Suma de alícuotas

En teoría de números , la suma alícuota $s (n)$ de un entero positivo $n$ es la suma de todos los divisores propios de $n$ , es decir, todos los divisores de $n$ distintos del propio $n$ . Es decir, $s(n)=\suma _{{d|n,} \encima {d\neq n}}d\,.$

Se puede utilizar para caracterizar los números primos , números perfectos , números sociables , números deficientes , números abundantes y números intocables , y para definir la secuencia alícuota de un número.

Ejemplos

Por ejemplo, los divisores propios de 12 (es decir, los divisores positivos de 12 que no son iguales a 12) son 1, 2, 3, 4 y 6, por lo que la suma alícuota de 12 es 16, es decir ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ).

Los valores de $s (n)$ para $n$ = 1, 2, 3, ... son:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (secuencia A001065 en la OEIS )

Caracterización de clases de números

La función suma de alícuotas se puede utilizar para caracterizar varias clases notables de números:

1 es el único número cuya suma de alícuotas es 0.
Un número es primo si y sólo si la suma de sus alícuotas es 1. ^[1]
Las sumas alícuotas de los números perfectos , deficientes y abundantes son iguales a, menores que y mayores que el número mismo respectivamente. ^[1] Los números cuasiperfectos (si existen tales números) son los números $n$ cuyas sumas alícuotas son iguales $a n + 1$ . Los números casi perfectos (que incluyen las potencias de 2, siendo los únicos números conocidos de este tipo hasta ahora) son los números $n$ cuyas sumas alícuotas son iguales $a n - 1$ .
Los números intocables son aquellos que no son la suma alícuota de ningún otro número. Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (circa 1000 d. C.), quien observó que tanto el 2 como el 5 son intocables. ^[1]^[2] Paul Erdős demostró que su número es infinito. ^[3] La conjetura de que el 5 es el único número impar intocable sigue sin demostrarse, pero se deduciría de una forma de la conjetura de Goldbach junto con la observación de que, para un número semiprimo $pq$ , la suma alícuota es $p + q + 1$ . ^[1]

Los matemáticos Pollack y Pomerance (2016) señalaron que uno de los "temas de investigación favoritos" de Erdős era la función suma de alícuotas.

Iteración

Iterar la función suma de alícuotas produce la secuencia de alícuotas $n, s (n), s (s (n)), \dots$ de un entero no negativo $n$ (en esta secuencia, definimos $s (0) = 0$ ).

Los números sociables son números cuya secuencia alícuota es una secuencia periódica . Los números amigables son números sociables cuya secuencia alícuota tiene periodo 2.

Aún se desconoce si estas secuencias siempre terminan con un número primo , un número perfecto o una secuencia periódica de números sociales. ^[4]

Véase también

Función suma de divisores positivos , suma de los ( $x$ -ésimos exponentes de los) divisores positivos de un número
Guillermo de Auberive , numerólogo medieval interesado en las sumas alícuotas

Referencias

^ abcd Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Algunos problemas de Erdős sobre la función suma de divisores", Transactions of the American Mathematical Society , Serie B, 3 : 1–26, doi : 10.1090/btran/10 , MR 3481968
^ Sesiano, J. (1991), "Dos problemas de la teoría de números en tiempos islámicos", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 41 (3): 235–238, doi :10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810
^ Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form σ ( n ) − n {\displaystyle \sigma (n)-n} und n − ϕ ( n ) {\displaystyle n-\phi (n)} " (PDF) , Elemente der Mathematik , 28 : 83–86, SEÑOR 0337733
^ Weisstein, Eric W. "Conjetura de la sucesión de alícuotas de Catalan". MathWorld .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Función divisora restringida". MathWorld .