Número de Fermat

Entero positivo de la forma (2^(2^n))+1

En matemáticas , un número de Fermat , llamado así en honor a Pierre de Fermat , el primero que se sabe que los estudió, es un número entero positivo de la forma

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

donde n es un número entero no negativo . Los primeros números de Fermat son:

3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , 4294967297, 18446744073709551617, ... (secuencia A000215 en el OEIS ).

Si 2 ^k + 1 es primo y k > 0 , entonces k mismo debe ser una potencia de 2, por lo que 2 ^k + 1 es un número de Fermat; Estos primos se llaman primos de Fermat . A partir de 2023 ^[actualizar], los únicos primos de Fermat conocidos son F ₀ = 3 , F ₁ = 5 , F ₂ = 17 , F ₃ = 257 y F ₄ = 65537 (secuencia A019434 en el OEIS ).

Propiedades básicas

Los números de Fermat satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia :

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

para norte ≥ 1,

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

para norte ≥ 2 . Cada una de estas relaciones puede demostrarse mediante inducción matemática . De la segunda ecuación, podemos deducir el teorema de Goldbach (llamado así por Christian Goldbach ): no hay dos números de Fermat que compartan un factor entero común mayor que 1 . Para ver esto, supongamos que 0 ≤ i < j y F _i y F _j tienen un factor común a > 1 . Entonces un divide ambos

${\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}}$

y Fj ; _{_} por lo tanto, a divide su diferencia, 2. Dado que a > 1 , esto obliga a a = 2 . Esto es una contradicción , porque cada número de Fermat es claramente impar. Como corolario , obtenemos otra prueba de la infinitud de los números primos: para cada F _n , elegir un factor primo p _n ; entonces la secuencia { p _n } es una secuencia infinita de números primos distintos.

Otras propiedades

• Ningún primo de Fermat puede expresarse como la diferencia de dos p -ésimas potencias, donde p es un primo impar.
• Con excepción de F ₀ y F ₁ , el último dígito de un número de Fermat es 7.
• La suma de los recíprocos de todos los números de Fermat (secuencia A051158 en la OEIS ) es irracional . ( Salomón W. Golomb , 1963)

Primalidad

Los números de Fermat y los números primos de Fermat fueron estudiados por primera vez por Pierre de Fermat, quien conjeturó que todos los números de Fermat son primos. De hecho, se demuestra fácilmente que los primeros cinco números de Fermat F ₀ , ..., F ₄ son primos. La conjetura de Fermat fue refutada por Leonhard Euler en 1732 cuando demostró que

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417.}$

Euler demostró que cada factor de F _n debe tener la forma k  2 ^{n +1} + 1 (posteriormente mejorada a k  2 ^{n +2} + 1 por Lucas ) para n ≥ 2 .

Que 641 es factor de F ₅ se puede deducir de las igualdades 641 = 2 ⁷  × 5 + 1 y 641 = 2 ⁴  + 5 ⁴ . De la primera igualdad se deduce que 2 ⁷  × 5 ≡ −1 (mod 641) y por tanto (elevada a la cuarta potencia) que 2 ²⁸  × 5 ⁴  ≡ 1 (mod 641). Por otro lado, la segunda igualdad implica que 5 ⁴  ≡ −2 ⁴  (mod 641). Estas congruencias implican que 2 ³²  ≡ −1 (mod 641).

Fermat probablemente era consciente de la forma de los factores que Euler demostró más tarde, por lo que parece curioso que no cumpliera con el sencillo cálculo para encontrar el factor. ^[1] Una explicación común es que Fermat cometió un error de cálculo.

No se conocen otros primos de Fermat F _n con n > 4 , pero se sabe poco sobre los números de Fermat para n grande . ^[2] De hecho, cada uno de los siguientes es un problema abierto:

• ¿ F _n es compuesto para todo n > 4 ?
• ¿Existen infinitos números primos de Fermat? ( Eisenstein 1844 ^[3] )
• ¿Existen infinitos números de Fermat compuestos?
• ¿Existe un número de Fermat que no esté libre de cuadrados ?

A partir de 2014 ^[actualizar], se sabe que F _n es compuesto para 5 ≤ n ≤ 32 , aunque de estos, las factorizaciones completas de F _n solo se conocen para 0 ≤ n ≤ 11 , y no hay factores primos conocidos para n = 20 y norte = 24 . ^[4] El mayor número de Fermat compuesto que se sabe es F _18233954 , y su factor primo 7 × 2 ^18233956 + 1 se descubrió en octubre de 2020.

Argumentos heurísticos

La heurística sugiere que F ₄ es el último primo de Fermat.

El teorema de los números primos implica que un entero aleatorio en un intervalo adecuado alrededor de N es primo con probabilidad 1  /  ln N. Si se utiliza la heurística de que un número de Fermat es primo con la misma probabilidad que un entero aleatorio de su tamaño, y que F ₅ , ..., F ₃₂ son compuestos, entonces el número esperado de primos de Fermat más allá de F ₄ (o equivalentemente , más allá de F ₃₂ ) debe ser

${\displaystyle \sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\ln F_{n}}}<{\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n\geq 33}{\frac {1}{\log _{2}(2^{2^{n}})}}={\frac {1}{\ln 2}}2^{-32}<3.36\times 10^{-10}.}$

Se puede interpretar este número como un límite superior de la probabilidad de que exista un primo de Fermat más allá de F ₄ .

Este argumento no es una prueba rigurosa. Por un lado, se supone que los números de Fermat se comportan "al azar", pero los factores de los números de Fermat tienen propiedades especiales. Boklan y Conway publicaron un análisis más preciso que sugiere que la probabilidad de que exista otro primo de Fermat es inferior a una entre mil millones. ^[5]

Anders Bjorn y Hans Riesel estimaron el número de factores cuadrados de los números de Fermat desde F ₅ en adelante como

${\displaystyle \sum _{n\geq 5}\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k(k2^{n}+1)\ln(k2^{n})}}<{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}\sum _{n\geq 5}{\frac {1}{n2^{n}}}\approx 0.02576;}$

en otras palabras, es poco probable que haya números de Fermat que no estén libres de cuadrados y, en general, los factores cuadrados de son muy raros para n grandes . ^[6] ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$

Condiciones equivalentes

Sea el enésimo número de Fermat. La prueba de Pépin establece que para n > 0 , ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

${\displaystyle F_{n}}$es primo si y solo si ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}$

La expresión se puede evaluar módulo elevando al cuadrado repetidamente . Esto hace que la prueba sea un algoritmo rápido de tiempo polinomial . Pero los números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo un puñado de ellos pueden probarse en un tiempo y espacio razonables. ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Existen algunas pruebas para números de la forma k  2 ^m + 1 , como factores de números de Fermat, para determinar la primalidad.

Teorema de Proth (1878). Sea N = k  2 ^m + 1 con k impar < 2 ^m . Si hay un número entero a tal que

${\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}}$

entonces es primo. Por el contrario, si la congruencia anterior no se cumple, y además ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{N}}\right)=-1}$(Ver símbolo de Jacobi )

entonces es compuesto. ${\displaystyle N}$

Si N = F _n > 3 , entonces el símbolo de Jacobi anterior siempre es igual a −1 para a = 3 , y este caso especial del teorema de Proth se conoce como prueba de Pépin . Aunque la prueba de Pépin y el teorema de Proth se han implementado en computadoras para demostrar la composición de algunos números de Fermat, ninguna de las pruebas proporciona un factor no trivial específico. De hecho, no se conocen factores primos específicos para n = 20 y 24.

Factorización

Debido al tamaño de los números de Fermat, es difícil factorizar o incluso comprobar la primalidad. La prueba de Pépin proporciona una condición necesaria y suficiente para la primalidad de los números de Fermat y puede implementarse mediante computadoras modernas. El método de la curva elíptica es un método rápido para encontrar pequeños divisores primos de números. El proyecto de computación distribuida Fermatsearch ha encontrado algunos factores de los números de Fermat. El proth.exe de Yves Gallot se ha utilizado para encontrar factores de números grandes de Fermat. Édouard Lucas , mejorando el resultado antes mencionado de Euler, demostró en 1878 que cada factor del número de Fermat , con n al menos 2, tiene la forma (ver Número de Proth ), donde k es un entero positivo. Por sí solo, esto hace que sea fácil demostrar la primalidad de los primos de Fermat conocidos. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle k\times 2^{n+2}+1}$

Las factorizaciones de los primeros doce números de Fermat son:

A abril de 2023 ^[update], solo se han factorizado completamente F ₀ a F ₁₁ . ^[4] El proyecto de computación distribuida Fermat Search busca nuevos factores de los números de Fermat. ^[8] El conjunto de todos los factores de Fermat es A050922 (o, ordenado, A023394) en OEIS .

Los siguientes factores de los números de Fermat se conocían antes de 1950 (desde entonces, las computadoras digitales han ayudado a encontrar más factores):

En julio de 2023 ^[update], se conocen 368 factores primos de los números de Fermat y 324 números de Fermat son compuestos. ^[4] Cada año se encuentran varios factores Fermat nuevos. ^[9]

Pseudoprimos y números de Fermat

Al igual que los números compuestos de la forma 2 ^p − 1, cada número compuesto de Fermat es un pseudoprimo fuerte de base 2. Esto se debe a que todos los pseudoprimos fuertes de base 2 también son pseudoprimos de Fermat , es decir,

${\displaystyle 2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}}$

para todos los números Fermat.

En 1904, Cipolla demostró que el producto de al menos dos números primos o compuestos de Fermat distintos será un pseudoprimo de Fermat en base 2 si y sólo si . ^[10] ${\displaystyle F_{a}F_{b}\dots F_{s},}$ ${\displaystyle a>b>\dots >s>1}$ ${\displaystyle 2^{s}>a}$

Otros teoremas sobre los números de Fermat

Lema.  —  Si n es un número entero positivo,

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}.}$

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}&=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}\\&=a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}}$

Teorema  :  si es un primo impar, entonces es una potencia de 2. ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Prueba

Si es un número entero positivo pero no una potencia de 2, debe tener un factor primo impar y podemos escribir dónde . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s>2}$ ${\displaystyle k=rs}$ ${\displaystyle 1\leq r<k}$

Por el lema anterior, para entero positivo , ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (a-b)\mid (a^{m}-b^{m})}$

donde significa "divide uniformemente". Sustituir y usar eso es extraño, ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle a=2^{r},b=-1}$ ${\displaystyle m=s}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{rs}+1),}$

y por lo tanto

${\displaystyle (2^{r}+1)\mid (2^{k}+1).}$

Porque se deduce que no es primo. Por tanto, por contraposición debe ser una potencia de 2. ${\displaystyle 1<2^{r}+1<2^{k}+1}$ ${\displaystyle 2^{k}+1}$ ${\displaystyle k}$

Teorema  :  un primo de Fermat no puede ser un primo de Wieferich .

Prueba

Demostramos que si es un primo de Fermat (y por lo tanto, por lo anterior, m es una potencia de 2), entonces la congruencia no se cumple. ${\displaystyle p=2^{m}+1}$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\bmod {p^{2}}}}$

Ya que podemos escribir . Si la congruencia dada se cumple, entonces y por lo tanto ${\displaystyle 2m|p-1}$ ${\displaystyle p-1=2m\lambda }$ ${\displaystyle p^{2}|2^{2m\lambda }-1}$

${\displaystyle 0\equiv {\frac {2^{2m\lambda }-1}{2^{m}+1}}=(2^{m}-1)\left(1+2^{2m}+2^{4m}+\cdots +2^{2(\lambda -1)m}\right)\equiv -2\lambda {\pmod {2^{m}+1}}.}$

Por eso y por lo tanto . Esto lleva a , lo cual es imposible desde . ${\displaystyle 2^{m}+1|2\lambda }$ ${\displaystyle 2\lambda \geq 2^{m}+1}$ ${\displaystyle p-1\geq m(2^{m}+1)}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Teorema  ( Édouard Lucas )  :  cualquier divisor primo p de tiene la forma siempre que n > 1 . ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle k2^{n+2}+1}$

Bosquejo de prueba

Sea G _p el grupo de enteros distintos de cero módulo p bajo la multiplicación , que tiene orden p − 1 . Observe que 2 (estrictamente hablando, su imagen módulo p ) tiene orden multiplicativo igual a en G _p (ya que cuyo cuadrado es −1 módulo F _n ), de modo que, según el teorema de Lagrange , p − 1 es divisible por y p tiene la forma de algún número entero k , como sabía Euler . Édouard Lucas fue más allá. Dado que n > 1 , el primo p anterior es congruente con 1 módulo 8. Por lo tanto (como sabía Carl Friedrich Gauss ), 2 es un residuo cuadrático módulo p , es decir, hay un entero a tal que Entonces la imagen de a tiene orden en el grupo G _p y (usando nuevamente el teorema de Lagrange), p − 1 es divisible por y p tiene la forma para algún número entero s . ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n+1}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle k2^{n+1}+1}$ ${\displaystyle p|a^{2}-2.}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle 2^{n+2}}$ ${\displaystyle s2^{n+2}+1}$

De hecho, se puede ver directamente que 2 es un módulo de residuo cuadrático p , ya que

${\displaystyle \left(1+2^{2^{n-1}}\right)^{2}\equiv 2^{1+2^{n-1}}{\pmod {p}}.}$

Dado que una potencia impar de 2 es un módulo de residuo cuadrático p , también lo es el propio 2.

Un número de Fermat no puede ser un número perfecto ni parte de un par de números amigos . (Luca 2000)

La serie de recíprocos de todos los divisores primos de los números de Fermat es convergente . (Křížek, Luca y Somer 2002)

Si n ⁿ + 1 es primo, existe un número entero m tal que n = 2 ^{2 m} . La ecuación n ⁿ + 1 = F _{(2 ^m + m )} se cumple en ese caso. ^{[11] [12]}

Sea P ( F _n ) el factor primo más grande del número de Fermat F _n . Entonces,

${\displaystyle P(F_{n})\geq 2^{n+2}(4n+9)+1.}$(Grytczuk, Luca y Wójtowicz 2001)

Relación con los polígonos construibles

Número de lados de polígonos construibles conocidos que tienen hasta 1000 lados (negrita) o número de lados impares (rojo)

Carl Friedrich Gauss desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae y formuló una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Gauss afirmó que esta condición también era necesaria [ ^13] pero nunca publicó una prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de necesidad en 1837. El resultado se conoce como teorema de Gauss-Wantzel :

Un polígono regular de n lados se puede construir con compás y regla si y sólo si n es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos: en otras palabras, si y sólo si n es de la forma n = 2 ^k o n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _s , donde k , s son números enteros no negativos y p _i son primos de Fermat distintos.

Un entero positivo n es de la forma anterior si y sólo si su totiente φ ( n ) es una potencia de 2.

Aplicaciones de los números de Fermat

Generación de números pseudoaleatorios

Los primos de Fermat son particularmente útiles para generar secuencias pseudoaleatorias de números en el rango 1,..., N , donde N es una potencia de 2. El método más común utilizado es tomar cualquier valor inicial entre 1 y P − 1 , donde P es un primo de Fermat. Ahora multiplique esto por un número A , que es mayor que la raíz cuadrada de P y es una raíz primitiva módulo P (es decir, no es un residuo cuadrático ). Luego toma el resultado módulo P . El resultado es el nuevo valor para el RNG.

${\displaystyle V_{j+1}=(A\times V_{j}){\bmod {P}}}$(ver generador congruencial lineal , RANDU )

Esto es útil en informática, ya que la mayoría de las estructuras de datos tienen miembros con 2 ^X valores posibles. Por ejemplo, un byte tiene 256 (2 ⁸ ) valores posibles (0–255). Por lo tanto, para llenar uno o varios bytes con valores aleatorios, se puede utilizar un generador de números aleatorios que produzca valores del 1 al 256, tomando el byte el valor de salida −1. Por este motivo, los números primos de Fermat muy grandes son de especial interés en el cifrado de datos. Este método produce sólo valores pseudoaleatorios , ya que después de P − 1 repeticiones, la secuencia se repite. Un multiplicador mal elegido puede hacer que la secuencia se repita antes de P − 1 .

Números de Fermat generalizados

Los números de la forma con a , b cualesquiera enteros coprimos , a > b > 0 , se denominan números de Fermat generalizados . Un primo impar p es un número de Fermat generalizado si y sólo si p es congruente con 1 (mod 4) . (Aquí consideramos sólo el caso n > 0 , por lo que 3 = no es un contraejemplo). ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+b^{2^{\overset {n}{}}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{0}}\!+1}$

Un ejemplo de un primo probable de esta forma es 1215 ¹³¹⁰⁷² + 242 ¹³¹⁰⁷² (encontrado por Kellen Shenton). ^[14]

Por analogía con los números de Fermat ordinarios, es común escribir números de Fermat generalizados de la forma F n ₍ a ) . En esta notación, por ejemplo, el número 100.000.001 se escribiría como F ₃ (10). A continuación nos limitaremos a los números primos de esta forma; tales números primos se denominan "primos de Fermat en base a ". Por supuesto, estos números primos existen sólo si a es par . ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$ ${\displaystyle a^{2^{\overset {n}{}}}\!\!+1}$

Si requerimos n > 0 , entonces el cuarto problema de Landau pregunta si hay infinitos números primos de Fermat generalizados F _n ( a ).

Primos de Fermat generalizados de la forma F n ( a )

Debido a la facilidad para demostrar su primalidad, los primos generalizados de Fermat se han convertido en los últimos años en un tema de investigación dentro del campo de la teoría de números. Muchos de los números primos más grandes conocidos en la actualidad son primos de Fermat generalizados.

Los números de Fermat generalizados pueden ser primos sólo para a par , porque si a es impar, entonces cada número de Fermat generalizado será divisible por 2. El número primo más pequeño es , o 30 ³² + 1. Además, podemos definir "números de Fermat medio generalizados" . "para una base impar, la mitad del número de Fermat generalizado en base a (para a impar ) es , y también es de esperar que solo haya un número finito de primos de Fermat mitad generalizados para cada base impar. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n>4}$ ${\displaystyle F_{5}(30)}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!+1}{2}}}$

En esta lista, los números de Fermat generalizados ( ) para a par son , para a impar , son . Si a es una potencia perfecta con un exponente impar (secuencia A070265 en el OEIS ), entonces todos los números de Fermat generalizados pueden factorizarse algebraicamente, por lo que no pueden ser primos. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle a^{2^{n}}\!+1}$ ${\displaystyle {\frac {a^{2^{n}}\!\!+1}{2}}}$

Consulte ^{[15] [16]} para bases pares hasta 1000 y ^[17] para bases impares. Para conocer el número más pequeño que sea primo, consulte OEIS : A253242 . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(a)}$

Para conocer la base par más pequeña que es prima, consulte OEIS : A056993 . ${\displaystyle F_{n}(a)}$

Las bases más pequeñas b=b(n) tales que b ^{2 n} + 1 (para dado n= 0,1,2, ... ) es prima son

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (secuencia A056993 en el OEIS )

Por el contrario, los k=k(n) más pequeños tales que (2 n ) ^k + 1 (para n dado ) es primo son

1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (Se desconoce el siguiente término) (secuencia A079706 en el OEIS ) (ver también OEIS : A228101 y OEIS : A084712 )

Se puede utilizar una teoría más elaborada para predecir el número de bases para las cuales será primo para fijo . Se puede esperar que el número de números primos de Fermat generalizados se reduzca aproximadamente a la mitad a medida que aumenta en 1. ${\displaystyle F_{n}(a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Primos de Fermat generalizados de la forma F n ( a , b )

También es posible construir primos de Fermat generalizados de la forma . Como en el caso en que b = 1, los números de esta forma siempre serán divisibles por 2 si a+b es par, pero aún es posible definir primos medio-Fermat generalizados de este tipo. Para conocer el primo más pequeño de la forma (para impar ), consulte también OEIS : A111635 . ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$ ${\displaystyle F_{n}(a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$

Los primos de Fermat generalizados más grandes conocidos

La siguiente es una lista de los cinco primos de Fermat generalizados más grandes conocidos. ^{[19] Los participantes del proyecto} PrimeGrid descubren el top 5 completo .

En las páginas Prime se pueden encontrar los 100 principales números primos generalizados de Fermat.

Ver también

• Polígono construible : qué polígonos regulares son construibles depende parcialmente de los números primos de Fermat.
• Función exponencial doble
• teorema de lucas
• Mersenne prima
• Pierpont principal
• prueba de primalidad
• teorema de proth
• pseudoprime
• Número de Sierpiński
• La secuencia de Sylvester.

Notas

1. Křížek, Luca y Somer 2001, pág. 38, Observación 4.15
2. Chris Caldwell, "Prime Links++: formularios especiales" Archivado el 24 de diciembre de 2013 en Wayback Machine en The Prime Pages .
3. Ribenboim 1996, pag. 88.
4. Keller, Wilfrid (18 de enero de 2021), "Factores primos de los números de Fermat", ProthSearch.com , consultado el 19 de enero de 2021
5. Boklan, Kent D.; Conway, John H. (2017). "¡Espere como máximo una milmillonésima parte de un nuevo Fermat Prime!". El inteligente matemático . 39 (1): 3–5. arXiv : 1605.01371 . doi :10.1007/s00283-016-9644-3. S2CID  119165671.
6. Björn, Anders; Riesel, Hans (1998). "Factores de números de Fermat generalizados". Matemáticas de la Computación . 67 (221): 441–446. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00891-6 . ISSN  0025-5718.
7. Sandifer, Ed. "Cómo lo hizo Euler" (PDF) . MAA en línea . Asociación Matemática de América. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 13 de junio de 2020 .
8. ":: FERMATSEARCH . ORG :: Página de inicio". www.fermatsearch.org . Consultado el 7 de abril de 2018 .
9. "::FERMATSEARCH.ORG:: Noticias". www.fermatsearch.org . Consultado el 7 de abril de 2018 .
10. Krizek, Michal; Luca, Florián; Somer, Lawrence (14 de marzo de 2013). 17 conferencias sobre números de Fermat: de la teoría de números a la geometría. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9780387218502. Consultado el 7 de abril de 2018 a través de Google Books.
11. Jeppe Stig Nielsen, "S (n) = n ^ n + 1".
12. Weisstein, Eric W. "Número de Sierpiński del primer tipo". MundoMatemático .
13. Gauss, Carl Friedrich (1966). Disquisiciones arithmeticae. New Haven y Londres: Yale University Press. págs. 458–460 . Consultado el 25 de enero de 2023 .
14. PRP Top Records, busque x^131072+y^131072, por Henri & Renaud Lifchitz.
15. "Primes de Fermat generalizados". jeppesn.dk . Consultado el 7 de abril de 2018 .
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18. "Factores GFN originales". www.prothsearch.com .
19. Caldwell, Chris K. "Los veinte primeros: Fermat generalizado". Las páginas principales . Consultado el 11 de julio de 2019 .
20. 19637361048576 + 1
21. 19517341048576 + 1
22. 10590941048576 + 1
23. 9194441048576 + 1
24. 81*220498148 + 1

Referencias

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• Grytczuk, A.; Luca, F. y Wójtowicz, M. (2001), "Otra nota sobre los mayores factores primos de los números de Fermat", Boletín de Matemáticas del Sudeste Asiático , 25 (1): 111–115, doi :10.1007/s10012-001-0111 -4, S2CID  122332537
• Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números, Libros de problemas en matemáticas, vol. 1 (3.ª ed.), Nueva York: Springer Verlag , págs. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
• Křížek, Michal; Luca, Florian y Somer, Lawrence (2001), 17 conferencias sobre números de Fermat: de la teoría de números a la geometría, libros de matemáticas de CMS, vol. 10, Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8- Este libro contiene una extensa lista de referencias.
• Křížek, Michal; Luca, Florian y Somer, Lawrence (2002), "Sobre la convergencia de series de recíprocos de números primos relacionados con los números de Fermat", Journal of Number Theory , 97 (1): 95–112, doi : 10.1006/jnth.2002.2782
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• Ribenboim, Paulo (1996), El nuevo libro de registros de números primos (3.ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
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enlaces externos

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• Luigi Morelli, Historia de los números de Fermat
• John Cosgrave, Unificación de los números de Mersenne y Fermat
• Wilfrid Keller, Factores primos de los números de Fermat
• Weisstein, Eric W. "Número de Fermat". MundoMatemático .
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• Yves Gallot, búsqueda generalizada de Fermat Prime
• Mark S. Manasse, Factorización completa del noveno número de Fermat (anuncio original)
• Peyton Hayslette, el anuncio generalizado más grande conocido de Fermat Prime