En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de abeja de 4-símplex , panal de abeja de 5 celdas o panal de abeja pentacórico-dispentacórico es un panal de abeja con teselación que llena el espacio . Está compuesto por 5 celdas y facetas rectificadas de 5 celdas en una proporción de 1:1.
Las celdas de la figura del vértice son diez tetraedros y 20 prismas triangulares , correspondientes a las diez celdas de 5 y las 20 celdas de 5 rectificadas que se encuentran en cada vértice. Todos los vértices se encuentran en reinos paralelos en los que forman panales cúbicos alternados , siendo los tetraedros las partes superiores de la celda de 5 rectificada o las bases de la celda de 5, y los octaedros las partes inferiores de la celda de 5 rectificada. [1]
El panal de abejas de 5 celdas se puede proyectar en el mosaico cuadrado bidimensional mediante una operación de plegado geométrico que mapea dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :
Se pueden obtener dos mosaicos aperiódicos diferentes con simetría quíntuple proyectando cortes bidimensionales del panal: el mosaico de Penrose compuesto de rombos y el mosaico de triángulos de Tübingen compuesto de triángulos isósceles. [2]
La disposición de vértices del panal de 5 celdas se denomina red A4 o red 4-símplex . Los 20 vértices de su figura de vértice , la red de 5 celdas runcinadas, representan las 20 raíces del grupo de Coxeter. [3] [4] Es el caso de 4 dimensiones de un panal simpléctico .
La A*
4La red [5] es la unión de cinco redes A 4 , y es el dual del panal de abejas 5-símplex omnitruncado , y por lo tanto la celda de Voronoi de esta red es una celda 5-omnitruncada
∪
∪
∪
∪
= dual de
Las partes superiores de las 5 celdas de este panal se unen a las bases de las 5 celdas, y viceversa, en láminas (o capas) adyacentes; pero las láminas alternas pueden invertirse de modo que las partes superiores de las 5 celdas rectificadas se unan a las partes superiores de las 5 celdas rectificadas y las bases de las 5 celdas se unan a las bases de otras 5 celdas. Esta inversión da como resultado otro panal convexo uniforme no wythoffiano. También se pueden insertar prismas octaédricos y prismas tetraédricos entre las láminas alternadas, lo que da como resultado dos panales uniformes alargados no wythoffianos más. [6]
Este panal es uno de los siete panales uniformes únicos [7] construidos por el grupo de Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
El panal de abeja rectificado de 4 celdas simples o panal de abeja rectificado de 5 celdas es un panal de abeja con teselación que llena el espacio .
El panal de abeja ciclotruncado de 4 celdas o panal de abeja ciclotruncado de 5 celdas es un panal de abeja con teselación que llena el espacio . También se puede considerar como un panal de abeja birectificado de 5 celdas .
Está compuesto por facetas de 5 celdas , facetas truncadas de 5 celdas y facetas bitruncadas de 5 celdas en una proporción de 2:2:1. Su figura de vértice es un antiprisma tetraédrico , con 2 tetraedros regulares , 8 pirámides triangulares y 6 celdas difenoides tetragonales , que definen 2 facetas de 5 celdas , 8 facetas truncadas de 5 celdas y 6 facetas bitruncadas de 5 celdas alrededor de un vértice.
Puede construirse como cinco conjuntos de hiperplanos paralelos que dividen el espacio en dos semiespacios. Los hiperplanos de 3 espacios contienen panales cúbicos de un cuarto como facetas de colección. [8]
El panal truncado de 4 celdas o panal truncado de 5 celdas es un panal con teselación que llena el espacio . También se lo puede llamar panal truncado de 5 celdas ciclocantitruncado .
El panal de abejas cantelado de 4 celdas o panal de abejas cantelado de 5 celdas es un panal de abejas con teselación que llena el espacio . También se lo puede llamar panal de abejas cicloruncitruncado de 5 celdas .
El panal bitruncado de 4 celdas o panal bitruncado de 5 celdas es un panal con teselación que llena el espacio . También se lo puede llamar panal cicloruncicantitruncado de 5 celdas .
El panal omnitruncado de 4-símplex o panal omnitruncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También se lo puede considerar como un panal de 5 celdas ciclosteriruncicantitruncado .
Está compuesto enteramente de facetas omnitruncadas de 5 celdas (omnitruncadas 4-símplex).
Coxeter llama a esto el panal de Hinton en honor a C. H. Hinton , quien lo describió en su libro La cuarta dimensión en 1906. [9]
Las facetas de todos los panales simplécticos omnitruncados se denominan permutoedros y pueden posicionarse en el espacio n+1 con coordenadas integrales, permutaciones de los números enteros (0,1,..,n).
La A*
4La red es la unión de cinco redes A 4 , y es el dual del panal omnitruncado de 5 celdas, y por lo tanto la celda de Voronoi de esta red es un panal omnitruncado de 5 celdas . [10]
∪∪∪∪= dual deEste panal se puede alternar , creando celdas de 5 celdas omnisnub con celdas de 5 celdas irregulares creadas en los vértices eliminados. Aunque no es uniforme, las celdas de 5 celdas tienen una simetría de orden 10.
Panales regulares y uniformes en 4 espacios:
