numero abundante

Número menor que la suma de sus divisores propios

Demostración, con varillas de Cuisenaire , de la abundancia del número 12

En teoría de números , un número abundante o número excesivo es un número entero positivo cuya suma de sus divisores propios es mayor que el número. El número entero 12 es el primer número abundante. Sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6 para un total de 16. La cantidad en que la suma excede al número es la abundancia . El número 12 tiene abundancia de 4, por ejemplo.

Definición

Un número abundante es un número natural n para el cual la suma de divisores σ ( n ) satisface σ ( n ) > 2 n , o, de manera equivalente, la suma de divisores propios (o suma alícuota ) s ( n ) satisface s ( n ) > n .

La abundancia de un número natural es el número entero σ ( n ) − 2n (equivalentemente, s ( n ) − n ).

Ejemplos

Los primeros 28 números abundantes son:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120,... (secuencia A005101 en la OEIS ).

Por ejemplo, los divisores propios de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 36. Como 36 es mayor que 24, el número 24 es abundante. Su abundancia es 36 − 24 = 12.

Propiedades

• El número impar abundante más pequeño es 945.
• El número abundante más pequeño no divisible por 2 o por 3 es 5391411025 cuyos factores primos distintos son 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 (secuencia A047802 en la OEIS ). Un algoritmo propuesto por Iannucci en 2005 muestra cómo encontrar el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos . ^[1] Si representa el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos, entonces para todos tenemos ${\displaystyle A(k)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$

para k suficientemente grande .

• Todo múltiplo de un número perfecto (excepto el número perfecto en sí) es abundante. ^[2] Por ejemplo, cada múltiplo de 6 mayor que 6 es abundante porque ${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.}$
• Todo múltiplo de un número abundante es abundante. ^[2] Por ejemplo, cada múltiplo de 20 (incluido el propio 20) es abundante porque ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.}$
• En consecuencia, existen infinitos números abundantes pares e impares .

Sea el número de números abundantes que no excedan . Gráfico de para (con escala logarítmica) ${\displaystyle a(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a(n)/n}$ ${\displaystyle n<10^{6}}$ ${\displaystyle n}$

• Además, el conjunto de números abundantes tiene una densidad natural distinta de cero . ^[3] Marc Deléglise demostró en 1998 que la densidad natural del conjunto de los números abundantes y perfectos está entre 0,2474 y 0,2480. ^[4]
• Un número abundante que no es múltiplo de un número abundante o de un número perfecto (es decir, todos sus divisores propios son deficientes) se llama número abundante primitivo.
• Un número abundante cuya abundancia es mayor que cualquier número menor se llama número altamente abundante, y uno cuya abundancia relativa (es decir, s(n)/n) es mayor que cualquier número menor se llama número superabundante.
• Todo número entero mayor que 20161 se puede escribir como la suma de dos números abundantes. El número par más grande que no es la suma de dos números abundantes es 46. ^[5]
• Un número abundante que no es un número semiperfecto se llama número extraño . ^[6] Un número abundante con abundancia 1 se llama número cuasiperfecto , aunque todavía no se ha encontrado ninguno.
• Todo número abundante es múltiplo de un número perfecto o de un número abundante primitivo.

Conceptos relacionados

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Muy abundante

   Sobreabundante y muy compuesto.

   Colosalmente abundante y superior altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

Los números cuya suma de factores propios es igual al número mismo (como 6 y 28) se llaman números perfectos , mientras que los números cuya suma de factores propios es menor que el número mismo se llaman números deficientes . La primera clasificación conocida de los números como deficientes, perfectos o abundantes fue la de Nicómaco en su Introductio Arithmetica (alrededor del año 100 d.C.), que describía los números abundantes como animales deformes con demasiadas extremidades.

El índice de abundancia de n es la relación σ ( n )/ n . ^[7] Los números distintos n ₁ , n ₂ , ... (sean abundantes o no) con el mismo índice de abundancia se denominan números amigos .

La secuencia ( a _k ) de números mínimos n tales que σ ( n ) > kn , en la que a ₂ = 12 corresponde al primer número abundante, crece muy rápidamente (secuencia A134716 en la OEIS ).

El entero impar más pequeño con un índice de abundancia superior a 3 es 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^[8]

Si p = ( p ₁ , ..., p _n ) es una lista de números primos, entonces p se denomina abundante si algún número entero compuesto sólo de números primos en p es abundante. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el producto de p _i /( p _i − 1) sea > 2. ^[9]

Referencias

1. D. Iannucci (2005), "Sobre el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos", Boletín de la Sociedad Matemática Belga , 12 (1): 39–44, doi :10.36045/bbms/1113318127
2. Tattersall (2005) p.134
3. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gerald (1988). Divisores . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 90. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 95.ISBN​ 978-0-521-34056-4. Zbl  0653.10001.
4. Deléglise, Marc (1998). "Límites de la densidad de números enteros abundantes". Matemáticas Experimentales . 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi :10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN  1058-6458. SEÑOR  1677091. Zbl  0923.11127. 
5. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A048242 (Números que no son suma de dos números abundantes)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
6. Tattersall (2005) p.144
7. Laatsch, Richard (1986). "Midiendo la abundancia de números enteros". Revista Matemáticas . 59 (2): 84–92. doi :10.2307/2690424. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690424. SEÑOR  0835144. Zbl  0601.10003.
8. Para el entero impar más pequeño k con un índice de abundancia superior a n , consulte Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A119240 (Número mínimo impar k tal que sigma(k)/k >= n.)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
9. Friedman, Charles N. (1993). "Sumas de divisores y fracciones egipcias". Revista de teoría de números . 44 (3): 328–339. doi : 10.1006/junio.1993.1057 . SEÑOR  1233293. Zbl  0781.11015.

• Tattersall, James J. (2005). Teoría elemental de números en nueve capítulos (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl  1071.11002.

enlaces externos

• El glosario principal: número abundante
• Weisstein, Eric W. "Número abundante". MundoMatemático .
• Número abundante en PlanetMath .