En física matemática, la realización no lineal de un grupo de Lie G que posee un subgrupo H de Cartan es una representación inducida particular de G. De hecho, es una representación de un álgebra de Lie de G en una vecindad de su origen. Una realización no lineal, cuando se restringe al subgrupo H, se reduce a una representación lineal.![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una técnica de realización no lineal es parte integrante de muchas teorías de campo con ruptura espontánea de la simetría , por ejemplo, modelos quirales , ruptura de la simetría quiral , teoría del bosón de Goldstone , teoría clásica del campo de Higgs , teoría de la gravitación calibre y supergravedad .
Sea G un grupo de Lie y H su subgrupo de Cartan que admite una representación lineal en un espacio vectorial V. Un álgebra de Lie de G se divide en la suma de la subálgebra de Cartan de H y su suplemento , de modo que![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {f}}]\subset {\mathfrak {h}},\qquad [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {h}}]\ subconjunto {\mathfrak {f}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(En física, por ejemplo, hay generadores vectoriales y axiales).![{\displaystyle {\mathfrak {h}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Existe una vecindad abierta U de la unidad de G tal que cualquier elemento adopta de forma única la forma![{\displaystyle g\en U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g=\exp(F)\exp(I),\qquad F\in {\mathfrak {f}},\qquad I\in {\mathfrak {h}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea una vecindad abierta de la unidad de G tal que , y sea una vecindad abierta del centro invariante H del cociente G/H que consta de elementos![{\displaystyle U_{G}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{G}^{2}\subset U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle U_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma =g\sigma _{0}=\exp(F)\sigma _{0},\qquad g\in U_{G}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego hay una sección local de
más . ![{\displaystyle s(g\sigma _ {0})=\exp(F)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G\a G/H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle U_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Con esta sección local, se puede definir la representación inducida , llamada realización no lineal , de elementos dados por las expresiones![{\ Displaystyle g \ en U_ {G} \ subconjunto G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U_{0}\times V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g\exp(F)=\exp(F')\exp(I'),\qquad g:(\exp(F)\sigma _ {0},v)\to (\exp(F') )\sigma _{0},\exp(I')v).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La realización no lineal correspondiente de un álgebra de Lie de G toma la siguiente forma.![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sean , las bases de y , respectivamente, junto con las relaciones de conmutación![{\displaystyle \{F_{\alpha}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{I_{a}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [I_{a},I_{b}]=c_{ab}^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },F_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },I_{b}]=c_{\alpha b}^{\beta }F_{\beta }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces una realización no lineal deseada de lecturas![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}\times V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
![{\displaystyle F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })=\delta _{\alpha }^{\gamma }+{\frac {1}{12}}(c_{\alpha \mu }^ {\beta }c_{\beta \nu }^{\gamma }-3c_{\alpha \mu }^{b}c_{\nu b}^{\gamma })\sigma ^{\mu }\sigma ^ {\nu },\qquad I_{a}(\sigma ^{\gamma })=c_{a\nu }^{\gamma }\sigma ^{\nu },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
hasta el segundo orden en . ![{\displaystyle \sigma ^{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En los modelos físicos, los coeficientes se tratan como campos de Goldstone . De manera similar, se consideran realizaciones no lineales de superálgebras de Lie .![{\displaystyle \sigma ^{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Coleman, S.; Wess, J.; Zumino, Bruno (25 de enero de 1969). "Estructura de los lagrangianos fenomenológicos. I". Revisión física . 177 (5). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 2239–2247. Código bibliográfico : 1969PhRv..177.2239C. doi : 10.1103/physrev.177.2239. ISSN 0031-899X.
- José, A.; Salomón, AI (1970). "Transformaciones quirales no lineales globales e infinitesimales". Revista de Física Matemática . 11 (3). Publicación AIP: 748–761. Código bibliográfico : 1970JMP....11..748J. doi :10.1063/1.1665205. ISSN 0022-2488.
- Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. , Teoría de campos clásica avanzada , World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .