Un hexágono mágico de orden n es una disposición de números en un patrón hexagonal centrado con n celdas en cada borde, de tal manera que los números en cada fila, en las tres direcciones, suman la misma constante mágica M . Un hexágono mágico normal contiene los números enteros consecutivos de 1 a 3 n 2 − 3 n + 1. Los hexágonos mágicos normales existen solo para n = 1 (lo cual es trivial, ya que está compuesto de solo 1 celda) y n = 3. Además, la solución de orden 3 es esencialmente única. [1] Meng da una prueba constructiva menos intrincada . [2]
El hexágono mágico de orden 3 ha sido publicado muchas veces como un "nuevo" descubrimiento. Una referencia temprana, y posiblemente el primer descubridor, es Ernst von Haselberg (1887).
Los números del hexágono son consecutivos y van del 1 al . Por lo tanto, su suma es un número triangular , es decir
Hay r = 2 n − 1 filas que recorren cualquier dirección dada (E-O, NE-SO o NO-SE). Cada una de estas filas suma el mismo número M . Por lo tanto:
Esto se puede reescribir como
Multiplicando todo por 32 da
lo que demuestra que debe ser un número entero, por lo tanto 2 n − 1 debe ser un factor de 5, es decir, 2 n − 1 = ±1 o 2 n − 1 = ±5. Los únicos que cumplen esta condición son y , lo que demuestra que no hay hexágonos mágicos normales excepto los de orden 1 y 3.
Aunque no existen hexágonos mágicos normales de orden superior a 3, sí existen algunos anormales. En este caso, anormal significa que la secuencia de números comienza con un número distinto de 1. Arsen Zahray descubrió estos hexágonos de orden 4 y 5:
El hexágono de orden 4 comienza con 3 y termina con 39, y sus filas suman 111. El hexágono de orden 5 comienza con 6 y termina con 66 y su suma es 244.
Un hexágono de orden 5 que comienza con 15, termina con 75 y suma 305 es este:
No es posible una suma mayor que 305 para hexágonos de orden 5.
Ordena 5 hexágonos, donde las "X" son marcadores de posición para los hexágonos de orden 3, que completan la secuencia numérica. El de la izquierda contiene el hexágono con la suma 38 (números del 1 al 19) y el de la derecha, uno de los 26 hexágonos con la suma 0 (números del −9 al 9). Para obtener más información, visita el artículo de Wikipedia en alemán.
A continuación se puede ver un hexágono de orden 6. Fue creado por Louis Hoelbling el 11 de octubre de 2004:
Comienza con 21, termina con 111 y su suma es 546.
Este hexágono mágico de orden 7 fue descubierto mediante recocido simulado por Arsen Zahray el 22 de marzo de 2006:
Comienza con 2, termina con 128 y su suma es 635.
Louis K. Hoelbling generó un hexágono mágico de orden 8 el 5 de febrero de 2006:
Comienza con −84 y termina con 84, y su suma es 0.
Klaus Meffert encontró un hexágono mágico de orden 9 el 10 de septiembre de 2024 con la ayuda de una IA:
Comienza con -108 y termina con 108, y su suma es 0. La solución fue encontrada por un programa de Python creado por el autor, utilizando una IA para partes críticas del código.
Los hexágonos también se pueden construir con triángulos, como muestran los siguientes diagramas.
Este tipo de configuración se puede llamar hexágono T y tiene muchas más propiedades que el hexágono de hexágonos.
Al igual que en el caso anterior, las filas de triángulos se extienden en tres direcciones y hay 24 triángulos en un hexágono T de orden 2. En general, un hexágono T de orden n tiene triángulos. La suma de todos estos números está dada por:
Si intentamos construir un hexágono mágico en forma de T de lado n , tenemos que elegir que n sea par , porque hay r = 2 n filas, por lo que la suma en cada fila debe ser
Para que esto sea un número entero, n tiene que ser par. Hasta la fecha, se han descubierto hexágonos mágicos T de orden 2, 4, 6 y 8. El primero fue un hexágono mágico T de orden 2, descubierto por John Baker el 13 de septiembre de 2003. Desde entonces, John ha estado colaborando con David King, quien descubrió que hay 59.674.527 hexágonos mágicos T no congruentes de orden 2.
Los hexágonos mágicos en forma de T tienen varias propiedades en común con los cuadrados mágicos, pero también tienen sus propias características especiales. La más sorprendente de ellas es que la suma de los números en los triángulos que apuntan hacia arriba es la misma que la suma de los números en los triángulos que apuntan hacia abajo (sin importar cuán grande sea el hexágono en forma de T). En el ejemplo anterior,
