En geometría , el gran antiprisma o antiprismoide doble pentagonal es un politopo uniforme de 4 dimensiones ( politopo uniforme de 4 dimensiones ) delimitado por 320 celdas : 20 antiprismas pentagonales y 300 tetraedros . Es un 4 politopo uniforme anómalo, no wythoffiano , descubierto en 1965 por Conway y Guy . [1] [2] Topológicamente, bajo su máxima simetría, los antiprismas pentagonales tienen simetría D 5d y existen dos tipos de tetraedros, uno con simetría S 4 y otro con simetría C s .
20 antiprismas pentagonales apilados se encuentran en dos anillos separados de 10 antiprismas cada uno. Los antiprismas de cada anillo están unidos entre sí mediante sus caras pentagonales. Los dos anillos son mutuamente perpendiculares, en una estructura similar a un duoprisma .
Los 300 tetraedros unen los dos anillos entre sí y están dispuestos en una disposición bidimensional topológicamente equivalente al 2-toro y la cresta del duocilindro . Estos se pueden dividir en tres conjuntos. 100 caras coinciden con un anillo, 100 caras coinciden con el otro anillo y 100 están centradas en el punto medio exacto del duocilindro y el borde coincide con ambos anillos. Este último conjunto forma un toro plano y se puede "desenrollar" en una matriz cuadrada plana de tetraedros de 10×10 que se unen sólo en sus bordes y vértices. Vea la figura a continuación.
Además, los 300 tetraedros se pueden dividir en 10 hélices de Boerdijk-Coxeter disjuntas de 30 células cada una que se cierran entre sí. Los dos tubos de antiprisma pentagonal, más las 10 hélices BC, forman una fibración de Hopf discreta irregular del gran antiprisma que Hopf asigna a las caras de un antiprisma pentagonal. Los dos tubos se asignan a las dos caras pentagonales y las 10 hélices BC se asignan a las 10 caras triangulares.
La estructura del gran antiprisma es análoga a la de los antiprismas tridimensionales . Sin embargo, el gran antiprisma es el único análogo uniforme convexo del antiprisma en 4 dimensiones (aunque el de 16 celdas puede considerarse como un análogo regular del antiprisma digonal ). El único análogo de antiprisma de 4 dimensiones uniforme no convexo utiliza antiprismas cruzados pentagramáticos en lugar de antiprismas pentagonales, y se llama antiprismoide doble pentagramático .
La figura del vértice del gran antiprisma es una esfenocorona o icosaedro regular disecado : un icosaedro regular al que se le han eliminado dos vértices adyacentes. En su lugar, 8 triángulos son reemplazados por un par de trapecios, con aristas de longitud φ, 1, 1, 1 (donde φ es la proporción áurea ), unidos a lo largo de su arista de longitud φ, para dar un tetradecaedro cuyas caras son los 2 trapecios. y los 12 triángulos equiláteros restantes .
El gran antiprisma se puede construir disminuyendo las 600 celdas : restando 20 pirámides cuyas bases son antiprismas pentagonales tridimensionales. Por el contrario, los dos anillos de antiprismas pentagonales en el gran antiprisma pueden triangularse mediante 10 tetraedros unidos a las caras triangulares de cada antiprisma, y un círculo de 5 tetraedros entre cada par de antiprismas, uniendo los 10 tetraedros de cada uno, dando 150 tetraedros por anillo. Estos combinados con los 300 tetraedros que unen los dos anillos producen los 600 tetraedros de las 600 celdas.
Esta disminución se puede realizar eliminando dos anillos de 10 vértices de las 600 celdas, cada uno de los cuales se encuentra en planos mutuamente ortogonales. Cada anillo de vértices eliminados crea una pila de antiprismas pentagonales en el casco convexo . Esta relación es análoga a cómo se puede construir un antiprisma pentagonal a partir de un icosaedro eliminando dos vértices opuestos, eliminando así 5 triángulos de los "polos" opuestos del icosaedro, dejando los 10 triángulos ecuatoriales y dos pentágonos en la parte superior e inferior.
(La chata de 24 celdas también se puede construir mediante otra disminución de las 600 celdas, eliminando 24 pirámides icosaédricas. De manera equivalente, esto se puede realizar tomando el casco convexo de los vértices que quedan después de 24 vértices, correspondientes a los de una inscrita 24 -cell , se eliminan de las 600 celdas).
Alternativamente, también se puede construir a partir del ditetragoltriato decagonal (el casco convexo de dos duoprismas perpendiculares no uniformes de 10-10 donde la proporción de los dos decágonos está en la proporción áurea ) mediante un proceso de alternancia . Los prismas decagonales se alternan en antiprismas pentagonales , los trapezoprismas rectangulares se alternan en tetraedros con dos nuevos tetraedros regulares (que representan una bipirámide triangular no coreálmica ) creados en los vértices eliminados. Esta es la única solución uniforme para los antiprismoides dobles p-gonales junto con su conjugado, el antiprismoide doble pentagrámico del ditetragoltriato decagrámico.
Se trata de dos proyecciones en perspectiva, que proyectan el politopo en una hiperesfera y aplican una proyección estereográfica en 3 espacios.