo de una solución más complicada (aunque lo suficientemente pequeña como para escribirla aquí) es la raíz real única de x ⁵ − 5 x + 12 = 0 . Sea a = √ 2 φ ⁻¹ , b = √ 2 φ y c = ⁴ √ 5 , donde φ =1 + √5/2es la proporción áurea . Entonces la única solución real x = −1.84208... está dada por

${\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}$

o, equivalentemente, por

${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}$

donde y _i son las cuatro raíces de la ecuación de cuarto grado

${\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}$

De manera más general, si una ecuación P ( x ) = 0 de grado primo p con coeficientes racionales se puede resolver en radicales, entonces se puede definir una ecuación auxiliar Q ( y ) = 0 de grado p – 1 , también con coeficientes racionales, tal que cada raíz de P es la suma de las p -ésimas raíces de las raíces de Q. Estas raíces p -ésimas fueron introducidas por Joseph-Louis Lagrange , y sus productos por p se denominan comúnmente solventes de Lagrange . El cálculo de Q y sus raíces se puede utilizar para resolver P ( x ) = 0 . Sin embargo, es posible que estas raíces p -ésimas no se calculen de forma independiente (esto proporcionaría raíces p ^{p –1 en lugar de} p ). Por tanto, una solución correcta debe expresar todas estas raíces p en términos de una de ellas. La teoría de Galois muestra que esto siempre es teóricamente posible, incluso si la fórmula resultante puede ser demasiado grande para ser de alguna utilidad.

Es posible que algunas de las raíces de Q sean racionales (como en el primer ejemplo de esta sección) o algunas sean cero. En estos casos, la fórmula para las raíces es mucho más simple, como para la quintica de Moivre solucionable.

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}$

donde la ecuación auxiliar tiene dos raíces cero y se reduce, al factorizarlas, a la ecuación cuadrática

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}$

tal que las cinco raíces de la quíntica de Moivre están dadas por

${\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}$

donde y _i es cualquier raíz de la ecuación cuadrática auxiliar y ω es cualquiera de las cuatro quintas raíces primitivas de la unidad . Esto se puede generalizar fácilmente para construir un tanque séptico con solución y otros grados impares, no necesariamente primarios.

Otras quinticas solucionables

Hay infinitas quinticas solubles en forma Bring-Jerrard que se han parametrizado en la sección anterior.

Hasta el escalamiento de la variable, hay exactamente cinco quinticas solubles de la forma , que son ^[6] (donde s es un factor de escala): ${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}$

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}$

Paxton Young (1888) dio varios ejemplos de quinticas solubles:

Se puede construir una secuencia infinita de quinticas solubles, cuyas raíces son sumas de n- ésimas raíces de la unidad , siendo n = 10 k + 1 un número primo:

También hay dos familias parametrizadas de quinticas solubles: la quintica de Kondo-Brumer,

${\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0}$

y la familia dependiendo de los parámetros ${\displaystyle a,\ell ,m}$

${\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0}$

dónde

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}$

${\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}$

${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}$

Caso irreducibilis

De manera análoga a las ecuaciones cúbicas , hay quinticas solubles que tienen cinco raíces reales, todas cuyas soluciones en radicales involucran raíces de números complejos. Este es un casus irreducibilis para la quíntica, que se analiza en Dummit. ^{[7] : p.17} De hecho, si una quíntica irreducible tiene todas las raíces reales, ninguna raíz puede expresarse puramente en términos de radicales reales (como ocurre con todos los grados polinomiales que no son potencias de 2).

Más allá de los radicales

Alrededor de 1835, Jerrard demostró que las quinticas se pueden resolver utilizando ultrarradicales (también conocidos como radicales Bring), la única raíz real de t ⁵ + t − a = 0 para números reales a . En 1858, Charles Hermite demostró que el radical Bring podía caracterizarse en términos de las funciones theta de Jacobi y sus funciones modulares elípticas asociadas , utilizando un enfoque similar al más familiar de resolver ecuaciones cúbicas mediante funciones trigonométricas . Aproximadamente al mismo tiempo, Leopold Kronecker , utilizando la teoría de grupos , desarrolló una forma más sencilla de derivar el resultado de Hermite, al igual que Francesco Brioschi . Más tarde, Felix Klein ideó un método que relaciona las simetrías del icosaedro , la teoría de Galois y las funciones modulares elípticas que aparecen en la solución de Hermite, dando una explicación de por qué deberían aparecer, y desarrolló su propia solución en términos de funciones hipergeométricas generalizadas . ^[8] Fenómenos similares ocurren en el grado 7 ( ecuaciones sépticas ) y 11 , según lo estudiado por Klein y discutido en Simetría icosaédrica § Geometrías relacionadas .

Resolver con traer radicales

Una transformación de Tschirnhaus , que puede calcularse resolviendo una ecuación de cuarto grado , reduce la ecuación de cuarto grado general de la forma

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}$

a la forma normal de Bring-Jerrard x ⁵ − x + t = 0 .

Las raíces de esta ecuación no se pueden expresar mediante radicales. Sin embargo, en 1858, Charles Hermite publicó la primera solución conocida de esta ecuación en términos de funciones elípticas . ^[9] Casi al mismo tiempo, Francesco Brioschi ^[10] y Leopold Kronecker ^[11] encontraron soluciones equivalentes.

Consulte Bring radical para obtener detalles sobre estas soluciones y algunas relacionadas.

Aplicación a la mecánica celeste

Resolver las ubicaciones de los puntos lagrangianos de una órbita astronómica en la que las masas de ambos objetos no son despreciables implica resolver una quíntica.

Más precisamente, las ubicaciones de L ₂ y L ₁ son las soluciones de las siguientes ecuaciones, donde las fuerzas gravitacionales de dos masas sobre una tercera (por ejemplo, el Sol y la Tierra en satélites como Gaia y el telescopio espacial James Webb en L ₂ y SOHO en L ₁ ) proporcionan la fuerza centrípeta del satélite necesaria para estar en una órbita sincrónica con la Tierra alrededor del Sol:

${\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)}$

El signo ± corresponde a L ₂ y L ₁ , respectivamente; G es la constante gravitacional , ω la velocidad angular , r la distancia del satélite a la Tierra, R la distancia del Sol a la Tierra (es decir, el semieje mayor de la órbita de la Tierra), y m , M _E y M _S son las masas respectivas del satélite, la Tierra y el Sol .

Usando la Tercera Ley de Kepler y reordenando todos los términos se obtiene la quintica ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}$

${\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}$

con:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ (thus\ d=0\ for\ L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}\end{aligned}}}$.

Al resolver estas dos quinticas se obtiene r = 1,501 x 10 ⁹ m para L ₂ y r = 1,491 x 10 ⁹ m para L ₁ . Los puntos lagrangianos L ₂ y L ₁ Sol-Tierra generalmente se indican a 1,5 millones de kilómetros de la Tierra.

Si la masa del objeto más pequeño ( M _E ) es mucho más pequeña que la masa del objeto más grande ( M _S ), entonces la ecuación quíntica se puede reducir considerablemente y L ₁ y L ₂ están aproximadamente en el radio de la esfera de Hill . dada por:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}$

Esto también produce r = 1,5 x 10 ⁹ m para los satélites en L ₁ y L ₂ en el sistema Sol-Tierra.

Ver también

• ecuación sextica
• Función séptica
• Teoría de ecuaciones

Notas

1. Elía, M.; Filipponi, P. (1998). "Ecuaciones de la forma Bring-Jerrard, la sección áurea y los números cuadrados de Fibonacci" (PDF) . El Fibonacci trimestral . 36 (3): 282–286.
2. A. Cayley, "Sobre una nueva ecuación auxiliar en la teoría de la ecuación de quinto orden", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi :10.1098/rstl.1861.0014
3. Esta formulación del resultado de Cayley está extraída del artículo de Lazard (2004).
4. George Paxton Young, "Ecuaciones quínticas solubles con coeficientes conmensurables", American Journal of Mathematics 10 :99–130 (1888), JSTOR  2369502
5. Lazard (2004, pág.207)
6. Elkies, Noam. "Trinomios a xn + bx + c con interesantes grupos de Galois". Universidad Harvard .
7. David S. Dummit Resolviendo quinticas solubles
8. (Klein 1888); se ofrece una exposición moderna en (Tóth 2002, Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, p. 66)
9. Hermita, Charles (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 508–515.
10. Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Yo : 275–282.
11. Kronecker, Leopold (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 1150-1152.

Referencias

• Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Obras de Charles Hermite , 2 :5–21, Gauthier-Villars, 1908.
• Klein, Félix (1888). Conferencias sobre el Icosaedro y la Solución de Ecuaciones de Quinto Grado. Traducido por Morrice, George Gavin. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
• Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 :1:1150–1152 1858.
• Blair Spearman y Kenneth S. Williams, "Caracterización de quinticas solubles x ⁵ + ax + b " , American Mathematical Monthly , 101 :986–992 (1994).
• Ian Stewart, Teoría de Galois , segunda edición, Chapman y Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1 . Analiza la teoría de Galois en general, incluida una prueba de insolubilidad de la quíntica general. 
• Jörg Bewersdorff , Teoría de Galois para principiantes: una perspectiva histórica , Sociedad Matemática Estadounidense, 2006. ISBN 0-8218-3817-2 . El capítulo 8 (La solución de ecuaciones de quinto grado en Wayback Machine (archivado el 31 de marzo de 2010)) ofrece una descripción de la solución de quinticas solubles x ⁵ + cx + d . 
• Victor S. Adamchik y David J. Jeffrey, "Transformaciones polinómicas de Tschirnhaus, Bring y Jerrard", Boletín ACM SIGSAM , vol. 37, núm. 3, septiembre de 2003, págs. 90–94.
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada", Boletín ACM SIGSAM , vol. 37, núm. 1, marzo de 2003, págs. 1–3.
• Lazard, Daniel (2004). "Resolver quinticas en radicales". En Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (eds.). El legado de Niels Henrik Abel. Berlina. págs. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Archivado desde el original el 6 de enero de 2005.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Tóth, Gábor (2002), Grupos finitos de Möbius, inmersiones mínimas de esferas y módulos.

enlaces externos

• Mathworld - Ecuación quíntica: más detalles sobre métodos para resolver quínticas.
• Resolver quinticas solubles: un método para resolver quinticas solubles debido a David S. Dummit.
• Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada: una traducción reciente al inglés del artículo de Tschirnhaus de 1683.