En matemáticas, específicamente en teoría de representaciones , la fórmula de Frobenius , introducida por G. Frobenius , calcula los caracteres de representaciones irreducibles del grupo simétrico S n . Entre otras aplicaciones, la fórmula se puede utilizar para derivar la fórmula de longitud del anzuelo .
Declaración
Sea el carácter de una representación irreducible del grupo simétrico correspondiente a una partición de n : y . Para cada partición de n , denotemos la clase de conjugación correspondiente a ella (cf. el ejemplo siguiente), y denotemos el número de veces que j aparece en (so ). Entonces la fórmula de Frobenius establece que el valor constante de on![{\displaystyle \chi _{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle S_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=\lambda _ {1}+\cdots +\lambda _ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+kj}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(\mu)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle S_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle i_ {j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{j}i_{j}j=n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C(\mu),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es el coeficiente del monomio en el polinomio homogéneo en variables![{\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \prod _{i<j}^{k}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k) })^{i_{j}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la -ésima suma de potencias ?![{\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo : Tomar . Sea y por tanto , , . Si ( ), que corresponde a la clase del elemento identidad, entonces es el coeficiente de en![{\displaystyle n=4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda :4=2+2=\lambda _ {1}+\lambda _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ell_{1}=3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ell_{2}=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{1}=4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) P_ {1} (x_ {1}, x_ {2}) ^ {4} = (x_ {1} -x_ {2}) (x_ {1} +x_{2})^{4}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es 2. De manera similar, si (la clase de 3 ciclos multiplicada por 1 ciclo) y , entonces , dado por![{\displaystyle \mu :4=3+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i_{1}=i_{3}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle (x_ {1}-x_ {2}) P_ {1} (x_ {1}, x_ {2}) P_ {3} (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} -x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es −1.
Para la representación de identidad, y . El carácter será igual al coeficiente de in , que es 1 para cualquiera como se esperaba.![{\displaystyle k=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda _{1}=n=\ell _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \prod _ {j}P_ {j} (x_ {1}) ^ {i_ {j}} = \ prod _ {j} x_ {1} ^ {i_ {j} j} = x_ {1} ^{\sum _{j}i_{j}j}=x_{1}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Análogos
Arun Ram da un q -análogo de la fórmula de Frobenius.
Ver también
Referencias
- Ram, Arun (1991). "Una fórmula de Frobenius para los caracteres de las álgebras de Hecke". Invenciones matemáticas . 106 (1): 461–488.
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR 1153249. OCLC 246650103.
- Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edicion. Monografías de matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x+475 págs. ISBN 0-19-853489-2 SEÑOR 1354144