wilson prima

tipo de numero primo

En teoría de números , un primo de Wilson es un número primo que divide , donde " " denota la función factorial ; compárese esto con el teorema de Wilson , que establece que todo primo se divide . Ambos llevan el nombre del matemático inglés del siglo XVIII John Wilson ; en 1770, Edward Waring atribuyó el teorema a Wilson, ^[1] aunque había sido expuesto siglos antes por Ibn al-Haytham . ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle (p-1)!+1}$ ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p-1)!+1}$

Los únicos primos de Wilson conocidos son 5 , 13 y 563 (secuencia A007540 en la OEIS ). Costa et al. escriba que "el caso es trivial" y dé crédito a Mathews (1892) por la observación de que 13 es un primo de Wilson. ^{[3] [4]} Los primeros trabajos sobre estos números incluyeron búsquedas realizadas por NGWH Beeger y Emma Lehmer , ^{[5] [3] [6]} pero 563 no se descubrió hasta principios de la década de 1950, cuando se pudieron aplicar búsquedas por computadora al problema. ^{[3] [7] [8]} Si existen otros, deben ser mayores que 2 × 10 ¹³ . ^[3] Se ha conjeturado que existen infinitos números primos de Wilson, y que el número de números primos de Wilson en un intervalo es aproximadamente . ^[9] ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \log \log _{x}y}$

Se han realizado varias búsquedas informáticas con la esperanza de encontrar nuevos primos de Wilson. ^{[10] [11] [12]} El proyecto de computación distribuida de Ibercivis incluye una búsqueda de números primos de Wilson. ^[13] Se coordinó otra búsqueda en el foro Great Internet Mersenne Prime Search . ^[14]

Generalizaciones

Primos de Wilson de orden n

El teorema de Wilson se puede expresar en general para todo número entero y primo . Los primos de Wilson generalizados de orden n son los primos p tales que dividen . ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p\geq n}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}}$

Se conjeturó que para cada número natural n , hay infinitos primos de Wilson de orden n .

Los primos de orden de Wilson generalizados más pequeños son: ${\displaystyle n}$

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (El siguiente término > 1,4 × 10 ⁷ ) (secuencia A128666 en el OEIS )

Primos cercanos a Wilson

Un primo que satisface la congruencia con pequeño puede denominarse primo cercano a Wilson . Los primos cercanos a Wilson son primos de Wilson auténticos. La tabla de la derecha enumera todos los primos con partir de 10 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle |B|\leq 100}$⁶ hasta 4 × 10¹¹ . ^[3]

números de wilson

Un número de Wilson es un número natural tal que , donde ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})}$

$${\displaystyle W(n)=\pm 1+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k},}$$

si y sólo siraíz primitiva^[15]cocientes de WilsonOEIS : A157249 ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle n}$

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... (secuencia A157250 en el OEIS )

Si un número de Wilson es primo, entonces es primo de Wilson. Hay 13 números de Wilson hasta 5 × 10 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$⁸ . ^[dieciséis]

Ver también

• PrimeGrid
• Tabla de congruencias
• Pared-Sol-Sol principal
• Wieferich principal
• Wolstenholme prima

Referencias

1. Edward Waring, Meditationes Algebraicae (Cambridge, Inglaterra: 1770), página 218 (en latín). En la tercera edición (1782) de Meditationes Algebraicae de Waring , el teorema de Wilson aparece como el problema 5 en la página 380. En esa página, Waring afirma: "Hanc maxime elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Joannes Wilson Armiger". (Un hombre muy ilustre y hábil en matemáticas, el escudero John Wilson, descubrió esta elegante propiedad de los números primos.)
2. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham". Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . Universidad de San Andrés .
3. Costa, Edgar; Gerbicz, Robert; Harvey, David (2014). "Una búsqueda de números primos de Wilson". Matemáticas de la Computación . 83 (290): 3071–3091. arXiv : 1209.3436 . doi :10.1090/S0025-5718-2014-02800-7. SEÑOR  3246824. S2CID  6738476.
4. Mathews, George Ballard (1892). "Ejemplo 15". Teoría de los números, parte 1. Deighton y Bell. pag. 318.
5. Lehmer, Emma (abril de 1938). "Sobre congruencias que involucran números de Bernoulli y los cocientes de Fermat y Wilson" (PDF) . Anales de Matemáticas . 39 (2): 350–360. doi :10.2307/1968791. JSTOR  1968791 . Consultado el 8 de marzo de 2011 .
6. Beeger, NGWH (1913-1914). "Quelques remarques sur les congruences et ". El Mensajero de las Matemáticas . 43 : 72–84. ${\displaystyle r^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$ ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$
7. Wall, DD (octubre de 1952). «Tablas matemáticas inéditas» (PDF) . Tablas matemáticas y otras ayudas a la computación . 6 (40): 238. doi : 10.2307/2002270. JSTOR  2002270.
8. Goldberg, Karl (1953). "Una tabla de cocientes de Wilson y el tercer primo de Wilson". J. Matemáticas de Londres. Soc. 28 (2): 252–256. doi :10.1112/jlms/s1-28.2.252.
9. El glosario Prime: Wilson Prime
10. McIntosh, R. (9 de marzo de 2004). "ESTADO DE WILSON (febrero de 1999)". Correo electrónico a Paul Zimmermann . Consultado el 6 de junio de 2011 .
11. Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomerancia, Carl (1997). "Una búsqueda de números primos de Wieferich y Wilson". Matemáticas. Computación . 66 (217): 433–449. Código Bib : 1997MaCom..66..433C. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00791-6 .Ver pág. 443.
12. Ribenboim, P .; Keller, W. (2006). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (en alemán). Berlín Heidelberg Nueva York: Springer. pag. 241.ISBN​ 978-3-540-34283-0.
13. "Sitio de Ibercivis". Archivado desde el original el 20 de junio de 2012 . Consultado el 10 de marzo de 2011 .
14. Búsqueda distribuida de números primos de Wilson (en mersenneforum.org)
15. ver la generalización de Gauss del teorema de Wilson
16. Agoh, Takashi; Dilcher, Karl; Skula, Ladislav (1998). "Cocientes de Wilson para módulos compuestos" (PDF) . Matemáticas. Computación . 67 (222): 843–861. Código Bib : 1998MaCom..67..843A. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00951-X .

Otras lecturas

• Crandall, Richard E.; Pomerancia, Carl (2001). Números primos: una perspectiva computacional . Springer-Verlag. pag. 29.ISBN​ 978-0-387-94777-8.
• Pearson, Erna H. (1963). "¡Sobre las congruencias (p − 1)! ≡ −1 y 2p−1 ≡ 1 (mod p2)" (PDF) . Matemáticas. Computación . 17 : 194-195.

enlaces externos

• El glosario Prime: Wilson Prime
• Weisstein, Eric W. "Wilson principal". MundoMatemático .
• Estado de la búsqueda de números primos de Wilson