Representación inducida

Proceso de extensión de una representación de un subgrupo al grupo padre

En teoría de grupos , la representación inducida es una representación de un grupo , G , que se construye utilizando una representación conocida de un subgrupo H. Dada una representación de H , la representación inducida es, en cierto sentido, la representación "más general" de G que extiende la dada. Dado que a menudo es más fácil encontrar representaciones del grupo más pequeño H que de G , la operación de formar representaciones inducidas es una herramienta importante para construir nuevas representaciones .

Las representaciones inducidas fueron definidas inicialmente por Frobenius para representaciones lineales de grupos finitos . La idea no se limita en modo alguno al caso de grupos finitos, pero la teoría en ese caso se comporta particularmente bien.

Construcciones

Algebraico

Sea G un grupo finito y H cualquier subgrupo de G. Además, sea ( π , V ) una representación de H. Sea n = [ G  : H ] el índice de H en G y sea g ₁ , ..., g _n un conjunto completo de representantes en G de las clases laterales izquierdas en G / H . La representación inducida Ind^G
_H Se puede pensar que π actúa en el siguiente espacio:

${\displaystyle W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.}$

Aquí cada g _i  V es una copia isomorfa del espacio vectorial V cuyos elementos se escriben como g _i  v con v ∈ V . Para cada g en G y cada g _i hay un h _i en H y j ( i ) en {1, ..., n } tal que g g _i = g _{j ( i )} h _i . (Esta es simplemente otra forma de decir que g ₁ , ..., g _n es un conjunto completo de representantes). A través de la representación inducida, G actúa sobre W como sigue:

${\displaystyle g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}}$

donde para cada i . ${\displaystyle v_{i}\in V}$

Alternativamente, se pueden construir representaciones inducidas por extensión de escalares : cualquier representación K- lineal del grupo H puede verse como un módulo V sobre el anillo de grupo K [ H ]. Podemos entonces definir ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.}$

Esta última fórmula también se puede utilizar para definir Ind^G
_H π para cualquier grupo G y subgrupo H , sin requerir ninguna finitud. ^[1]

Ejemplos

Para cualquier grupo, la representación inducida de la representación trivial del subgrupo trivial es la representación regular derecha . De manera más general, la representación inducida de la representación trivial de cualquier subgrupo es la representación de permutación en las clases laterales de ese subgrupo.

Una representación inducida de una representación unidimensional se denomina representación monomial , porque puede representarse como matrices monomiales . Algunos grupos tienen la propiedad de que todas sus representaciones irreducibles son monomiales, los llamados grupos monomiales .

Propiedades

Si H es un subgrupo del grupo G , entonces cada representación K -lineal ρ de G puede ser vista como una representación K -lineal de H ; esto se conoce como la restricción de ρ a H y se denota por Res(ρ) . En el caso de grupos finitos y representaciones de dimensión finita, el teorema de reciprocidad de Frobenius establece que, dadas representaciones σ de H y ρ de G , el espacio de aplicaciones lineales H -equivariantes de σ a Res( ρ ) tiene la misma dimensión sobre K que la de aplicaciones lineales G -equivariantes de Ind( σ ) a ρ . ^[2]

La propiedad universal de la representación inducida, que es válida también para grupos infinitos, es equivalente a la adjunción afirmada en el teorema de reciprocidad. Si es una representación de H y es la representación de G inducida por , entonces existe una función lineal H -equivariante con la siguiente propiedad: dada cualquier representación (ρ, W ) de G y función lineal H -equivariante , existe una función lineal G -equivariante única con . En otras palabras, es la función única que hace que el siguiente diagrama conmute : ^[3] ${\displaystyle (\sigma ,V)}$ ${\displaystyle (\operatorname {Ind} (\sigma ),{\hat {V}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle j:V\to {\hat {V}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {V}}\to W}$ ${\displaystyle {\hat {f}}j=f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

La fórmula de Frobenius establece que si χ es el carácter de la representación σ , dado por χ ( h ) = Tr σ ( h ) , entonces el carácter ψ de la representación inducida está dado por

${\displaystyle \psi (g)=\sum _{x\in G/H}{\widehat {\chi }}\left(x^{-1}gx\right),}$

donde la suma se toma sobre un sistema de representantes de los coconjuntos izquierdos de H en G y

${\displaystyle {\widehat {\chi }}(k)={\begin{cases}\chi (k)&{\text{if }}k\in H\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Analítico

Si G es un grupo topológico localmente compacto (posiblemente infinito) y H es un subgrupo cerrado , entonces existe una construcción analítica común de la representación inducida. Sea ( π , V ) una representación unitaria continua de H en un espacio de Hilbert V . Podemos entonces decir:

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ for all }}h\in H,\;g\in G{\text{ and }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}$

Aquí φ∈ L ² ( G / H ) significa: el espacio G / H tiene una medida invariante adecuada, y dado que la norma de φ( g ) es constante en cada clase lateral izquierda de H , podemos integrar el cuadrado de estas normas sobre G / H y obtener un resultado finito. El grupo G actúa sobre el espacio de representación inducido por traslación, es decir, ( g .φ)( x )=φ( g ⁻¹ x ) para g,x ∈ G y φ∈Ind^G
_H π .

Esta construcción suele modificarse de diversas maneras para adaptarse a las aplicaciones necesarias. Una versión común se denomina inducción normalizada y suele utilizar la misma notación. La definición del espacio de representación es la siguiente:

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.}$

Aquí Δ _G , Δ _H son las funciones modulares de G y H respectivamente. Con la adición de los factores normalizadores , este funtor de inducción convierte las representaciones unitarias en representaciones unitarias.

Otra variación de la inducción se denomina inducción compacta . Se trata simplemente de una inducción estándar restringida a funciones con soporte compacto . Formalmente se denota por ind y se define como:

${\displaystyle \operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi {\text{ has compact support mod }}H\right\}.}$

Tenga en cuenta que si G / H es compacto, entonces Ind e ind son el mismo funtor.

Geométrico

Supongamos que G es un grupo topológico y H es un subgrupo cerrado de G. Además, supongamos que π es una representación de H sobre el espacio vectorial V. Entonces , G actúa sobre el producto G × V de la siguiente manera:

${\displaystyle g.(g',x)=(gg',x)}$

donde g y g ′ son elementos de G y x es un elemento de V .

Definir en G × V la relación de equivalencia

${\displaystyle (g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ for all }}h\in H.}$

Denotemos la clase de equivalencia de por . Nótese que esta relación de equivalencia es invariante bajo la acción de G ; en consecuencia, G actúa sobre ( G × V )/~ . Este último es un fibrado vectorial sobre el espacio cociente G / H con H como grupo estructural y V como fibra. Sea W el espacio de secciones de este fibrado vectorial. Este es el espacio vectorial subyacente a la representación inducida Ind ${\displaystyle (g,x)}$ ${\displaystyle [g,x]}$ ${\displaystyle \phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim }$^G
_H π . El grupo G actúa sobre una seccióndada porla siguiente manera: ${\displaystyle \phi :G/H\to {\mathcal {L}}_{W}}$ ${\displaystyle gH\mapsto [g,\phi _{g}]}$

${\displaystyle (g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.}$

Sistemas de imprimicidad

En el caso de representaciones unitarias de grupos localmente compactos, la construcción de inducción puede formularse en términos de sistemas de imprimitividad .

Teoría de la mentira

En la teoría de Lie , un ejemplo extremadamente importante es la inducción parabólica : inducir representaciones de un grupo reductivo a partir de representaciones de sus subgrupos parabólicos . Esto conduce, a través de la filosofía de las formas cúspide , al programa de Langlands .

Véase también

• Representación restringida
• Realización no lineal
• Fórmula del carácter de Frobenius

Notas

1. Brown, Cohomología de grupos, III.5
2. Serre, Jean-Pierre (1926–1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0387901906.OCLC 2202385  .
3. Tesis 2.1 de Miller, Alison. "Matemáticas 221: notas de álgebra, 20 de noviembre". Archivado desde el original el 1 de agosto de 2018. Consultado el 1 de agosto de 2018 .

Referencias

• Alperin, JL ; Rowen B. Bell (1995). Grupos y representaciones . Springer-Verlag . págs. 164–177. ISBN 0-387-94526-1.
• Folland, GB (1995). Un curso de análisis armónico abstracto . CRC Press . Págs. 151–200. ISBN. 0-8493-8490-7.
• Kaniuth, E.; Taylor, K. (2013). Representaciones inducidas de grupos localmente compactos . Cambridge University Press . ISBN 9780521762267.
• Mackey, GW (1951), "Sobre representaciones inducidas de grupos", American Journal of Mathematics , 73 (3): 576–592, doi :10.2307/2372309, JSTOR  2372309
• Mackey, GW (1952), "Representaciones inducidas de grupos localmente compactos I", Annals of Mathematics , 55 (1): 101–139, doi :10.2307/1969423, JSTOR  1969423
• Mackey, GW (1953), "Representaciones inducidas de grupos localmente compactos II: el teorema de reciprocidad de Frobenius", Annals of Mathematics , 58 (2): 193–220, doi :10.2307/1969786, JSTOR  1969786
• Sengupta, Ambar N. (2012). "Capítulo 8: Representaciones inducidas". Representación de grupos finitos, una introducción semisimple. Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8.OCLC 875741967  .
• Varadarajan, VS (2007). "Capítulo VI: Sistemas de impricidad". Geometría de la teoría cuántica. Springer. ISBN 978-0-387-49385-5.