primo pitagórico

El primo pitagórico 5 y su raíz cuadrada son hipotenusas de triángulos rectángulos con catetos enteros. Las fórmulas muestran cómo transformar cualquier triángulo rectángulo con catetos enteros en otro triángulo rectángulo con catetos enteros cuya hipotenusa es el cuadrado de la hipotenusa del primer triángulo.

Un número primo pitagórico es un número primo de la forma . ${\displaystyle 4n+1}$ Los primos pitagóricos son exactamente los números primos impares que son la suma de dos cuadrados; esta caracterización es el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados .

De manera equivalente, según el teorema de Pitágoras , son los números primos impares para los cuales es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos enteros, y también son los números primos para los cuales él mismo es la hipotenusa de un triángulo pitagórico primitivo . Por ejemplo, el número 5 es un primo pitagórico; es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 1 y 2, y 5 en sí es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Valores y densidad

Los primeros números primos pitagóricos son

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , ... (secuencia A002144 en el OEIS ).

Según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , esta secuencia es infinita. Más claramente, para cada , el número de números primos pitagóricos y no pitagóricos hasta son aproximadamente iguales. Sin embargo, el número de números primos pitagóricos hasta es frecuentemente algo menor que el número de números primos no pitagóricos; este fenómeno se conoce como sesgo de Chebyshev . ^[1] Por ejemplo, los únicos valores de hasta 600000 para los cuales hay más primos impares pitagóricos que no pitagóricos menores o iguales a n son 26861 y 26862. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Representación como suma de dos cuadrados.

La suma de un cuadrado impar y un cuadrado par es congruente con 1 mod 4, pero existen números compuestos como 21 que son 1 mod 4 y aún así no pueden representarse como sumas de dos cuadrados. El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados establece que los números primos que se pueden representar como sumas de dos cuadrados son exactamente 2 y los primos impares congruentes con 1 mod 4. ^[3] La representación de cada uno de esos números es única, hasta el orden de los dos cuadrados. ^[4]

Utilizando el teorema de Pitágoras , esta representación se puede interpretar geométricamente: los números primos de Pitágoras son exactamente los números primos impares tales que existe un triángulo rectángulo , con catetos enteros, cuya hipotenusa tiene longitud . También son exactamente los números primos tales que existe un triángulo rectángulo de lados enteros cuya hipotenusa tiene longitud . Porque, si el triángulo con catetos y tiene longitud de hipotenusa (con ), entonces el triángulo con catetos y tiene longitud de hipotenusa . ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle 2xy}$ ${\displaystyle p}$

Otra forma de entender esta representación como una suma de dos cuadrados implica los enteros gaussianos , los números complejos cuya parte real y su parte imaginaria son ambas enteras. ^[6] La norma de un entero gaussiano es el número . Así, los números primos pitagóricos (y 2) ocurren como normas de números enteros gaussianos, mientras que otros números primos no. Dentro de los enteros gaussianos, los números primos pitagóricos no se consideran números primos porque pueden factorizarse como ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

$${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy).}$$

la factorización de números enteros

$${\displaystyle {\begin{aligned}p^{2}&=(x+iy)^{2}(x-iy)^{2}\\&=(x^{2}-y^{2}+2ixy)(x^{2}-y^{2}-2ixy).\\\end{aligned}}}$$

Residuos cuadráticos

La ley de la reciprocidad cuadrática dice que si y son primos impares distintos, al menos uno de los cuales es pitagórico, entonces es un mod de residuo cuadrático si y sólo si es un mod de residuo cuadrático ; por el contrario, si ni ni es pitagórico, entonces es un mod de residuo cuadrático si y solo si no es un mod de residuo cuadrático . ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

En el campo finito con un primo pitagórico, la ecuación polinómica tiene dos soluciones. Esto se puede expresar diciendo que es un mod de residuo cuadrático . Por el contrario, esta ecuación no tiene solución en los cuerpos finitos donde es un primo impar pero no es pitagórico. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2}=-1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$

El gráfico de Paley con 13 vértices.

Para cada primo pitagórico , existe un gráfico de Paley con vértices, que representan los números módulo , con dos números adyacentes en el gráfico si y sólo si su diferencia es un residuo cuadrático. Esta definición produce la misma relación de adyacencia independientemente del orden en que se restan los dos números para calcular su diferencia, debido a la propiedad de los primos pitagóricos de que son un residuo cuadrático . ^[7] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$

Referencias

1. Rubinstein, Michael; Sarnak, Peter (1994), "El sesgo de Chebyshev", Matemáticas experimentales , 3 (3): 173–197, doi :10.1080/10586458.1994.10504289
2. Granville, Andrés ; Martin, Greg (enero de 2006), "Carreras de números primos" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 113 (1): 1--33, doi :10.2307/27641834, JSTOR  27641834
3. Stewart, Ian (2008), Por qué la belleza es verdad: una historia de la simetría, Libros básicos, p. 264, ISBN 9780465082377
4. LeVeque, William Judson (1996), Fundamentos de la teoría de números, Dover, págs. 100, 103, 183, ISBN 9780486689067
5. Stillwell, John (2003), Elementos de teoría de números, Textos de pregrado en matemáticas , Springer, p. 112, ISBN 9780387955872
6. Mazur, Barry (2010), "Números algebraicos [IV.I]", en Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 315–332, ISBN 9781400830398Véase en particular la sección 9, "Representaciones de números primos mediante formas cuadráticas binarias", p. 325.
7. Chung, Fan RK (1997), Teoría de grafos espectrales, Serie de conferencias regionales CBMS, vol. 92, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, págs. 97–98, ISBN 9780821889367

enlaces externos

• Eaves, Laurence , "Pythagorean Primes: incluidos 5, 13 y 137", Numberphile , Brady Haran , archivado desde el original el 19 de marzo de 2016 , consultado el 2 de abril de 2013
• Secuencia OEIS A007350 (Donde la carrera principal 4n-1 vs. 4n+1 cambia de líder)