En geometría , un politopo uniforme de 5 dimensiones es un politopo uniforme de cinco dimensiones . Por definición, un 5 politopo uniforme es transitivo por vértices y está construido a partir de facetas uniformes de 4 politopos .
No se ha determinado el conjunto completo de 5 politopos uniformes convexos , pero muchos se pueden hacer como construcciones de Wythoff a partir de un pequeño conjunto de grupos de simetría . Estas operaciones de construcción están representadas por las permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter .
Los 5 politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p,q,r,s}, con s {p,q,r} facetas de 4 politopos alrededor de cada cara . Hay exactamente tres de estos politopos regulares, todos convexos:
No existen politopos regulares no convexos en 5 dimensiones o más.
¿Cuál es el conjunto completo de 5 politopos uniformes convexos? [6]
Hay 104 5 politopos uniformes convexos conocidos, además de una serie de familias infinitas de prismas de duoprisma y duoprismas de polígono-poliedro. Todos, excepto el gran prisma antiprisma, se basan en construcciones de Wythoff , simetría de reflexión generada con grupos de Coxeter . [ cita necesaria ]
El 5-símplex es la forma regular de la familia A 5 . El 5-cubo y el 5-ortoplex son las formas regulares de la familia B 5 . El gráfico bifurcado de la familia D 5 contiene el 5-ortoplex , así como un 5-demicubo que es un 5-cubo alternado .
Cada 5 politopo reflectante uniforme se puede construir en uno o más grupos de puntos reflectantes en 5 dimensiones mediante una construcción de Wythoff , representada por anillos alrededor de permutaciones de nodos en un diagrama de Coxeter . Los hiperplanos espejo se pueden agrupar, como se ve mediante nodos coloreados, separados por ramas pares. Los grupos de simetría de la forma [a,b,b,a], tienen una simetría extendida, [[a,b,b,a]], como [3,3,3,3], duplicando el orden de simetría. Los politopos uniformes en este grupo con anillos simétricos contienen esta simetría extendida.
Si todos los espejos de un color determinado no tienen anillos (inactivos) en un politopo uniforme determinado, tendrá una construcción de simetría más baja al eliminar todos los espejos inactivos. Si todos los nodos de un color determinado están anillados (activos), una operación de alternancia puede generar un nuevo politopo de 5 con simetría quiral, que se muestra como "nodos circulares" vacíos ", pero la geometría generalmente no es ajustable para crear soluciones uniformes.
Hay 5 familias prismáticas uniformes categóricas finitas de politopos basadas en los 4 politopos uniformes no prismáticos . Hay una familia infinita de 5 politopos basados en prismas de duoprismas uniformes {p}×{q}×{}.
Hay 3 familias categóricas de politopos duoprismáticos uniformes basadas en productos cartesianos de los poliedros uniformes y polígonos regulares : { q , r }×{ p }.
Eso lleva la cuenta a: 19+31+8+45+1=104
Además existen:
Hay 19 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter con uno o más anillos. (16+4-1 casos)
Son nombrados por Norman Johnson de las operaciones de construcción de Wythoff en 5-simplex regular (hexateron).
La familia A 5 tiene simetría de orden 720 (6 factorial ). 7 de las 19 figuras, con diagramas de Coxeter anillados simétricamente, tienen simetría duplicada, orden 1440.
Las coordenadas de 5 politopos uniformes con simetría de 5 símplex se pueden generar como permutaciones de números enteros simples en 6 espacios, todo en hiperplanos con vector normal (1,1,1,1,1,1).
La familia B 5 tiene simetría de orden 3840 (5!×2 5 ).
Esta familia tiene 2 5 −1=31 politopos uniformes Wythoffianos generados marcando uno o más nodos del diagrama de Coxeter . También se agregan 8 politopos uniformes generados como alternancias con la mitad de simetría, que forman un duplicado completo de la familia D 5 como
... =
..... (Hay más alternancias que no están listadas porque producen solo repeticiones, como
... =
.... y... =
.... Estos darían una duplicación completa de los 5 politopos uniformes numerados del 20 al 34 con la simetría dividida por la mitad.)
Para simplificar, se divide en dos subgrupos, cada uno con 12 formas y 7 formas "intermedias" que pertenecen igualmente a ambos.
La familia de 5 cubos de 5 politopos está dada por las carcasas convexas de los puntos base enumerados en la siguiente tabla, con todas las permutaciones de coordenadas y signos tomados. Cada punto base genera un 5 politopo uniforme distinto. Todas las coordenadas se corresponden con 5 politopos uniformes de longitud de borde 2.
La familia D 5 tiene simetría de orden 1920 (5! x 2 4 ).
Esta familia tiene 23 politopos uniformes Wythoffianos, de permutaciones 3 × 8-1 del diagrama de Coxeter D 5 con uno o más anillos. 15 (2×8-1) se repiten de la familia B 5 y 8 son exclusivos de esta familia, aunque incluso esos 8 duplican las alternancias de la familia B 5 .
En las 15 repeticiones, ambos nodos que terminan las ramas de longitud 1 están en anillo, por lo que los dos tipos deelemento son idénticos y la simetría se duplica: las relaciones son... =.... y... =..., creando una duplicación completa de los 5 politopos uniformes 20 a 34 anteriores. Las 8 nuevas formas tienen un nodo anillado y otro no, con la relación... =... duplicando los 5 politopos uniformes 51 a 58 anteriores.
Hay 5 familias prismáticas uniformes categóricas finitas de politopos basadas en los 4 politopos uniformes no prismáticos . Por simplicidad, no se muestran la mayoría de las alternancias.
Esta familia prismática tiene 9 formas :
La familia A 1 x A 4 tiene simetría de orden 240 (¡2*5!).
Esta familia prismática tiene 16 formas . (Tres se comparten con la familia [3,4,3]×[ ])
La familia A 1 × B 4 tiene simetría de orden 768 (2 5 4!).
Los últimos tres desaires se pueden realizar con bordes de igual longitud, pero de todos modos resultan no uniformes porque algunas de sus 4 caras no son 4 politopos uniformes.
Esta familia prismática tiene 10 formas .
La familia A 1 x F 4 tiene simetría de orden 2304 (2*1152). Tres politopos 85, 86 y 89 (fondo verde) tienen doble simetría [[3,4,3],2], orden 4608. El último, prisma chato de 24 celdas, (fondo azul) tiene [3 + ,4, 3,2] simetría, orden 1152.
Esta familia prismática tiene 15 formas :
La familia A 1 x H 4 tiene simetría de orden 28800 (2*14400).
Los prismas de duoprisma uniforme, { p }×{ q }×{ }, forman una clase infinita para todos los números enteros p , q >2. {4}×{4}×{ } forma una forma de simetría inferior del cubo de 5 .
El vector f extendido de { p }×{ q }×{ } se calcula como ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ).
El gran prisma antiprisma es el único 5 politopo uniforme convexo no wythoffiano conocido. Tiene 200 vértices, 1100 aristas, 1940 caras (40 pentágonos, 500 cuadrados, 1400 triángulos), 1360 celdas (600 tetraedros , 40 antiprismas pentagonales , 700 prismas triangulares , 20 prismas pentagonales ) y 322 hipercélulas (2 grandes antiprismas ). 
, 20 prismas antiprisma pentagonales
y 300 prismas tetraédricos 
).
La construcción de los politopos uniformes reflectantes de 5 dimensiones se realiza mediante un proceso de construcción de Wythoff y se representa mediante un diagrama de Coxeter , donde cada nodo representa un espejo. Los nodos están rodeados para indicar qué espejos están activos. El conjunto completo de politopos uniformes generados se basa en permutaciones únicas de nodos anillados. Los 5 politopos uniformes se nombran en relación con los politopos regulares de cada familia. Algunas familias tienen dos constructores regulares y, por tanto, pueden tener dos formas de nombrarlos.
Estos son los principales operadores disponibles para construir y nombrar los 5 politopos uniformes.
La última operación, el desaire y, más generalmente, la alternancia, son las operaciones que pueden crear formas no reflectantes. Estos están dibujados con "anillos huecos" en los nodos.
Las formas prismáticas y los gráficos bifurcados pueden usar la misma notación de indexación de truncamiento, pero requieren un sistema de numeración explícito en los nodos para mayor claridad.
Hay cinco grupos de Coxeter afines fundamentales y 13 grupos prismáticos que generan teselaciones regulares y uniformes en el 4 espacio euclidiano. [11] [12]
Hay tres panales regulares del 4 espacio euclidiano:
=
. Hay 19 panales uniformes en esta familia.. Hay 31 panales reflectantes uniformes en esta familia y una forma alternada.
yconstruido por cuatro chatos de 24 celdas , uno de 16 celdas y cinco de 5 celdas en cada vértice.Otras familias que generan panales uniformes:
=
familiar, todo nuevo, que incluye:familia, dos nuevos, incluido el panal de un cuarto de teseraxia ,=, y el panal teseráctico bitruncado ,=.Las teselaciones uniformes no wythoffianas en 4 espacios también existen mediante elongación (inserción de capas) y giro (capas giratorias) de estas formas reflectantes.
Hay 5 grupos de Coxeter hiperbólicos compactos de rango 5, cada uno de los cuales genera panales uniformes en 4 espacios hiperbólicos como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
Hay 5 panales hiperbólicos convexos compactos regulares en el espacio H 4 : [13]
También hay 4 panales de estrellas hiperbólicos compactos regulares en el espacio H 4 :
Hay 9 grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos de rango 5 , cada uno de los cuales genera panales uniformes en 4 espacios como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter. Los grupos paracompactos generan panales con infinitas facetas o figuras de vértices .
