numero intocable

Número que no se puede escribir como una suma alícuota

En matemáticas , un número intocable es un número entero positivo que no puede expresarse como la suma de todos los divisores propios de ningún número entero positivo. Es decir, estos números no están en la imagen de la función de suma alícuota . Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (alrededor del año 1000 d.C.), quien observó que tanto 2 como 5 son intocables. ^[1]

Ejemplos

Si dibujamos una flecha que apunta desde cada entero positivo a la suma de todos sus divisores propios, no habrá ninguna flecha que apunte a números intocables como 2 y 5.

• El número 4 no es intocable, ya que es igual a la suma de los divisores propios de 9: 1 + 3 = 4.
• El número 5 es intocable, ya que no es la suma de los divisores propios de ningún entero positivo: 5 = 1 + 4 es la única forma de escribir 5 como la suma de distintos enteros positivos incluido 1, pero si 4 divide un número, 2 también lo es, por lo que 1 + 4 no puede ser la suma de todos los divisores propios de ningún número (ya que la lista de factores tendría que contener tanto 4 como 2).
• El número 6 no es intocable, ya que es igual a la suma de los divisores propios del propio 6: 1 + 2 + 3 = 6.

Los primeros números intocables son

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262 , 268 , 276 , 288 , 292 , 304 , 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498,... (secuencia A005114 en la OEIS ).

Propiedades

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay números impares intocables además del 5?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Se cree que el número 5 es el único número impar intocable, pero esto no ha sido probado. Se seguiría de una versión ligeramente más fuerte de la conjetura de Goldbach , ya que la suma de los divisores propios de pq (con p , q primos distintos) es 1 + p + q . Por tanto, si un número n puede escribirse como la suma de dos primos distintos, entonces n + 1 no es un número intocable. Se espera que cada número par mayor que 6 sea una suma de dos primos distintos, por lo que probablemente ningún número impar mayor que 7 sea un número intocable, y , , , por lo que sólo 5 puede ser un número impar intocable. ^[2] Por lo tanto, parece que además de 2 y 5, todos los números intocables son números compuestos (ya que, excepto 2, todos los números pares son compuestos). Ningún número perfecto es intocable, ya que, como mínimo, puede expresarse como la suma de sus propios divisores . De manera similar, ninguno de los números amigables o sociables es intocable. Además, ninguno de los números de Mersenne es intocable, ya que M _n = 2 ⁿ − 1 es igual a la suma de los divisores propios de 2 ⁿ . ${\displaystyle 1=\sigma (2)-2}$ ${\displaystyle 3=\sigma (4)-4}$ ${\displaystyle 7=\sigma (8)-8}$

Ningún número intocable es uno más que un número primo , ya que si p es primo, entonces la suma de los divisores propios de p ² es  p  + 1. Además, ningún número intocable es tres más que un número primo, excepto 5, ya que si p es un primo impar, entonces la suma de los divisores propios de 2 p es  p  + 3.

Infinitud

Hay infinitos números intocables, un hecho que fue demostrado por Paul Erdős . ^[3] Según Chen y Zhao, su densidad natural es al menos d > 0,06. ^[4]

Ver también

• secuencia alícuota
• No paciente
• no cociente
• numero raro

Referencias

1. Sesiano, J. (1991), "Dos problemas de la teoría de números en la época islámica", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 41 (3): 235–238, doi :10.1007/BF00348408, JSTOR  41133889, MR  1107382, S2CID  115235810
2. La versión más sólida se obtiene agregando a la conjetura de Goldbach el requisito adicional de que los dos primos sean distintos; ver Adams-Watters, Frank & Weisstein, Eric W. "Untouchable Number". MundoMatemático .
3. P. Erdos, Über die Zahlen der Form und . Elementos de matemáticas. 28 (1973), 83-86 ${\displaystyle \sigma (n)-n}$ ${\displaystyle n-\phi (n)}$
4. Yong-Gao Chen y Qing-Qing Zhao, Números no alícuotas, Publ. Matemáticas. Debrecen 78:2 (2011), págs. 439-442.

• Richard K. Guy , Problemas no resueltos en teoría de números (3.ª ed.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; sección B10. 

enlaces externos

• Secuencia OEIS A070015 (Mínimo m tal que la suma de partes alícuotas de m sea igual a n o 0 si no existe tal número)