Reflexión (matemáticas)

Mapeo de un espacio euclidiano a sí mismo

Una reflexión a través de un eje.

En matemáticas , una reflexión (también deletreada reflexión ) ^[1] es un mapeo de un espacio euclidiano a sí mismo que es una isometría con un hiperplano como un conjunto de puntos fijos ; este conjunto se llama eje (en dimensión 2) o plano (en dimensión 3) de reflexión. La imagen de una figura mediante un reflejo es su imagen especular en el eje o plano de reflexión. Por ejemplo, la imagen especular de la minúscula letra latina p para una reflexión con respecto a un eje vertical (una reflexión vertical ) se vería así q . Su imagen por reflexión en un eje horizontal (una reflexión horizontal ) se vería como b . Una reflexión es una involución : cuando se aplica dos veces seguidas, cada punto vuelve a su ubicación original y cada objeto geométrico vuelve a su estado original.

El término reflexión se utiliza a veces para una clase más amplia de asignaciones de un espacio euclidiano a sí mismo, es decir, las isometrías sin identidad que son involuciones. Tales isometrías tienen un conjunto de puntos fijos (el "espejo") que es un subespacio afín , pero posiblemente sea más pequeño que un hiperplano. Por ejemplo, una reflexión a través de un punto es una isometría involutiva con un solo punto fijo; la imagen de la letra p debajo se vería como una d . Esta operación también se conoce como inversión central (Coxeter 1969, §7.2) y muestra el espacio euclidiano como un espacio simétrico . En un espacio vectorial euclidiano , la reflexión en el punto situado en el origen es lo mismo que la negación vectorial. Otros ejemplos incluyen reflejos en una línea en un espacio tridimensional. Sin embargo, normalmente el uso incondicional del término "reflexión" significa reflexión en un hiperplano .

Algunos matemáticos utilizan " flip " como sinónimo de "reflexión". ^{[2] [3] [4]}

Construcción

El punto Q es la reflexión del punto P a través de la recta AB .

En una geometría plana (o, respectivamente, tridimensional), para encontrar la reflexión de un punto, coloque una perpendicular desde el punto a la línea (plano) utilizada para la reflexión y extiéndala la misma distancia en el otro lado. Para encontrar el reflejo de una figura, refleja cada punto de la figura.

Para reflejar el punto P a través de la línea AB usando compás y regla , proceda de la siguiente manera (ver figura):

• Paso 1 (rojo): construye un círculo con centro en P y un radio fijo r para crear los puntos A′ y B′ en la línea AB , que será equidistante de P.
• Paso 2 (verde): construye círculos centrados en A′ y B′ que tengan radio r . P y Q serán los puntos de intersección de estos dos círculos.

El punto Q es entonces la reflexión del punto P a través de la línea AB .

Propiedades

La matriz para una reflexión es ortogonal con determinante −1 y valores propios −1, 1, 1, ..., 1. El producto de dos de esas matrices es una matriz ortogonal especial que representa una rotación. Cada rotación es el resultado de reflejarse en un número par de reflexiones en hiperplanos a través del origen, y cada rotación impropia es el resultado de reflejarse en un número impar. Así, las reflexiones generan el grupo ortogonal , y este resultado se conoce como teorema de Cartan-Dieudonné .

De manera similar, el grupo euclidiano , que consta de todas las isometrías del espacio euclidiano, se genera mediante reflexiones en hiperplanos afines. En general, se conoce como grupo de reflexión a un grupo generado por reflexiones en hiperplanos afines . Los grupos finitos generados de esta manera son ejemplos de grupos de Coxeter .

Reflexión a través de una línea en el plano.

La reflexión a través de una línea arbitraria que pasa por el origen en dos dimensiones se puede describir mediante la siguiente fórmula

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}l-v,}$

donde denota el vector que se refleja, denota cualquier vector en la línea a través de la cual se realiza la reflexión y denota el producto escalar de con . Tenga en cuenta que la fórmula anterior también se puede escribir como ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v\cdot l}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

diciendo que una reflexión de a través es igual a 2 veces la proyección de sobre , menos el vector . Las reflexiones en una línea tienen los valores propios de 1 y −1. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v}$

Reflexión a través de un hiperplano en n dimensiones.

Dado un vector en el espacio euclidiano , la fórmula para la reflexión en el hiperplano a través del origen, ortogonal a , viene dada por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

donde denota el producto escalar de con . Tenga en cuenta que el segundo término de la ecuación anterior es solo el doble de la proyección vectorial de sobre . Uno puede comprobarlo fácilmente ${\displaystyle v\cdot a}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$

• Ref _a ( v ) = − v , si es paralelo a , y ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$
• Ref _a ( v ) = v , si es perpendicular a a . ${\displaystyle v}$

Usando el producto geométrico , la fórmula es

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

Dado que estas reflexiones son isometrías del espacio euclidiano que fijan el origen, pueden representarse mediante matrices ortogonales . La matriz ortogonal correspondiente a la reflexión anterior es la matriz

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

donde denota la matriz identidad y es la transpuesta de a. Sus entradas son ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle a^{T}}$

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

donde δ _ij es el delta de Kronecker .

La fórmula para la reflexión en el hiperplano afín que no pasa por el origen es ${\displaystyle v\cdot a=c}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.}$

Ver también

• Inverso aditivo
• Coordinar rotaciones y reflexiones.
• Transformación del jefe de familia
• Geometría inversa
• Plano de rotación
• Mapeo de reflexión
• Grupo de reflexión
• Simetría de reflexión

Notas

1. "Reflexión" es una ortografía arcaica
2. Childs, Lindsay N. (2009), Una introducción concreta al álgebra superior (3.ª ed.), Springer Science & Business Media, p. 251, ISBN 9780387745275
3. Gallian, Joseph (2012), Álgebra abstracta contemporánea (8ª ed.), Cengage Learning, p. 32, ISBN 978-1285402734
4. Isaacs, I. Martin (1994), Álgebra: un curso de posgrado, Sociedad Matemática Estadounidense, pág. 6, ISBN 9780821847992

Referencias

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, señor  0123930
• Popov, VL (2001) [1994], "Reflexión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Reflexión". MundoMatemático .

enlaces externos

• Reflexión en línea al cortar el nudo
• Comprensión de la reflexión 2D y comprensión de la reflexión 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .