Límite de Fraïssé

Método en lógica matemática

En lógica matemática , específicamente en la disciplina de teoría de modelos , el límite de Fraïssé (también llamado construcción de Fraïssé o amalgama de Fraïssé ) es un método utilizado para construir estructuras matemáticas (infinitas) a partir de sus subestructuras (finitas) . Es un ejemplo especial del concepto más general de límite directo en una categoría . ^[1] La técnica fue desarrollada en la década de 1950 por su homónimo, el lógico francés Roland Fraïssé . ^[2]

El objetivo principal de la construcción de Fraïssé es mostrar cómo se puede aproximar una estructura ( contable ) a partir de sus subestructuras finitamente generadas. Dada una clase de estructuras relacionales finitas , si satisface ciertas propiedades (descritas a continuación), entonces existe una estructura contable única , llamada límite de Fraïssé de , que contiene todos los elementos de como subestructuras . ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

El estudio general de los límites de Fraïssé y nociones relacionadas se denomina a veces teoría de Fraïssé . Este campo ha tenido amplias aplicaciones en otras partes de las matemáticas, incluidas la dinámica topológica , el análisis funcional y la teoría de Ramsey . ^[3]

Subestructuras y edad generadas finitamente

Arreglar un lenguaje . Por una estructura nos referimos a una estructura lógica que tiene una firma . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Dada una -estructura con dominio , y un subconjunto , usamos para denotar la menor subestructura de cuyo dominio contiene (es decir, el cierre de bajo todos los símbolos de función y constante en ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle \langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Se dice entonces que una subestructura de está finitamente generada si para algún subconjunto finito . ^[4] La edad de , denotada , es la clase de todas las subestructuras finitamente generadas de . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\langle A\rangle ^{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Se puede demostrar que cualquier clase que sea la edad de alguna estructura satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Propiedad hereditaria (HP)

Si y es una subestructura finitamente generada de , entonces es isomorfa a alguna estructura en . ${\displaystyle A\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Propiedad de incrustación conjunta (JEP)

Si , entonces existe tal que tanto como son incorporables en . ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle C\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Teorema de Fraïssé

Un diagrama conmutativo que ilustra la propiedad de amalgama.

Como se indicó anteriormente, notamos que para cualquier -estructura , satisface HP y JEP. Fraïssé demostró una especie de resultado inverso: cuando es cualquier conjunto numerable no vacío de -estructuras generadas finitamente que tiene las dos propiedades anteriores, entonces es la edad de alguna estructura numerable. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Age} ({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Además, supongamos que se satisfacen las siguientes propiedades adicionales. ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Propiedad de fusión (PA)

Para cualquier estructura , tal que existen incrustaciones , , existe una estructura e incrustaciones , tales que (es decir, coinciden en la imagen de A en ambas estructuras). ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to C}$ ${\displaystyle D\in \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f':B\to D}$ ${\displaystyle g':C\to D}$ ${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g}$

Responsabilidad esencial (CE)

Hasta el isomorfismo, existen un número contable de estructuras en . ${\displaystyle \mathbf {K} }$

En ese caso, decimos que K es una clase de Fraïssé , y hay una estructura única (salvo isomorfismo), contable y homogénea cuya edad es exactamente . ^[5] Esta estructura se llama límite de Fraïssé de . ${\displaystyle \operatorname {Flim} (\mathbf {K} )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Aquí, homogéneo significa que cualquier isomorfismo entre dos subestructuras generadas finitamente puede extenderse a un automorfismo de toda la estructura. ${\displaystyle \pi :A\to B}$ ${\displaystyle A,B\in \mathbf {K} }$

Ejemplos

El ejemplo arquetípico es la clase de todos los ordenamientos lineales finitos , para los cuales el límite de Fraïssé es un orden lineal denso sin puntos finales (es decir, sin elemento más pequeño ni más grande ). Por el teorema de isomorfismo de Cantor , hasta el isomorfismo, esto siempre es equivalente a la estructura , es decir, los números racionales con el ordenamiento habitual. ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Q} ,<\rangle }$

Como no-ejemplo, note que ni ni son el límite de Fraïssé de . Esto se debe a que, aunque ambos son contables y tienen como edad, ninguno es homogéneo. Para ver esto, considere las subestructuras y , y el isomorfismo entre ellas. Esto no se puede extender a un automorfismo de o , ya que no hay ningún elemento al que podamos mapear , mientras que aún conservamos el orden. ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle \mathbf {FCh} }$ ${\displaystyle {\big \langle }\{1,3\},<{\big \rangle }}$ ${\displaystyle {\big \langle }\{5,6\},<{\big \rangle }}$ ${\displaystyle 1\mapsto 5,\ 3\mapsto 6}$ ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,<\rangle }$ ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,<\rangle }$ ${\displaystyle 2}$

Otro ejemplo es la clase de todos los grafos finitos , cuyo límite de Fraïssé es el grafo de Rado . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {Gph} }$

Para cualquier primo p , el límite de Fraïssé de la clase de cuerpos finitos de característica p es la clausura algebraica . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$

El límite de Fraïssé de la clase de p -grupos abelianos finitos es (la suma directa de un número contable de copias del grupo de Prüfer ). El límite de Fraïssé de la clase de todos los grupos abelianos finitos es . ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{p{\text{ prime}}}\mathbb {Z} (p^{\infty })^{(\omega )}\simeq (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{(\omega )}}$

El límite de Fraïssé de la clase de todos los grupos finitos es el grupo universal de Hall .

El límite de Fraïssé de la clase de álgebras de Boole finitas no triviales es la única álgebra de Boole contable y sin átomos.

ω-categoricidad y eliminación de cuantificadores

La clase en consideración se llama uniformemente localmente finita si para cada , hay un límite uniforme en el tamaño de las estructuras (subestructuras de) generadas en . El límite de Fraïssé de es ω-categórico si y solo si es uniformemente localmente finito. ^[6] Si es uniformemente localmente finito, entonces el límite de Fraïssé de tiene eliminación de cuantificadores . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Si el lenguaje de es finito y consiste únicamente de relaciones y constantes, entonces es automáticamente finito localmente y de manera uniforme. ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

Por ejemplo, la clase de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo fijo es siempre una clase Fraïssé, pero es uniformemente localmente finita solo si el cuerpo es finito. La clase de álgebras booleanas finitas es uniformemente localmente finita, mientras que las clases de cuerpos finitos de una característica dada, o grupos finitos o grupos abelianos, no lo son, ya que las estructuras 1-generadas en estas clases pueden tener un tamaño finito arbitrariamente grande.

Véase también

• Teoría estructural de Ramsey
• Construcción de Hrushovski

Referencias

1. "El Café de la Categoría N". golem.ph.utexas.edu . Consultado el 8 de enero de 2020 .
2. Hodges, Wilfrid. (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.OCLC 468298248  .
3. Lupini, Martino (noviembre de 2018). «Límites de Fraïssé en el análisis funcional» (PDF) . Avances en Matemáticas . 338 : 93–174. doi : 10.1016/j.aim.2018.08.012 . ISSN  0001-8708.
4. Schlicht, Philipp (7 de enero de 2018). "Introducción a la teoría de modelos (apuntes de clase), Defn 2.2.1" (PDF) . Instituto de Matemáticas de la Universidad de Bonn .
5. Notas sobre grupos de permutación infinita . Bhattacharjee, M. (Meenaxi), 1965–. Berlín: Springer. 1998. ISBN 3-540-64965-4.OCLC 39700621  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: otros ( enlace )
6. Hodges, Wilfrid (11 de marzo de 1993). Model Theory. Cambridge University Press. pág. 350. doi :10.1017/cbo9780511551574. ISBN 978-0-521-30442-9.