En teoría de números , un número superperfecto es un entero positivo n que satisface
donde σ es la función sumatoria divisoria . Los números superperfectos no son una generalización de los números perfectos , sino que tienen una generalización común. El término fue acuñado por D. Suryanarayana (1969). [1]
Los primeros números superperfectos son:
Para ilustrarlo: se puede ver que 16 es un número superperfecto ya que σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 , y σ(31) = 1 + 31 = 32 , por lo tanto σ(σ(16)) = 32 = 2 × 16 .
Si n es un número superperfecto par , entonces n debe ser una potencia de 2 , 2 k , tal que 2 k +1 − 1 es un primo de Mersenne . [1] [2]
No se sabe si existen números impares superperfectos. Un número impar superperfecto n tendría que ser un número cuadrado tal que n o σ ( n ) sea divisible por al menos tres primos distintos. [2] No existen números impares superperfectos inferiores a 7 × 1024 . [1]
Los números perfectos y superperfectos son ejemplos de la clase más amplia de números m -superperfectos, que satisfacen
correspondientes a m = 1 y 2 respectivamente. Para m ≥ 3 no hay números m -superperfectos pares. [1]
Los números m -superperfectos son a su vez ejemplos de números ( m , k )-perfectos que satisfacen [3]
Con esta notación, los números perfectos son (1,2)-perfectos, los números multiperfectos son (1, k )-perfectos, los números superperfectos son (2,2)-perfectos y los números m -superperfectos son ( m ,2)-perfectos. [4] Ejemplos de clases de números ( m , k )-perfectos son:
