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Función divisoria

Función divisora ​​σ 0 ( n ) hasta n  = 250
Función sigma σ 1 ( n ) hasta n  = 250
Suma de los cuadrados de los divisores, σ 2 ( n ), hasta n  = 250
Suma de cubos de divisores, σ 3 ( n ) hasta n  = 250

En matemáticas , y específicamente en teoría de números , una función divisora ​​es una función aritmética relacionada con los divisores de un número entero . Cuando se la denomina función divisora, cuenta el número de divisores de un número entero (incluidos 1 y el número mismo). Aparece en varias identidades notables, incluidas las relaciones en la función zeta de Riemann y la serie de formas modulares de Eisenstein . Las funciones divisoras fueron estudiadas por Ramanujan , quien dio varias congruencias e identidades importantes ; estas se tratan por separado en el artículo La suma de Ramanujan .

Una función relacionada es la función sumatoria del divisor , que, como su nombre lo indica, es una suma sobre la función divisor.

Definición

La función suma de divisores positivos σ z ( n ), para un número real o complejo z , se define como la suma de las z ésimas potencias de los divisores positivos de n . Se puede expresar en notación sigma como

donde es la abreviatura de " d divide n ". Las notaciones d ( n ), ν ( n ) y τ ( n ) (para el alemán Teiler = divisores) también se utilizan para denotar σ 0 ( n ), o la función de número de divisores [1] [2] ( OEIS : A000005 ). Cuando z es 1, la función se llama función sigma o función suma de divisores , [1] [3] y el subíndice a menudo se omite, por lo que σ ( n ) es lo mismo que σ 1 ( n ) ( OEIS : A000203 ).

La suma alícuota s ( n ) de n es la suma de los divisores propios (es decir, los divisores excluyendo al propio n , OEIS : A001065 ), y es igual a σ 1 ( n ) −  n ; la secuencia alícuota de n se forma aplicando repetidamente la función suma alícuota.

Ejemplo

Por ejemplo, σ 0 (12) es el número de divisores de 12:

mientras que σ 1 (12) es la suma de todos los divisores:

y la suma alícuota s(12) de divisores propios es:

σ −1 ( n ) a veces se denomina índice de abundancia de n y tenemos:

Tabla de valores

Los casos x = 2 a 5 se enumeran en OEIS : A001157 a OEIS : A001160 , x = 6 a 24 se enumeran en OEIS : A013954 a OEIS : A013972 .

Propiedades

Fórmulas en potencias primarias

Para un número primo p ,

porque por definición, los factores de un número primo son 1 y él mismo. Además, donde p n # denota el primordio ,

ya que n factores primos permiten una secuencia de selección binaria ( o 1) de n términos para cada divisor propio formado. Sin embargo, estos no son en general los números más pequeños cuyo número de divisores es una potencia de dos ; en cambio, el número más pequeño de este tipo puede obtenerse multiplicando juntos los primeros n primos de Fermi-Dirac , potencias primas cuyo exponente es una potencia de dos. [4]

Está claro que, para todos , y por todos , .

La función divisor es multiplicativa (ya que cada divisor c del producto mn con corresponde distintivamente a un divisor a de m y a un divisor b de n ), pero no completamente multiplicativa :

La consecuencia de esto es que, si escribimos

donde r  =  ω ( n ) es el número de factores primos distintos de n , p i es el i ésimo factor primo, y a i es la potencia máxima de p i por la cual n es divisible , entonces tenemos: [5]

que, cuando x  ≠ 0, es equivalente a la fórmula útil: [5]

Cuando x  = 0, es: [5]

Este resultado se puede deducir directamente del hecho de que todos los divisores de están determinados de forma única por las distintas tuplas de números enteros con (es decir, elecciones independientes para cada uno ).

Por ejemplo, si n es 24, hay dos factores primos ( p 1 es 2; p 2 es 3); notando que 24 es el producto de 2 3 × 3 1 , a 1 es 3 y a 2 es 1. Por lo tanto podemos calcular de la siguiente manera:

Los ocho divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 y 24.

Otras propiedades e identidades

Euler demostró la notable recurrencia: [6] [7] [8]

donde si ocurre y para , y son pares consecutivos de números pentagonales generalizados ( OEIS : A001318 , comenzando en el desplazamiento 1). De hecho, Euler demostró esto mediante la diferenciación logarítmica de la identidad en su teorema del número pentagonal .

Para un entero no cuadrado, n , cada divisor, d , de n está emparejado con el divisor n / d de n y es par; para un entero cuadrado, un divisor (a saber ) no está emparejado con un divisor distinto y es impar. De manera similar, el número es impar si y solo si n es un cuadrado o el doble de un cuadrado. [9]

También notamos que s ( n ) = σ ( n ) −  n . Aquí s ( n ) denota la suma de los divisores propios de n , es decir, los divisores de n excluyendo al propio n . Esta función se utiliza para reconocer números perfectos , que son los n tales que s ( n ) =  n . Si s ( n ) > n , entonces n es un número abundante , y si s ( n ) < n , entonces n es un número deficiente .

Si n es una potencia de 2 , entonces y , lo que hace que n sea casi perfecto .

A modo de ejemplo, para dos primos , sea

.

Entonces

y

¿Dónde está la función totiente de Euler ?

Entonces, las raíces de

expresar p y q en términos de σ ( n ) y φ ( n ) solamente, sin requerir conocimiento de n o , como

Además, conocer n y o , o, alternativamente, y o permite una fácil recuperación de p y q .

En 1984, Roger Heath-Brown demostró que la igualdad

es cierto para infinitos valores de n , véase OEIS : A005237 .

Relaciones de series

Dos series de Dirichlet que involucran la función divisor son: [10]

donde es la función zeta de Riemann . La serie para d ( n ) =  σ 0 ( n ) da: [10]

y una identidad Ramanujan [11]

que es un caso especial de la convolución de Rankin-Selberg .

Una serie de Lambert que involucra la función divisor es: [12]

para complejos arbitrarios | q | ≤ 1 y  a . Esta suma también aparece como la serie de Fourier de la serie de Eisenstein y los invariantes de las funciones elípticas de Weierstrass .

Para , existe una representación de serie explícita con sumas de Ramanujan como: [13]

El cálculo de los primeros términos de muestra sus oscilaciones alrededor del "valor medio" :

Índice de crecimiento

En notación minúscula , la función divisor satisface la desigualdad: [14] [15]

Más precisamente, Severin Wigert demostró que: [15]

Por otra parte, como hay infinitos números primos , [15]

En notación Big-O , Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró que el orden promedio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad: [16] [17]

donde es la constante gamma de Euler . La mejora del límite en esta fórmula se conoce como problema del divisor de Dirichlet .

El comportamiento de la función sigma es irregular. La tasa de crecimiento asintótico de la función sigma se puede expresar mediante: [18]

donde lim sup es el límite superior . Este resultado es el teorema de Grönwall , publicado en 1913 (Grönwall 1913). Su demostración utiliza el tercer teorema de Mertens , que dice que:

donde p denota un número primo.

En 1915, Ramanujan demostró que bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann , la desigualdad de Robin

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni )

se cumple para todos los n suficientemente grandes (Ramanujan 1997). El mayor valor conocido que viola la desigualdad es n = 5040 . En 1984, Guy Robin demostró que la desigualdad es verdadera para todos los n > 5040 si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera (Robin 1984). Este es el teorema de Robin y la desigualdad se hizo conocida después de él. Robin además demostró que si la hipótesis de Riemann es falsa entonces hay un número infinito de valores de n que violan la desigualdad, y se sabe que el más pequeño de tales n > 5040 debe ser superabundante (Akbary y Friggstad 2009). Se ha demostrado que la desigualdad se cumple para números enteros grandes impares y libres de cuadrados, y que la hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad solo para n divisible por la quinta potencia de un primo (Choie et al. 2007).

Robin también demostró, incondicionalmente, que la desigualdad:

se cumple para todos los n ≥ 3.

Jeffrey Lagarias propuso un límite relacionado en 2002, al demostrar que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

para cada número natural n > 1, donde es el n- ésimo número armónico , (Lagarias 2002).

Véase también

Notas

  1. ^ ab Long (1972, pág. 46)
  2. ^ Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág. 63)
  3. ^ Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág. 58)
  4. ^ Ramanujan, S. (1915), "Números altamente compuestos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , s2-14 (1): 347–409, doi :10.1112/plms/s2_14.1.347; véase la sección 47, págs. 405-406, reproducida en Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , Cambridge Univ. Press, 2015, págs. 124-125
  5. ^ abc Hardy y Wright (2008), págs. 310 y siguientes, §16.7.
  6. ^ Euler, Leonhard; Bell, Jordan (2004). "Una observación sobre las sumas de divisores". arXiv : math/0411587 .
  7. ^ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, Descubra una de las cosas más extraordinarias de los nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs
  8. ^ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/, De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium
  9. ^ Gioia y Vaidya (1967).
  10. ^ ab Hardy & Wright (2008), págs. 326–328, §17.5.
  11. ^ Hardy y Wright (2008), págs. 334–337, §17.8.
  12. ^ Hardy y Wright (2008), págs. 338–341, §17.10.
  13. ^ E. Krätzel (1981). Zahlentheorie . Berlín: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. pag. 130.(Alemán)
  14. ^ Apóstol (1976), pág. 296.
  15. ^ abc Hardy y Wright (2008), págs. 342–347, §18.1.
  16. ^ Apostol (1976), Teorema 3.3.
  17. ^ Hardy y Wright (2008), págs. 347–350, §18.2.
  18. ^ Hardy y Wright (2008), págs. 469–471, §22.9.

Referencias

Enlaces externos