Traer radical

Raíz real del polinomio x^5+x+a

Trama del argumento Bring radical for real

En álgebra , el radical o ultraradical de un número real  a es la única raíz real del polinomio.

$${\displaystyle x^{5}+x+a.}$$

El radical Bring de un número complejo a es cualquiera de las cinco raíces del polinomio anterior (por lo tanto, tiene varios valores ), o una raíz específica, que generalmente se elige de manera que el radical Bring tenga un valor real para a real y es una función analítica en una vecindad de la recta real. Debido a la existencia de cuatro puntos de ramificación , el radical Bring no puede definirse como una función continua en todo el plano complejo , y su dominio de continuidad debe excluir cuatro cortes de ramificación .

George Jerrard demostró que algunas ecuaciones quínticas se pueden resolver en forma cerrada utilizando radicales y radicales Bring, que habían sido introducidos por Erland Bring .

En este artículo, se denota el radical Bring de a . Para un argumento real, es impar, monótonamente decreciente e ilimitado, con comportamiento asintótico para valores grandes . ${\displaystyle \operatorname {BR} (a).}$ ${\displaystyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}}$ ${\displaystyle a}$

Formas normales

Es bastante difícil obtener soluciones directas para la ecuación quíntica, con cinco coeficientes independientes en su forma más general:

$${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$

Los diversos métodos para resolver la quíntica que se han desarrollado generalmente intentan simplificar la quíntica utilizando transformaciones de Tschirnhaus para reducir el número de coeficientes independientes.

Forma quíntica principal

La quíntica general se puede reducir a lo que se conoce como forma quíntica principal , eliminando los términos cuártico y cúbico:

$${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$$

Si las raíces de una quíntica general y una quíntica principal están relacionadas mediante una transformación cuadrática de Tschirnhaus

$${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$$

resultantesumas de potencias de las raíceslas identidades de Newton^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Esta forma es utilizada por la solución de Felix Klein a la quíntica. ^[2]

Trae la forma normal de Jerrard

Es posible simplificar aún más la quíntica y eliminar el término cuadrático, produciendo la forma normal de Bring-Jerrard :

$${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}$$

TschirnhausBring

$${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$$

El parámetro adicional que proporciona esta transformación de cuarto orden permitió a Bring disminuir los grados de los otros parámetros. Esto conduce a un sistema de cinco ecuaciones con seis incógnitas, que luego requiere la solución de una ecuación cúbica y una cuadrática. Este método también fue descubierto por Jerrard en 1852, ^[3] pero es probable que desconociera el trabajo previo de Bring en esta área. ^{[1] (págs. 92–93)} La transformación completa se puede lograr fácilmente utilizando un paquete de álgebra informática como Mathematica ^[4] o Maple . ^[5] Como podría esperarse de la complejidad de estas transformaciones, las expresiones resultantes pueden ser enormes, particularmente si se comparan con las soluciones en radicales para ecuaciones de grado inferior, ocupando muchos megabytes de almacenamiento para una quíntica general con coeficientes simbólicos. ^[4]

Considerada como una función algebraica, las soluciones de

$${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$

d ₁d ₀

$${\displaystyle z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}}$$

$${\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}$$

a z ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}$

Se obtiene una forma alternativa configurando de modo que donde . Esta forma se utiliza para definir el radical Bring a continuación. ${\displaystyle u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}}$ ${\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ ${\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}$

Forma normal de Brioschi

Existe otra forma normal de un parámetro para la ecuación quíntica, conocida como forma normal de Brioschi.

$${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}$$

$${\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$

esfera de Riemannsimetría icosaédricasimetría tetraédrica^[6] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Esta transformación de Tschirnhaus es bastante más simple que la difícil utilizada para transformar una quíntica principal en la forma Bring-Jerrard. Esta forma normal es utilizada por el método de iteración de Doyle-McMullen y el método de Kiepert.

Representación en serie

Se puede derivar una serie de Taylor para radicales Bring, así como una representación en términos de funciones hipergeométricas , de la siguiente manera. La ecuación se puede reescribir como Al establecer la solución deseada, ya que es impar. ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$ ${\displaystyle x^{5}+x=-a.}$ ${\displaystyle f(x)=x^{5}+x,}$ ${\displaystyle x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f(x)}$

La serie para puede obtenerse entonces invirtiendo la serie de Taylor para (que es simplemente ), dando ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x+x^{5}}$

$${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}$$

OEISradio de convergencia ${\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.}$

En forma hipergeométrica , el radical Bring se puede escribir como ^[4]

$${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}$$

Puede ser interesante comparar con las funciones hipergeométricas que surgen a continuación en la derivación de Glasser y el método de resolutores diferenciales.

Solución de la quíntica general.

Las raíces del polinomio.

$${\displaystyle x^{5}+px+q}$$

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)}$$

conjugados^{[ cita necesaria ]}

Otras caracterizaciones

Se han desarrollado muchas otras caracterizaciones del radical Bring, la primera de las cuales es en términos de "trascendentes elípticas" (relacionadas con funciones elípticas y modulares ) por Charles Hermite en 1858, y otros métodos desarrollados posteriormente por otros matemáticos.

La caracterización de Hermite-Kronecker-Brioschi

En 1858, Charles Hermite ^[7] publicó la primera solución conocida a la ecuación quíntica general en términos de "trascendentes elípticas", y aproximadamente al mismo tiempo Francesco Brioschi ^[8] y Leopold Kronecker ^[9] encontraron soluciones equivalentes. Hermite llegó a esta solución generalizando la conocida solución de la ecuación cúbica en términos de funciones trigonométricas y encuentra la solución de una quíntica en forma de Bring-Jerrard:

$${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

al que se puede reducir cualquier ecuación quíntica mediante transformaciones de Tschirnhaus, como se ha demostrado. Observó que las funciones elípticas tenían un papel análogo que desempeñar en la solución de la quíntica de Bring-Jerrard al que tenían las funciones trigonométricas para la cúbica. Para y escríbalos como integrales elípticas completas de primer tipo : ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K',}$

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$

$${\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$$

$${\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}$$

^{[nota 1]}

$${\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$

$${\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}$$

^{[nota 2]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}$$

Si n es un número primo , podemos definir dos valores y de la siguiente manera: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$

$${\displaystyle v=\varphi (\tau )}$$

Cuando n es un primo impar, los parámetros y están unidos por una ecuación de grado n  + 1 in , ^{[nota 3]} , conocida como ecuación modular , cuyas raíces en están dadas por: ^{[10] [nota 4]} ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle u=\varphi (n\tau )}$$

$${\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}$$

módulo de residuo cuadrático n^{[nota 5]}n^[11] ${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}$

$${\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}$$

${\displaystyle u}$

La ecuación modular con puede estar relacionada con la quíntica de Bring-Jerrard mediante la siguiente función de las seis raíces de la ecuación modular (En Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré de Hermite , el primer factor es incorrectamente dado como ): ^[12] ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]}$

$${\displaystyle \Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]}$$

Alternativamente, la fórmula ^[13]

$${\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}$$

^[14] ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}$ ${\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}$

Las cinco cantidades , , , , son las raíces de una ecuación quíntica con coeficientes racionales en : ^[15] ${\displaystyle \Phi (\tau )}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +16)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +32)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +48)}$ ${\displaystyle \Phi (\tau +64)}$ ${\displaystyle \varphi (\tau )}$

$${\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$

$${\displaystyle \Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}$$

$${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

El método de Hermite-Kronecker-Brioschi equivale entonces a encontrar un valor de que corresponda al valor de y luego usar ese valor de para obtener las raíces de la ecuación modular correspondiente. Podemos usar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar a partir de la ecuación (*) (es decir, calcular una inversa parcial de ). Elevar al cuadrado (*) da una cuarta únicamente en (usando ). Cada solución (en ) de (*) es una solución de cuarto, pero no todas las soluciones de cuarto son una solución de (*). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}$ ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \tau }$

Las raíces de la quintica de Bring-Jerrard vienen dadas por:

$${\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$

${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

Un enfoque alternativo, "integral", es el siguiente:

Considere dónde entonces ${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

$${\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}$$

$${\displaystyle a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$

$${\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}$$

$${\displaystyle A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.}$$

Las raíces de la ecuación (**) son:

$${\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}$$

^{[13][6] [7]} ${\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}$ ${\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}$ ${\displaystyle k}$

Las raíces de la quintica de Bring-Jerrard vienen dadas por:

$${\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}$$

${\displaystyle r=0,\ldots ,4}$

Se puede observar que este proceso utiliza una generalización de la raíz enésima , que puede expresarse como:

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}$$

fórmula de Thomae^[16]formas modulares de Siegelintegral hiperelíptica ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ ${\displaystyle \exp }$

Derivación de Glasser

Esta derivación debida a M. Lawrence Glasser ^[17] generaliza el método de series presentado anteriormente en este artículo para encontrar una solución a cualquier ecuación trinomial de la forma:

$${\displaystyle x^{N}-x+t=0}$$

En particular, la ecuación quíntica se puede reducir a esta forma mediante el uso de transformaciones de Tschirnhaus como se muestra arriba. Sea , la forma general se convierte en: ${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$

$${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}$$

$${\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}$$

Una fórmula de Lagrange establece que para cualquier función analítica , en la vecindad de una raíz de la ecuación general transformada en términos de , lo anterior puede expresarse como una serie infinita : ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle \zeta \,}$

$${\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}}$$

Si dejamos entrar esta fórmula, podemos llegar a la raíz: ${\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}$

$${\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}$$

$${\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}$$

Mediante el uso del teorema de la multiplicación de Gauss, la serie infinita anterior se puede dividir en una serie finita de funciones hipergeométricas :

$${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$$

$${\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}$$

$${\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}$$

y el trinomio de la forma tiene raíces

$${\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}$$

$${\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}$$

Por tanto, una raíz de la ecuación se puede expresar como la suma de, como máximo, funciones hipergeométricas. Aplicando este método a la quíntica reducida de Bring-Jerrard, defina las siguientes funciones: ${\displaystyle N-1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}$$

Este es esencialmente el mismo resultado que el obtenido mediante el siguiente método.

El método de los solventes diferenciales.

James Cockle ^[18] y Robert Harley ^[19] desarrollaron, en 1860, un método para resolver la quíntica mediante ecuaciones diferenciales. Consideran las raíces como funciones de los coeficientes y calculan un resolutor diferencial basado en estas ecuaciones. La quintica de Bring-Jerrard se expresa como una función:

$${\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}$$

${\displaystyle \,\phi (a)\,}$

$${\displaystyle f[\phi (a)]=0}$$

La función también debe satisfacer las siguientes cuatro ecuaciones diferenciales: ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}$$

Expandirlos y combinarlos produce el resolutivo diferencial:

$${\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}$$

La solución del resolutivo diferencial, al ser una ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden, depende de cuatro constantes de integración , que deben elegirse de manera que satisfagan la quíntica original. Esta es una ecuación diferencial ordinaria fucsiana de tipo hipergeométrico, ^[20] cuya solución resulta ser idéntica a la serie de funciones hipergeométricas que surgieron en la derivación de Glasser anterior. ^[5]

Este método también puede generalizarse a ecuaciones de grado arbitrariamente alto, con resolutores diferenciales que son ecuaciones diferenciales parciales , cuyas soluciones involucran funciones hipergeométricas de varias variables. ^{[21] [22]} La fórmula de suma de potencias de Nahay proporciona una fórmula general para resoluciones diferenciales de polinomios univariados arbitrarios. ^{[23] [24]}

Iteración de Doyle-McMullen

En 1989, Peter Doyle y Curt McMullen derivaron un método de iteración ^[25] que resuelve una quíntica en forma normal de Brioschi:

$${\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}$$

1. Colocar ${\displaystyle Z=1-1728C}$
2. Calcular la función racional
   $${\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}$$
   donde es una función polinómica dada a continuación, y es la derivada de con respecto a ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g(Z,w)}$ ${\displaystyle w}$
3. Itere sobre una suposición inicial aleatoria hasta que converja. Llame al punto límite y deje . ${\displaystyle T_{Z}[T_{Z}(w)]}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
4. Calcular
   $${\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}$$
   donde es una función polinómica dada a continuación. Haga esto para ambos y . ${\displaystyle h(Z,w)}$ ${\displaystyle w_{1}\,}$ ${\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}$
5. Finalmente, calcule
   $${\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}$$
   para yo = 1, 2 . Estas son dos de las raíces de la quíntica de Brioschi.

Las dos funciones polinómicas y son las siguientes: ${\displaystyle g(Z,w)\,}$ ${\displaystyle h(Z,w)\,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}$$

Este método de iteración produce dos raíces de la quíntica. Las tres raíces restantes se pueden obtener usando división sintética para dividir las dos raíces, produciendo una ecuación cúbica. Debido a la forma en que se formula la iteración, este método parece encontrar siempre dos raíces conjugadas complejas de la quíntica incluso cuando todos los coeficientes quínticos son reales y la suposición inicial es real. Este método de iteración se deriva de las simetrías del icosaedro y está estrechamente relacionado con el método que Felix Klein describe en su libro. ^[2]

Ver también

• Teoría de ecuaciones

Referencias

Notas

1. y estas funciones están relacionadas con las funciones theta de Jacobi por y ${\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}$ ${\displaystyle \psi (\tau )=\varphi (-1/\tau ).}$ ${\displaystyle \varphi ^{2}(\tau )=\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau )}$ ${\displaystyle \psi ^{2}(\tau )=\vartheta _{01}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ).}$
2. Los coeficientes de las expansiones de la serie de Fourier se dan de la siguiente manera: Si y , entonces y donde , , , , , , , y las secuencias y son periódicas. ${\textstyle \varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle \psi (\tau )=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}'e^{j\pi i\tau }}$ ${\textstyle c_{n}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}\right)c_{n-k}\right)}$ ${\textstyle c_{n}'={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}'+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}'\right)c_{n-k}'\right)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle c_{0}=c_{0}'=1}$ ${\displaystyle a_{1}=-1}$ ${\displaystyle a_{2}=2}$ ${\displaystyle a_{3}=-1}$ ${\displaystyle a_{4}=0}$ ${\displaystyle a_{1}'=-2}$ ${\displaystyle a_{2}'=1}$ ${\displaystyle a_{3}'=-2}$ ${\displaystyle a_{4}'=0}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle (a')}$ ${\displaystyle 4}$
3. Cuando n = 2, los parámetros están vinculados por una ecuación de grado 8 en . ${\displaystyle u}$
4. Algunas referencias definen y Luego, la ecuación modular se resuelve y tiene las raíces y ${\displaystyle u=\varphi (\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi (n\tau ).}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v=\varepsilon (n)\varphi (n\tau )}$ ${\displaystyle v=\varphi [(\tau +16m)/n].}$
5. De manera equivalente (por la ley de reciprocidad cuadrática ). ${\displaystyle \varepsilon (n)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}}$

Otro

1. Adamchik, Víctor (2003). "Transformaciones polinómicas de Tschirnhaus, Bring y Jerrard" (PDF) . Boletín ACM SIGSAM . 37 (3): 91. CiteSeerX 10.1.1.10.9463 . doi :10.1145/990353.990371. S2CID  53229404. Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2009. 
2. Klein, Félix (1888). Conferencias sobre el Icosaedro y la Solución de Ecuaciones de Quinto Grado. Trübner & Co. ISBN 978-0-486-49528-6.
3. Jerrard, George Birch (1859). Un ensayo sobre la resolución de ecuaciones. Londres, Reino Unido: Taylor y Francis .
4. "Resolver la quíntica con Mathematica". Investigación Wolfram . Archivado desde el original el 1 de julio de 2014.
5. Drociuk, Richard J. (2000). "Sobre la solución completa del polinomio de quinto grado más general". arXiv : math.GM/0005026 .
6. Rey, R. Bruce (1996). Más allá de la ecuación de cuarto grado . Birkhäuser. págs.131. ISBN 978-3-7643-3776-6.
7. Hermite, Charles (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del quinto grado". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 508–515.
8. Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Yo : 275–282.
9. Kronecker, Leopold (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 1150-1152.
10. Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience . ISBN 0-471-83138-7.pag. 126. Tenga en cuenta que si y si . Hay un error tipográfico en la página: debería estar en su lugar. ${\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=\Omega _{p}(v,u)}$ ${\displaystyle p\equiv \pm 1{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=-\Omega _{p}(v,-u)}$ ${\displaystyle p\equiv \pm 3{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle k=0,2,\ldots ,p-1}$ ${\displaystyle k=0,1,2\ldots ,p-1}$
11. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. pag. 127.ISBN​ 0-471-83138-7.La tabla muestra : Igualándolo a cero y multiplicando por se obtiene la ecuación de este artículo. ${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{5}(u,v)=&-u^{6}+4u^{5}v^{5}-5u^{4}v^{2}+5u^{2}v^{4}\\&-4uv+v^{6}.\end{aligned}}}$ ${\displaystyle -1}$
12. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 135
13. Davis, Harold T. (1962). Introducción a las ecuaciones diferenciales e integrales no lineales . Dover. págs.173. ISBN 978-0-486-60971-3.
14. Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré de Hermite ( 1859), p. 7
15. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 136
16. Umemura, Hiroshi (2007). "Resolución de ecuaciones algebraicas mediante constantes theta". En Mumford, David (ed.). Conferencias Tata sobre Theta II . Clásicos modernos de Birkhäuser. Boston, MA: Birkhäuser. págs. 261-270. doi :10.1007/978-0-8176-4578-6_18. ISBN 9780817645694.
17. Glasser, M. Lawrence (1994). "La fórmula cuadrática complicada: un enfoque menos radical para resolver ecuaciones". arXiv : math.CA/9411224 .
18. Berberecho, James (1860). "Bosquejo de una teoría de las raíces trascendentales". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 20 (131): 145-148. doi :10.1080/14786446008642921.
19. Harley, Robert (1862). "Sobre la solución trascendental de ecuaciones algebraicas". Cuarto de galón. J. Aplicación pura. Matemáticas . 5 : 337–361.
20. Pizarrero, Lucy Joan (1966). Funciones Hipergeométricas Generalizadas . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 42–44. ISBN 978-0-521-06483-5.
21. Birkeland, Richard (1927). "Über die Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen" [Sobre la solución de ecuaciones algebraicas mediante funciones hipergeométricas]. Mathematische Zeitschrift (en alemán). 26 : 565–578. doi :10.1007/BF01475474. S2CID  120762456 . Consultado el 1 de julio de 2017 .
22. Mayr, Karl (1937). "Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen". Monatshefte für Mathematik und Physik . 45 : 280–313. doi :10.1007/BF01707992. S2CID  197662587.
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24. Nahay, Juan (2000). Resolventes diferenciales lineales (tesis doctoral). Piscataway, Nueva Jersey: Universidad de Rutgers.Richard M. Cohn, asesor.
25. Doyle, Pedro; McMullen, Curt (1989). "Resolver la quíntica por iteración" (PDF) . Acta Matemática . 163 : 151–180. doi : 10.1007/BF02392735 . S2CID  14827783.

Fuentes

• Mirzaei, Raoof (2012). Spinores y funciones especiales para resolver ecuaciones de enésimo grado . Simposio Internacional de Matemática.
• Klein, F. (1888). Conferencias sobre el Icosaedro y la Solución de Ecuaciones de Quinto Grado. Traducido por Morrice, George Gavin. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
• Rey, R. Bruce (1996). Más allá de la ecuación de cuarto grado . Birkhäuser. ISBN 3-7643-3776-1.
• Davis, Harold T. (1962). Introducción a las ecuaciones diferenciales e integrales no lineales . Dover. Capítulo 6, especialmente §20 y §21. ISBN 0-486-60971-5.

enlaces externos

• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Transformación de Tschirnhausen", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Bring-Jerrard Quintic Form". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Traer forma quíntica". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Ultraradical". MundoMatemático .