El duocilindro , también llamado cilindro doble o bidisco , es un objeto geométrico inserto en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones , definido como el producto cartesiano de dos discos de radios respectivos r 1 y r 2 :
Es similar a un cilindro en el espacio tridimensional, que es el producto cartesiano de un disco por un segmento de recta . Pero a diferencia del cilindro, ambas hipersuperficies (de un duocilindro regular ) son congruentes .
Su dual es un duohusillo, construido a partir de dos círculos, uno en el plano xy y el otro en el plano zw .
El duocilindro está delimitado por dos variedades 3- perpendiculares entre sí con superficies en forma de toro , descritas respectivamente por las fórmulas:
y
El duocilindro se llama así porque estas dos variedades 3-limitantes pueden considerarse como cilindros tridimensionales "doblados" en un espacio tetradimensional de modo que forman bucles cerrados en los planos xy y zw . El duocilindro tiene simetría rotacional en ambos planos y, como tal, puede usarse para comprender las rotaciones dobles desdoblando la superficie del duocilindro en sus dos celdas cilíndricas: la rotación a través de uno de los planos de simetría traslada un cilindro mientras rota el otro, y así, en una rotación doble, ambos cilindros rotan y se trasladan.
Un duocilindro regular consta de dos celdas congruentes, una cara toral plana cuadrada (la cresta), cero aristas y cero vértices.
La cresta del duocilindro es la variedad 2 que constituye el límite entre las dos celdas toroidales (sólidas) que la delimitan. Tiene la forma de un toro de Clifford , que es el producto cartesiano de dos círculos. Intuitivamente, se puede construir de la siguiente manera: enrolle un rectángulo bidimensional hasta formar un cilindro, de modo que sus bordes superior e inferior se junten. Luego, enrolle el cilindro en el plano perpendicular al hiperplano tridimensional en el que se encuentra el cilindro, de modo que sus dos extremos circulares se junten.
La forma resultante es topológicamente equivalente a un 2- toro euclidiano (forma de rosquilla). Sin embargo, a diferencia de este último, todas las partes de su superficie están deformadas de manera idéntica. En la rosquilla (superficie 2D, incrustada en 3D), la superficie alrededor del "agujero de la rosquilla" está deformada con una curvatura negativa (como una silla de montar), mientras que la superficie exterior está deformada con una curvatura positiva (como una esfera).
La cresta del duocilindro puede considerarse como la forma global real de las pantallas de videojuegos como Asteroids , donde salirse del borde de un lado de la pantalla conduce al otro lado. No se puede insertar sin distorsión en el espacio tridimensional, porque requiere dos grados de libertad ("direcciones") además de su superficie bidimensional inherente para que ambos pares de bordes se unan.
El duocilindro se puede construir a partir de la esfera tridimensional "cortando" el abultamiento de la esfera tridimensional a cada lado de la cresta. El análogo de esto en la esfera tridimensional es dibujar círculos de latitud menor a ±45 grados y cortar el abultamiento entre ellos, dejando una pared cilíndrica, y cortar las partes superiores, dejando partes superiores planas. Esta operación es equivalente a eliminar vértices/pirámides seleccionados de politopos , pero como la esfera tridimensional es suave/regular, hay que generalizar la operación.
El ángulo diedro entre las dos hipersuperficies tridimensionales a cada lado de la cresta es de 90 grados.
Las proyecciones paralelas del duocilindro en el espacio tridimensional y sus secciones transversales en el espacio tridimensional forman cilindros. Las proyecciones en perspectiva del duocilindro forman formas similares a toros con el "agujero de rosquilla" relleno.
El duocilindro es la forma límite de los duoprismas, ya que el número de lados de los prismas poligonales que lo componen tiende al infinito. Por lo tanto, los duoprismas sirven como buenas aproximaciones politópicas del duocilindro.
En el espacio tridimensional, un cilindro puede considerarse intermedio entre un cubo y una esfera . En el espacio cuádruple hay tres productos cartesianos que en el mismo sentido son intermedios entre el teseracto (1- esfera × 1-esfera × 1-esfera × 1-esfera) y la hiperesfera (4- esfera ). Son:
El duocilindro es el único de los tres anteriores que es regular. Estas construcciones corresponden a las cinco particiones de 4, el número de dimensiones.
( Copia de Wayback Machine )
