Número de pacientes perfecto

En teoría de números , un número totiente perfecto es un número entero que es igual a la suma de sus totientes iterados . Es decir, se aplica la función totiente a un número n , se aplica nuevamente al totiente resultante, y así sucesivamente, hasta llegar al número 1, y se suman los números resultantes; si la suma es igual a n , entonces n es un número totiente perfecto.

Ejemplos

Por ejemplo, hay seis números enteros positivos menores que 9 y primos entre sí, por lo que el tociente de 9 es 6; hay dos números menores que 6 y primos entre sí, por lo que el tociente de 6 es 2; y hay un número menor que 2 y primo entre sí, por lo que el tociente de 2 es 1; y 9 = 6 + 2 + 1 , por lo que 9 es un número tociente perfecto.

Los primeros números perfectos de pacientes son

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471, 729 , 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... (secuencia A082897 en la OEIS ).

Notación

En símbolos se escribe

${\displaystyle \varphi ^{i}(n)={\begin{cases}\varphi (n),&{\text{ if }}i=1\\\varphi (\varphi ^{i-1}(n)),&{\text{ if }}i\geq 2\end{cases}}}$

para la función iterada totient. Entonces, si c es el entero tal que

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{c}(n)=2,}$

Se tiene que n es un número totiente perfecto si

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n).}$

Múltiplos y potencias de tres

Se puede observar que muchos totientes perfectos son múltiplos de 3; de hecho, 4375 es el número totiente perfecto más pequeño que no es divisible por 3. Todas las potencias de 3 son números totientes perfectos, como se puede ver por inducción usando el hecho de que

${\displaystyle \displaystyle \varphi (3^{k})=\varphi (2\times 3^{k})=2\times 3^{k-1}.}$

Venkataraman (1975) encontró otra familia de números totientes perfectos: si p = 4 × 3 ^k  + 1 es primo , entonces 3 p es un número totiente perfecto. Los valores de k que conducen a números totientes perfectos de esta manera son

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (secuencia A005537 en la OEIS ).

En términos más generales, si p es un número primo mayor que 3 y 3 p es un número totiente perfecto, entonces p ≡ 1 ( mod 4) (Mohan y Suryanarayana 1982). No todos los p de esta forma conducen a números totientes perfectos; por ejemplo, 51 no es un número totiente perfecto. Iannucci et al. (2003) demostraron que si 9 p es un número totiente perfecto, entonces p es un primo de una de las tres formas específicas enumeradas en su artículo. No se sabe si existen números totientes perfectos de la forma 3 ^k p donde p es primo y k > 3.

Referencias

• Pérez-Cacho Villaverde, Laureano (1939). "Sobre la suma de indicadores de órdenes sucesivas". Revista Matemática Hispano-Americana . 5 (3): 45–50.

• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números . Nueva York: Springer-Verlag. pág. §B41. ISBN. 0-387-20860-7.

• Iannucci, Douglas E.; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003). "Sobre números totientes perfectos" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 (4): 03.4.5. Bibcode :2003JIntS...6...45I. MR  2051959. Archivado desde el original (PDF) el 2017-08-12 . Consultado el 2007-02-07 .

• Luca, Florian (2006). "Sobre la distribución de los enteros perfectos" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 9 (4): 06.4.4. Bibcode :2006JIntS...9...44L. MR  2247943 . Consultado el 7 de febrero de 2007 .

• Mohan, AL; Suryanarayana, D. (1982). "Números perfectos de concientes". Teoría de números (Mysore, 1981) . Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag. págs. 101–105. MR  0665442.

• Venkataraman, T. (1975). "Número perfecto de concientes". The Mathematics Student . 43 : 178. MR  0447089.

• Hyvärinen, Tuukka (2015). "Täydelliset totienttiluvut". Tampere: Tampereen yliopisto.

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