5

Número entero 5

Número natural

5 ( cinco ) es un número , numeral y dígito . Es el número natural , y número cardinal , que sigue al 4 y precede al 6 , y es un número primo . Ha llamado la atención a lo largo de la historia en parte porque las extremidades distales de los seres humanos suelen contener cinco dedos .

Evolución del dígito árabe

La evolución del dígito occidental moderno para el número 5 no se remonta al sistema indio , como ocurre con los dígitos del 1 al 4. Los imperios Kushana y Gupta en lo que hoy es India tenían entre sí varias formas que no se parecen en nada a las modernas. dígito. Los nagari y punjabi tomaron estos dígitos y a todos se les ocurrieron formas similares a una "h" minúscula girada 180°. Los árabes de Ghubar transformaron el dígito de varias maneras, produciendo que se pareciera más a los dígitos 4 o 3 que al 5. ^[1] Fue a partir de esos dígitos que a los europeos finalmente se les ocurrió el moderno 5.

Mientras que en la mayoría de las tipografías modernas la forma del carácter del dígito 5 tiene un ascendente , en las tipografías con cifras de texto el glifo suele tener un descendente , como, por ejemplo, en.

En la pantalla de siete segmentos de una calculadora y un reloj digital, está representado por cinco segmentos en cuatro vueltas sucesivas de arriba a abajo, girando primero en el sentido contrario a las agujas del reloj, luego en el sentido de las agujas del reloj y viceversa. Es uno de los tres números, junto con el 4 y el 6, donde el número de segmentos coincide con el número.

Matemáticas

La primera terna pitagórica , con hipotenusa de ${\displaystyle 5}$

Cinco es el tercer número primo más pequeño y el segundo superprimo . ^[2] Es el primer primo seguro , ^[3] el primer primo bueno , ^[4] el primer primo equilibrado , ^[5] y el primero de tres primos de Wilson conocidos . ^[6] El cinco es el segundo primo de Fermat , ^[2] el segundo primo de Proth , ^[7] y el tercer exponente primo de Mersenne , ^[8] así como el tercer número catalán ^[9] y el tercer primo de Sophie Germain . ^[2] Cabe destacar que 5 es igual a la suma de los únicos primos consecutivos 2 + 3 y es el único número que forma parte de más de un par de primos gemelos , ( 3 , 5) y (5, 7 ). ^{[10] [11]} También forma el primer par de primos sexys con 11 , ^[12] que es el quinto número primo y el número de Heegner , ^[13] así como el primer primo repunit en decimal ; una base en la que cinco es también el primer número automórfico 1 no trivial . ^[14] Cinco es el tercer factorial primo , ^[15] y un factorial alterno . ^[16] También es un primo de Eisenstein (como 11) sin parte imaginaria y con parte real de la forma . ^[2] En particular, cinco es el primer número congruente , ya que es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados entero más pequeño . ^[17] ${\displaystyle 3p-1}$

Teoría de los números

5 es el quinto número de Fibonacci , siendo 2 más 3, ^[2] y el único número de Fibonacci que es igual a su posición aparte de 1 (que también es el segundo índice). Cinco es también un número de Pell y un número de Markov , que aparece en las soluciones de la ecuación diofántica de Markov: (1, 2, 5), (1, 5, 13 ), (2, 5, 29 ), (5, 13, 194 ). ), (5, 29, 433), ... ( OEIS : A030452 enumera los números de Markov que aparecen en soluciones donde uno de los otros dos términos es 5). En la secuencia de Perrin, el 5 es el quinto y el sexto número de Perrin . ^[18]

5 es el segundo número primo de Fermat de la forma y, más generalmente, el segundo número de Sierpiński de la primera especie . ^[19] Hay un total de cinco primos de Fermat conocidos, que también incluyen 3 , 17 , 257 y 65537 . ^[20] La suma de los primeros tres primos de Fermat, 3, 5 y 17, produce 25 o 5 ² , mientras que 257 es el 55º número primo. Las combinaciones de estos cinco números primos de Fermat generan treinta y un polígonos con un número impar de lados que se pueden construir únicamente con un compás y una regla , que incluye el pentágono regular de cinco lados . ^{[21] [22] : págs.137–142} A propósito, treinta y uno también es igual a la suma del número máximo de áreas dentro de un círculo que se forman a partir de los lados y diagonales de los primeros polígonos de cinco lados , que es igual al número máximo de áreas formadas por un polígono de seis lados; según el problema del círculo de Moser . ^{[23] [22] : págs.76–78} ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle n^{n}+1}$ ${\displaystyle n}$

5 es también el tercer exponente primo de Mersenne de la forma , lo que produce , el undécimo número primo y el quinto superprimo . ^{[24] [25] [2]} Este es el índice primo del tercer primo de Mersenne y del segundo primo doble de Mersenne 127 , ^[26] así como el tercer exponente primo doble de Mersenne para el número 2.147.483.647 , ^[26] que es el mayor valor que puede contener un campo entero de 32 bits con signo . Sólo hay cuatro números primos dobles de Mersenne conocidos, con un quinto candidato doble primo de Mersenne = 2 ^{23058...93951} − 1 demasiado grande para calcularlo con las computadoras actuales. En una secuencia relacionada, los primeros cinco términos de la secuencia de números catalán-Mersenne son los únicos términos primos conocidos, con un sexto candidato posible del orden de 10 ^{10 37,7094} . Se conjetura que estas secuencias primarias son primarias hasta cierto límite. ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 31}$ ${\displaystyle M_{M_{61}}}$ ${\displaystyle M_{c_{n}}}$

Hay un total de cinco números unitarios perfectos conocidos , que son números que son la suma de sus divisores unitarios propios positivos . ^{[27] [28]} El número más pequeño es 6, y el mayor de ellos es equivalente a la suma de 4095 divisores, donde 4095 es el mayor de cinco números de Ramanujan-Nagell que son números triangulares y números de Mersenne de forma general. . ^{[29] [30]} Las sumas de los primeros cinco números no primos mayores que cero 1 + 4 + 6 + 8 + 9 y los primeros cinco números primos 2 + 3 + 5 + 7 + 11 son ambos iguales a 28 ; el séptimo número triangular y como 6 un número perfecto , que también incluye 496 , el trigésimo primer número triangular y número perfecto de la forma ( ) con a de , por el teorema de Euclides-Euler . ^{[31] [32] [33]} Dentro de la familia más grande de números Ore , 140 y 496, respectivamente el cuarto y sexto miembro indexado , ambos contienen un conjunto de divisores que producen medias armónicas enteras iguales a 5. ^{[34] [35]} El quinto primo de Mersenne, 8191 , ^[25] se divide en 4095 y 4096 , siendo este último el quinto número superperfecto ^[36] y la sexta potencia de cuatro, 4 ⁶ . ${\displaystyle 2^{p-1}}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 5}$

números figurados

En números figurados , 5 es un número pentagonal , con la secuencia de números pentagonales comenzando: 1, 5 , 12, 22, 35, ... ^[37]

• 5 es un número tetraédrico centrado : 1, 5 , 15, 35, 69, ... ^[38] Todo número tetraédrico centrado con un índice de 2, 3 o 4 módulo 5 es divisible por 5.
• 5 es un número piramidal cuadrado : 1, 5 , 14, 30, 55, ... ^[39] Los primeros cuatro miembros suman 50 mientras que el quinto miembro indexado de la secuencia es 55 .
• 5 es un número cuadrado centrado : 1, 5 , 13, 25, 41, ... ^[40] El quinto número cuadrado o 5 ² es 25 , que presenta las proporciones de los dos más pequeños (3, 4, 5 ) y ( 5 , 12, 13) ternas pitagóricas primitivas . ^[41]

El factorial de cinco es perfecto multiplicado como 28 y 496. ^[42] Es la suma de los primeros quince enteros positivos distintos de cero y el decimoquinto número triangular , que a su vez es la suma de los primeros cinco enteros positivos distintos de cero y Quinto número triangular. Además, donde 125 es el segundo número que tiene una suma alícuota de 31 (después de la quinta potencia de dos , 32). ^[43] Por sí solo, 31 es el primer número pentagonal centrado , ^[44] y el quinto número triangular centrado . ^[45] En conjunto, cinco y treinta y uno generan una suma de 36 (el cuadrado de 6 ) y una diferencia de 26 , que es el único número que se encuentra entre un cuadrado y un cubo (respectivamente, 25 y 27 ). ^{[46] El quinto} número pentagonal y tetraédrico es 35 , que es igual a la suma de los primeros cinco números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15. ^[47] En la secuencia de números pentatópicos que comienzan desde el primero ( o quinta) celda de la quinta fila del triángulo de Pascal (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), los primeros términos son: 1, 5, 15, 35, 70 , 126, 210, 330, 495, ... ^{[ 48]} Los primeros cinco miembros de esta secuencia suman 126 , que también es el sexto número piramidal pentagonal ^[49] , así como el quinto número perfecto de Granville . ^[50] Este es el tercer número de Granville que no es perfecto , y el único número conocido con tres factores primos distintos. ^[51] ${\displaystyle 5!=120}$ ${\displaystyle 120+5=125=5^{3}}$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle b^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

55 es el decimoquinto biprimo discreto , ^[52] igual al producto entre 5 y el quinto primo y el tercer superprimo 11 . ^[2] Estos dos números también forman el segundo par (5, 11) de números marrones tal quedonde cinco es también el segundo número que pertenece al primer par ( 4 , 5); en total, sólo se necesitan cinco números distintos (4, 5, 7, 11 y 71) para generar el conjunto de pares conocidos de números marrones, donde el tercer y mayor par es ( 7 , 71 ). ^{[53] [54]} Cincuenta y cinco es también el décimo número de Fibonacci , ^[55] cuya suma de dígitos también es 10 , en su representación decimal . Es el décimo número triangular y el cuarto que es doblemente triangular , ^[56] el quinto número heptagonal ^[57] y el cuarto número nonagonal centrado , ^[58] y como se mencionó anteriormente, el quinto número piramidal cuadrado. ^[39] La secuencia de triangularesque son potencias de 10 es: 55, 5050 , 500500 , ... ^[59] 55 en base diez es también el cuarto número de Kaprekar al igual que todos los números triangulares que son potencias de diez, que inicialmente incluye 1 , 9 y 45 , ^[60] siendo el cuarenta y cinco el noveno número triangular donde 5 se encuentra a medio camino entre 1 y 9 en la secuencia de números naturales . 45 también es conjeturado por el número de Ramsey , ^{[61] [62]} y es un número de Schröder-Hipparchus ; el siguiente y quinto número es 197 , el cuadragésimo quinto número primo ^[24] que representa el número de formas de diseccionar un heptágono en polígonos más pequeños insertando diagonales . ^{[63] Un} pentágono convexo de cinco lados, por otro lado, tiene once formas de subdividirse de esa manera. ^[a] ${\displaystyle (n,m)}$ ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(5,5)}$

figuras magicas

El cuadrado mágico más pequeño y no trivial

5 es el valor de la celda central del primer cuadrado mágico normal no trivial , llamado cuadrado Luoshu . Su matriz tiene una constante mágica de , donde las sumas de sus filas, columnas y diagonales son todas iguales a quince. ^[64] Por otro lado, un cuadrado mágico normal ^[b] tiene una constante mágica de , donde 5 y 13 son los dos primeros primos de Wilson . ^[4] El quinto número que devuelve la función de Mertens es 65 , ^[65] contando el número de enteros sin cuadrados hasta con un número par de factores primos , menos el recuento de números con un número impar de factores primos. 65 es el decimonoveno biprimo con distintos factores primos, ^[52] con una suma alícuota de 19 también ^[43] y equivalente a 1 ⁵ + 2 ⁴ + 3 ³ + 4 ² + 5 ¹ . ^[66] También es la constante mágica del Problema de Queens para , ^[67] el quinto número octogonal , ^[68] y el número de Stirling de segunda especie que representa sesenta y cinco formas de dividir un conjunto de seis objetos en cuatro no -subconjuntos vacíos . ^[69] 13 y 5 son también el cuarto y tercer número de Markov , respectivamente, donde el sexto miembro de esta secuencia ( 34 ) es la constante mágica de un octagrama mágico normal y un cuadrado mágico. ^[70] Entre estos tres números de Markov se encuentra el décimo número primo 29 ^[24] que representa el número de pentacubos cuando las reflexiones se consideran distintas; este número es también el quinto primo de Lucas después de 11 y 7 (donde el primer primo que no es primo de Lucas es 5, seguido de 13). ^[71] Una constante mágica de 505 es generada por un cuadrado mágico normal, ^[70] donde 10 es el quinto compuesto . ^[72] ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathrm {M} }$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 5\times 5}$ ${\displaystyle \mathrm {M} }$ ${\displaystyle 65=13\times 5}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle S(6,4)}$ ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle 10\times 10}$

5 es también el valor de la celda central, el único hexágono mágico normal no trivial hecho de diecinueve celdas. ^{[73] [c]} Donde la suma entre las constantes mágicas de este hexágono mágico normal de orden 3 ( 38 ) y el cuadrado mágico normal de orden 5 (65) es 103 : el índice primo del tercer primo de Wilson 563 es igual al suma de los tres pares de números marrones: su diferencia es 27, que en sí es el índice primo de 103. ^[24] En base diez, 15 y 27 son los únicos números de dos dígitos que son iguales a la suma entre sus dígitos (inclusive , es decir, 2 + 3 + ... + 7 = 27), con estos dos números consecutivos perfectos después de 3 y 9 . ^[74] 103 es el quinto primo irregular ^[75] que divide al numerador (236364091) del vigésimo cuarto número de Bernoulli , y como tal forma parte del octavo par irregular (103, 24). ^[76] En una matriz bidimensional, el número de particiones planas con una suma de cuatro es igual a trece y el número de dichas particiones con una suma de cinco es veinticuatro, ^[77] un valor igual a la suma- de divisores del noveno número aritmético 15 ^[78] cuyos divisores también producen una media aritmética entera de 6 ^[79] (junto con una suma alícuota de 9). ^{[43] El valor más pequeño que puede tener la constante mágica de un} pentagrama mágico de cinco puntas usando números enteros distintos es 24. ^{[80] [d]} ${\displaystyle B_{24}}$

Conjetura de Collatz

En el problema de Collatz 3 x + 1 , 5 requiere cinco pasos para llegar a uno multiplicando los términos por tres y sumando uno si el término es impar (comenzando con cinco), y dividiendo por dos si son pares: {5 ➙ 16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}; el único otro número que requiere cinco pasos es 32, ya que 16 debe ser parte de dicho camino (consulte ^[e] para ver un mapa de órbitas para números impares pequeños). ^{[81] [82]}

Específicamente, 120 necesita quince pasos para llegar a 5: { 120 ➙ 60 ➙ 30 ➙ 15 ➙ 46 ➙ 23 ➙ 70 ➙ 35 ➙ 106 ➙ 53 ➙ 160 ➙ 80 ➙ 40 ➙ 20 ➙ 10 ➙ 5 }. Estos comprenden un total de dieciséis números antes de recorrer {16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}, donde 16 es el número más pequeño con exactamente cinco divisores, ^[83] y uno de los dos únicos números que tienen una suma alícuota de 15 . el otro es 33 . ^[43] De lo contrario, la trayectoria de 15 requiere diecisiete pasos para llegar a 1, ^[82] donde su trayectoria reducida de Collatz es igual a cinco al contar los pasos {23, 53, 5, 2, 1} que son primos, incluido 1. ^[84] En general, trece números en el mapa de Collatz para 15 de regreso a 1 son compuestos , ^[81] donde el primo más grande en la trayectoria de 120 de regreso a {4 ➙ 2 ➙ 1 ➙ 4 ➙ ...} es el decimosexto primo número, 53 . ^[24]

Al generalizar la conjetura de Collatz a todos los números enteros positivos o negativos , −5 se convierte en uno de los cuatro posibles puntos de inicio y fin del ciclo conocidos y, en su caso, también en cinco pasos: {−5 ➙ −14 ➙ −7 ➙ −20 ➙ − 10 ➙ −5 ➙ ...}. Los otros ciclos posibles comienzan y terminan en -17 en dieciocho pasos, -1 en dos pasos y 1 en tres pasos. Este comportamiento es análogo al ciclo de trayectoria de cinco en el problema 3 x − 1 , donde 5 toma cinco pasos para regresar cíclicamente, en este caso multiplicando términos por tres y restando 1 si los términos son impares, y también dividiéndolos a la mitad si son pares. ^[85] También es el primer número que genera un ciclo que no es trivial (es decir, 1 ➙ 2 ➙ 1 ➙ ...). ^[86]

Generalizaciones

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Es el 5 el único número impar intocable?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Se conjetura que cinco es el único número impar intocable , y si este es el caso, entonces cinco será el único número primo impar que no es la base de un árbol alícuota. ^[87] Mientras tanto:

• Cada número impar mayor que es la suma de como máximo cinco números primos, ^[88] y ${\displaystyle 1}$
• Se conjetura que todo número impar mayor que puede expresarse como la suma de tres números primos. Helfgott ha proporcionado una prueba de esto ^[89] (también conocida como la extraña conjetura de Goldbach ) que ya es ampliamente reconocida por los matemáticos, ya que aún se encuentra bajo revisión por pares . ${\displaystyle 5}$

Como consecuencia del pequeño teorema de Fermat y el criterio de Euler , todos los cuadrados son congruentes con , 1 , 4 (o −1 ) módulo 5. ^[90] En particular, todos los números enteros se pueden expresar como la suma de cinco cuadrados distintos de cero . ^{[91] [92]} ${\displaystyle n\geq 34}$

Respecto al problema de Waring , donde todo número natural es la suma de como máximo treinta y siete quintas potencias . ^{[93] [94]} ${\displaystyle g(5)=37}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Hay cinco clases de permutaciones de Ramsey contablemente infinitas , donde la edad de cada permutación homogénea contable forma una clase de objetos de Ramsey individual de modo que, para cada número natural y cada elección de objetos , no hay ningún objeto en el que haya coloración de todos los subobjetos. de isomorfo a existe un subobjeto monocromático isomorfo a . ^{[95] : pp.1, 2} Aparte de , las cinco clases de permutaciones de Ramsey son las clases de: ^{[95] : p.4} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A,B\in K}$ ${\displaystyle C\in K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{1\}}$

• Permutaciones y reversiones de identidad
• Secuencias crecientes de secuencias decrecientes y secuencias decrecientes de secuencias crecientes
• Todas las permutaciones

En general, el límite de Fraïssé de una clase de estructura relacional finita es la edad de una estructura relacional homogénea contable si y sólo si se cumplen cinco condiciones para : es cerrado bajo isomorfismo , tiene sólo un número contable de clases de isomorfismo , es hereditario , está incrustado en una junta y posee la propiedad de amalgama . ^{[95] : pág.3} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$

Las ecuaciones polinómicas de grado 4 e inferiores se pueden resolver con radicales, mientras que las ecuaciones quínticas de grado 5 y superiores generalmente no se pueden resolver de esa manera (ver teorema de Abel-Ruffini ). Esto está relacionado con el hecho de que el grupo simétrico es un grupo que se puede resolver para ⩽ y no para ⩾ . ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$

En la clasificación general de los sistemas numéricos , los números reales y sus tres construcciones posteriores de álgebras de Cayley-Dickson sobre el campo de los números reales (es decir, los números complejos , los cuaterniones y los octoniones ) son álgebras de división normadas que contienen hasta cinco diferentes propiedades algebraicas principales de interés: si las álgebras están ordenadas y si tienen propiedades multiplicativas conmutativas , asociativas , alternativas y asociativas en potencia . ^[96] Mientras que los números reales contienen las cinco propiedades, los octoniones son sólo alternativos y asociativos en potencia. En comparación, los sedeniones , que representan una quinta álgebra de esta serie, no es un álgebra de composición a diferencia de y , es solo asociativa de potencia y es la primera álgebra que contiene divisores de cero no triviales como ocurre con todas las álgebras posteriores sobre campos más grandes. ^[97] En total, estas cinco álgebras operan, respectivamente, sobre campos de dimensión 1, 2, 4, 8 y 16. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Geometría

Un pentagrama , o poligrama de cinco puntas , es el primer polígono estelar propio construido a partir de las diagonales de un pentágono regular como aristas que se cruzan entre sí y que están proporcionadas en proporción áurea . Su geometría interna aparece de manera prominente en los mosaicos de Penrose , y es una faceta dentro de los poliedros de las estrellas Kepler-Poinsot y de la policora de las estrellas Schläfli-Hess , representada por su símbolo de Schläfli {5/2} . Una figura similar al pentagrama es una estrella isotoxal simple de cinco puntas ☆ sin bordes que se intersequen. A menudo se encuentra como una faceta dentro de los azulejos islámicos Girih , de los cuales existen cinco tipos rudimentarios diferentes. ^[98] Generalmente, los politopos estelares que son regulares solo existen en dimensiones ⩽ < , y se pueden construir usando cinco reglas de Miller para poliedros estrellados o politopos de dimensiones superiores . ^[99] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$

Teoría de grafos y geometría plana.

En teoría de grafos , todas las gráficas con cuatro o menos vértices son planas , sin embargo, hay una gráfica con cinco vértices que no lo es: K ₅ , la gráfica completa con cinco vértices, donde cada par de vértices distintos en un pentágono está unido por un único aristas pertenecientes a un pentagrama. Según el teorema de Kuratowski , un gráfico finito es plano si no contiene un subgrafo que sea una subdivisión de K ₅ , o el gráfico de utilidad bipartito completo K _3,3 . ^[100] Un gráfico similar es el gráfico de Petersen , que está fuertemente conectado y también es no plano . Se describe más fácilmente como el gráfico de un pentagrama incrustado dentro de un pentágono, con un total de 5 cruces , una circunferencia de 5 y un número de Thue de 5. ^{[101] [102]} El gráfico de Petersen, que también es un gráfico de distancia gráfico regular , es uno de los cinco gráficos transitivos de vértices conectados conocidos sin ciclos hamiltonianos . ^[103] El grupo de automorfismos del gráfico de Petersen es el grupo simétrico de orden 120 = 5!. ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$

El número cromático del plano es al menos cinco, dependiendo de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos : el número mínimo de colores necesarios para colorear el plano de modo que ningún par de puntos a una distancia de 1 tenga el mismo color. ^{[104] [105]} Mientras que el gráfico hexagonal de Golomb y el mosaico hexagonal regular generan números cromáticos de 4 y 7, respectivamente, se puede lograr una coloración cromática de 5 en un gráfico más complicado donde se vinculan múltiples husos Moser de cuatro colores de modo que no existen ternas monocromáticas en ningún color del gráfico general, ya que eso generaría una disposición equilátera que tiende hacia una estructura puramente hexagonal .

El plano también contiene un total de cinco redes de Bravais , o conjuntos de puntos definidos por operaciones de traslación discretas : redes hexagonales , oblicuas , rectangulares , rectangulares centradas y cuadradas . Además, los mosaicos uniformes del plano se generan a partir de combinaciones de sólo cinco polígonos regulares: el triángulo , el cuadrado , el hexágono , el octágono y el dodecágono . ^[106] El plano también se puede revestir monoédricamente con pentágonos convexos de quince maneras diferentes, tres de las cuales tienen mosaicos de Laves como casos especiales. ^[107]

poliedros

Ilustración de Leonardo da Vinci de un dodecaedro regular , de Divina proporcionale de Luca Pacioli

Hay cinco sólidos platónicos en el espacio tridimensional que son regulares : el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. ^[108] El dodecaedro en particular contiene caras pentagonales , mientras que el icosaedro , su poliedro dual , tiene una figura de vértice que es un pentágono regular. Estos cinco sólidos regulares son los encargados de generar trece figuras que clasifican como semirregulares , las cuales reciben el nombre de sólidos de Arquímedes . También hay cinco:

• Compuestos de poliedros regulares : el compuesto de cinco tetraedros , el compuesto de diez tetraedros, el compuesto de cinco cubos, el compuesto de cinco octaedros y la stella octangula . ^[109] La simetría icosaédrica es isomorfa al grupo alterno de cinco letras de orden 120 , realizada mediante acciones sobre estos compuestos poliédricos uniformes (aparte del compuesto regular de dos tetraedros). Los quince planos especulares pasan por los bordes de un compuesto esférico regular de cinco octaedros , cuyos conjuntos de tres grandes círculos ortogonales utilizan cinco colores. ^{[f] [110] [111]} ${\displaystyle \mathrm {I} _{h}}$ ${\displaystyle \mathrm {A} _{5}}$ ${\displaystyle \mathrm {I} _{h}}$
• Poliedros convexos que llenan el espacio con caras regulares: el prisma triangular, el prisma hexagonal , el cubo, el octaedro truncado y el girobifastigium . ^[112] El cubo es el único sólido platónico que puede teselar el espacio por sí solo, y el octaedro truncado y el girobifastigium son los únicos sólidos de Arquímedes y Johnson , respectivamente, que pueden teselar el espacio con sus propias copias.
• Paraleloedro transitivo de células : cualquier paralelepípedo , así como el dodecaedro rómbico , el dodecaedro alargado , el prisma hexagonal y el octaedro truncado. ^[113] El cubo es un caso especial de paralelepípedo, y el dodecaedro rómbico (con cinco estelaciones según las reglas de Miller ) es el único sólido catalán que tesela el espacio por sí solo. ^[114]
• Poliedros abstractos regulares , que incluyen el dodecaedro excavado y el dodecaedro . ^[115] Tienen simetrías combinatorias transitivas en banderas de sus elementos, con topologías equivalentes a la de los toroides y la capacidad de mosaico del plano hiperbólico .

Además, el quinto número piramidal pentagonal representa el número total de poliedros compuestos uniformes indexados , ^[109] que incluye siete familias de prismas y antiprismas . Setenta y cinco es también el número de poliedros uniformes no prismáticos , que incluye los sólidos platónicos, los sólidos de Arquímedes y los poliedros estelares ; También hay precisamente cinco prismas y antiprismas uniformes que contienen pentágonos o pentagramas como caras: el prisma y antiprisma pentagonal , y el prisma , antiprisma y antiprisma cruzado pentagramático . ^[116] En total, hay veinticinco poliedros uniformes que generan policoras uniformes de cuatro dimensiones , son los cinco sólidos platónicos, quince sólidos de Arquímedes contando dos formas enantiomórficas , y cinco prismas asociados: el triangular , pentagonal , hexagonal , octogonal , y prismas decagonales . ${\displaystyle 75=15\times 5}$

Cuarta dimensión

El policorón regular de cuatro dimensiones de 5 celdas es el más simple .

El pentatopo , o de 5 células, es el análogo cuatridimensional autodual del tetraedro , con simetría de grupo de Coxeter de orden 120 = 5 . y estructura del grupo . Formado por cinco tetraedros, su polígono de Petrie es un pentágono regular y su proyección ortográfica equivale al grafo completo K ₅ . Es uno de los seis 4 politopos regulares , formados por treinta y un elementos : cinco vértices , diez aristas , diez caras , cinco celdas tetraédricas y una 4 caras . ^{[117] : pág.120} ${\displaystyle \mathrm {A} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$

• En un policorón normal de 120 celdas , el policorón dual del de 600 celdas normal , pueden caber ciento veinte de 5 celdas. Además, cinco de 24 celdas caben dentro de una pequeña estrellada de 120 celdas , la primera estelación de las 120 celdas.
  Un subconjunto de los vértices de la pequeña estrella de 120 células coincide con la gran estrella duoantiprisma, que es la única solución duoantiprismática no convexa uniforme en la cuarta dimensión, construida a partir del producto cartesiano del politopo y hecha de cincuenta tetraedros , diez antiprismas cruzados pentagramáticos . diez antiprismas pentagonales y cincuenta vértices. ^{[117] : pág.124} ${\displaystyle \{5\}\otimes \{5/3\}}$
• El gran antiprisma , que es la única construcción no wythoffiana conocida de un policorón uniforme, está formado por veinte antiprismas pentagonales y trescientos tetraedros, con un total de cien vértices y quinientas aristas. ^[118]
• Las 57 células abstractas de cuatro dimensiones están formadas por cincuenta y siete células hemicoaédricas , de las cuales cinco rodean cada borde. ^[119] El de 11 celdas , otro politopo abstracto de 4 con once vértices y cincuenta y cinco aristas, está formado por once celdas hemidodecaédricas, cada una con quince aristas. ^[120] El esqueleto del hemidodecaedro es el gráfico de Petersen .

En general, la cuarta dimensión contiene cinco grupos de Weyl fundamentales que forman un número finito de policoras uniformes basadas en sólo veinticinco poliedros uniformes: , , , y , acompañados por un quinto o sexto grupo general de 4 prismas únicos de Platón y Arquímedes. sólidos. También hay un total de cinco grupos de Coxeter que generan panales euclidianos no prismáticos en 4 espacios, junto con cinco grupos de Coxeter hiperbólicos compactos que generan cinco panales hiperbólicos compactos regulares con facetas finitas , como ocurre con el panal de 5 celdas de orden 5 y el orden-5 panal de 120 celdas , los cuales tienen cinco celdas alrededor de cada cara. Los panales hiperbólicos compactos solo existen hasta la cuarta dimensión, o rango 5 , y las soluciones hiperbólicas paracompactas existen hasta el rango 10. Asimismo, los análogos de la simetría hexadecacórica o icositetracórica de cuatro dimensiones no existen en las dimensiones ⩾ ; sin embargo, hay grupos prismáticos en la quinta dimensión que contienen prismas de 4 politopos regulares y uniformes que tienen simetría . También hay cinco 4 politopos proyectivos regulares en la cuarta dimensión, todos los cuales son hemipolitopos de los 4 politopos regulares, con la excepción del de 5 celdas. ^[121] Sólo existen dos politopos proyectivos regulares en cada espacio dimensional superior. ${\displaystyle \mathrm {A} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{4}}$

El polígono fundamental de la curva de Bring es un icoságono hiperbólico regular de veinte lados .

En particular, la superficie de Bring es la curva en el plano proyectivo que está representada por las ecuaciones homogéneas : ^[122] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

${\displaystyle v+w+x+y+z=v^{2}+w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=v^{3}+w^{3}+x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.}$

Posee el grupo de automorfismos más grande posible de una curva compleja del género cuatro , con estructura de grupo . Se trata de la superficie de Riemann asociada al pequeño dodecaedro estrellado , cuyo polígono fundamental es un icoságono hiperbólico regular , con un área de (según el teorema de Gauss-Bonnet ). Incluyendo reflexiones, su grupo completo de simetrías es , de orden 240 ; que es también el número de (2,4,5) triángulos hiperbólicos que teselan su polígono fundamental. Bring quintic tiene raíces que satisfacen la curva de Bring. ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$ ${\displaystyle 12\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}\times \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle x^{5}+ax+b=0}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Quinta dimensión

El 5-símplex o hexaterón es el análogo de cinco dimensiones del 5-celdas o 4-símplex. ¡Tiene el grupo de Coxeter como grupo de simetría, de orden 720 = 6 ! , cuya estructura de grupo está representada por el grupo simétrico , el único grupo simétrico finito que tiene un automorfismo externo . El 5-cubo , formado por diez teseractos y la 5-celda como figura de vértice, también es regular y uno de los treinta y un 5-politopos uniformes bajo el grupo hipercúbico de Coxeter . El demipenteracto , con ciento veinte celdas , es el único politopo semirregular de quinta dimensión , y tiene como figura de vértice el de 5 celdas rectificado , que es uno de los tres únicos politopos de 4 semirregulares junto al rectificado de 600-. celular y el desaire de 24 celdas . En la quinta dimensión, existen cinco panales paracompactos regulares, todos con infinitas facetas y figuras de vértices ; No existen otros panales paracompactos regulares en dimensiones superiores. ^[123] También hay exclusivamente doce aperiotopos complejos en espacios complejos de dimensiones  ⩾  ; junto con politopos complejos en grupos simplex , hipercúbicos y ortoplex y superiores (con politopos de van Oss ). ^[124] ${\displaystyle \mathrm {A} _{5}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{6}}$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

Una superficie veronesa en el plano proyectivo generaliza una condición lineal para que un punto esté contenido dentro de una cónica , lo que requiere cinco puntos de la misma manera que se necesitan dos puntos para determinar una línea . ^[125] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}}$ ${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

grupos finitos simples

Hay cinco álgebras de Lie excepcionales complejas : , , , y . El más pequeño de ellos, de dimensión real 28, puede representarse en un espacio complejo de cinco dimensiones y proyectarse como una bola que rueda encima de otra bola, cuyo movimiento se describe en un espacio de dos dimensiones. ^[126] es el más grande y contiene las otras cuatro álgebras de Lie como subgrupos , con una representación en la dimensión 496. Contiene una red asociada que se construye con ciento veinte icosianos unitarios cuaterniónicos que forman los vértices de los 600- celda , cuyas normas euclidianas definen una forma cuadrática en una estructura reticular isomorfa a la configuración óptima de esferas en ocho dimensiones. ^[127] Esta estructura de red de empaquetamiento de esferas en 8 espacios está sostenida por la disposición del vértice del panal 5 21 , uno de los cinco panales euclidianos que admiten la definición original de Gosset de un panal semirregular , que incluye el panal cúbico alternado tridimensional. . ^{[128] [129]} El isomorfismo simple más pequeño que se encuentra dentro de grupos de Lie simples finitos es , ^[130] donde aquí representa grupos alternos y grupos de Chevalley clásicos . En particular, el grupo más pequeño que no tiene solución es el grupo alterno de cinco letras, que también es el grupo no abeliano simple más pequeño. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{8}}$ ${\displaystyle \mathrm {A_{5}} \cong A_{1}(4)\cong A_{1}(5)}$ ${\displaystyle \mathrm {A_{n}} }$ ${\displaystyle A_{n}(q)}$

Los cinco grupos de Mathieu constituyen la primera generación de la feliz familia de grupos esporádicos . Estos son también los primeros cinco grupos esporádicos que se han descrito , definidos como grupos de permutación transitiva múltiple en objetos , con ∈ {11, 12, 22, 23, 24}. ^{[131] : p.54} En particular, , el más pequeño de todos los grupos esporádicos, tiene una acción de rango 3 en cincuenta y cinco puntos a partir de una acción inducida en pares desordenados , así como dos representaciones irreductibles complejas fieles de cinco dimensiones sobre el campo. con tres elementos, que es la representación dimensional irreducible más baja de todos los grupos esporádicos sobre sus respectivos campos con elementos. ^[132] De precisamente cinco clases de conjugación diferentes de subgrupos máximos de , uno es el grupo simétrico casi simple (¡de orden 5 ! ), y otro es , también casi simple, que funciona como un estabilizador puntual que contiene cinco como su mayor factor primo. en su orden de grupo : 2 ⁴ ·3 ² ·5 = 2 · 3 · 4 ·5· 6 = 8 · 9 · 10 = 720 . Por otro lado, mientras que es marcadamente 4-transitivo, es marcadamente 5-transitivo y es 5-transitivo, y como tales son los dos únicos grupos 5-transitivos que no son grupos simétricos o grupos alternos . ^[133] tiene los primeros cinco números primos como sus factores primos distintos en su orden de 2 ⁷ ·3 ² ·5· 7 · 11 , y es el más pequeño de cinco grupos esporádicos con cinco factores primos distintos en su orden. ^{[131] : p.17} Todos los grupos de Mathieu son subgrupos de , lo que bajo el diseño de Witt del sistema Steiner emerge una construcción del código binario extendido de Golay que tiene como grupo de automorfismo . ^{[131] : pp.39, 47, 55} genera octadas ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{5}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{10}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{12}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{22}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$ ${\displaystyle \operatorname {S(5,8,24)} }$ ${\displaystyle \mathrm {B} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{24}}$ ${\displaystyle \mathrm {W} _{24}}$de palabras de código de peso Hamming 8 del código binario extendido Golay, uno de los cinco pesos Hamming diferentes que utiliza el código binario extendido Golay: 0, 8, 12, 16 y 24. ^{[131] : p.38} El diseño Witt y el El código binario extendido de Golay, a su vez, se puede utilizar para generar una construcción fiel de la red Leech de 24 dimensiones Λ ₂₄ , que se construye principalmente utilizando el vector de Weyl que admite la única solución no unitaria al problema de la bala de cañón , donde la suma de los cuadrados de los primeros veinticuatro números enteros equivale al cuadrado de otro número entero, el quinto número pentatópico (70). Los subcocientes del automorfismo de la red Leech, grupo Conway , son a su vez objeto de la segunda generación de siete grupos esporádicos. ^{[131] : págs.99, 125} ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,24;70)}$ ${\displaystyle \mathrm {Co} _{0}}$

Hay cinco números primos no supersingulares ( 37 , 43 , 53 , 61 y 67 ) menores que 71 , que es el mayor de los quince primos supersingulares que dividen el orden del gigante amigo , en sí mismo el grupo esporádico más grande. ^[134] En particular, un centralizador de un elemento de orden 5 dentro de este grupo surge del producto entre el grupo esporádico Harada-Norton y un grupo de orden 5. ^{[135] [136]} Por sí solo, se puede representar utilizando generadores estándar que además dictan una condición donde . ^{[137] [138]} Esta condición también la mantienen otros generadores que pertenecen al grupo Tetas , ^[139] el único grupo finito simple que es un grupo no estricto de tipo Lie que también puede clasificarse como esporádico (quinto más grande de los veintisiete por orden también). Además, sobre el campo con cinco elementos, tiene una representación de 133 dimensiones donde 5 actúa sobre un producto conmutativo pero no asociativo como un análogo modular de 5 del álgebra de Griess ^♮ , ^[140] que mantiene al gigante amigo como su grupo de automorfismo. . ${\displaystyle \mathrm {HN} }$ ${\displaystyle \mathrm {HN} }$ ${\displaystyle (a,b,ab)}$ ${\displaystyle o([a,b])=5}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ${\displaystyle \mathrm {HN} }$ ${\displaystyle V_{2}}$

La identidad de Euler

La identidad de Euler , + = , contiene cinco números esenciales ampliamente utilizados en matemáticas: la constante de Arquímedes , el número de Euler , el número imaginario , la unidad y el cero . ^{[141] [142] [143]} ${\displaystyle e^{i\pi }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

Lista de cálculos básicos.

en decimales

Todos los múltiplos de 5 terminarán en 5 o , y las fracciones vulgares con 5 o 2 en el denominador no producen expansiones decimales infinitas porque son factores primos de 10 , la base.

En las potencias de 5, toda potencia termina en el número cinco, y a partir de 5 ³ en adelante, si el exponente es impar , entonces la cifra de las centenas es 1 , y si es par, la cifra de las centenas es 6 .

Un número elevado a la quinta potencia siempre termina en el mismo dígito que . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ciencia

Astronomía

• Hay cinco puntos lagrangianos en un sistema de dos cuerpos.

Biología

• Se suele considerar que existen cinco sentidos (en términos generales ); los cinco sabores básicos son dulce , salado , ácido , amargo y umami . ^[144]
• Casi todos los anfibios, reptiles y mamíferos que tienen dedos en las manos o en los pies tienen cinco en cada extremidad. ^[145]
• Cinco es el número de apéndices de la mayoría de las estrellas de mar , que exhiben pentamerismo . ^[146]

Informática

• 5 es el código ASCII del carácter de consulta , que se abrevia como ENQ. ^[147]

Literatura

Poesía

Un pentámetro es un verso con cinco pies repetidos por línea; El pentámetro yámbico fue la forma más destacada utilizada por William Shakespeare . ^[148]

Música

• La notación musical moderna utiliza un pentagrama musical formado por cinco líneas horizontales. ^[149]
• Una escala con cinco notas por octava se llama escala pentatónica . ^[150]
• Una quinta justa es la armonía más consonante y es la base de la mayoría de los sistemas de afinación occidentales. ^[151]
• En armónicos , el quinto parcial (o cuarto sobretono ) de una fundamental tiene una relación de frecuencia de 5:1 con respecto a la frecuencia de esa fundamental. Esta relación corresponde al intervalo de 2 octavas más una tercera mayor pura. Así, el intervalo de 5:4 es el intervalo de tercera pura. Un acorde de tríada mayor , cuando se toca con entonación justa (el caso más frecuente en el canto de un conjunto vocal a capella), contendrá una tercera mayor pura.
• Cinco es el número más bajo posible que puede ser el número superior de un compás con un compás asimétrico .

Religión y misticismo

judaísmo

• El Libro de Números es uno de los cinco libros de la Torá ; los otros son los libros de Génesis , Éxodo , Levítico y Deuteronomio .

Se les llama colectivamente los Cinco Libros de Moisés , el Pentateuco ( en griego , "cinco recipientes", en referencia a las cajas de rollos en las que se guardaban los libros), o Humash ( חומש , en hebreo , "quinto"). ^[152]

• El Khamsa , un símbolo antiguo con forma de mano con cuatro dedos y un pulgar, es utilizado como amuleto protector por los judíos ; ese mismo símbolo también es muy popular en la cultura árabe , conocido por proteger de la envidia y el mal de ojo . ^[153]

cristiandad

• Tradicionalmente hay cinco llagas de Jesucristo en el cristianismo : las llagas de los clavos en las dos manos de Cristo, las llagas de los clavos en los dos pies de Cristo y la herida de lanza de Cristo (respectivamente en las cuatro extremidades del cuerpo y en la cabeza). ^[154]

islam

• Los cinco pilares del Islam . ^[155]

Gnosticismo

• El número cinco era un número simbólico importante en el maniqueísmo , con seres celestiales, conceptos y otros a menudo agrupados en conjuntos de cinco.

Elementos

• Según filósofos griegos antiguos como Aristóteles , el universo se compone de cinco elementos clásicos : agua , tierra , aire , fuego y éter . Este concepto fue adoptado posteriormente por los alquimistas medievales y más recientemente por practicantes de religiones neopaganas como la Wicca .
• Según la cosmología hindú , existen cinco elementos en el universo : dharti, agni, jal, vayu evam akash (tierra, fuego, agua, aire y espacio, respectivamente).
• Los 5 elementos del Wuxing tradicional chino . ^[156]
• En la tradición del este de Asia , existen cinco elementos: ( agua , fuego , tierra , madera y metal ). ^[157] Los nombres japoneses para los días de la semana , de martes a sábado , provienen de estos elementos mediante la identificación de los elementos con los cinco planetas visibles a simple vista . ^[158] Además, el calendario japonés tradicional tiene un ciclo semanal de cinco días que todavía se puede observar en calendarios mixtos impresos que combinan nombres occidentales, chino-budistas y japoneses para cada día de la semana.

Quintaesencia , que significa "quinto elemento", se refiere al esquivo quinto elemento que completa los cuatro elementos básicos (agua, fuego, aire y tierra), como unión de estos. ^[159] El pentagrama , o estrella de cinco puntas, tiene un significado místico en varios sistemas de creencias, incluidos el baháʼí , el cristianismo , la masonería , el satanismo , el taoísmo , la thelema y la wicca . En numerología , el 5 o una serie de 555 , suele asociarse con el cambio, la evolución, el amor y la abundancia. ^{[ cita necesaria ]}

Misceláneas

Los cinco de los cuatro palos en los naipes.

• "Dame cinco" es una frase común que se usa antes de chocar esos cinco .
• Los Juegos Olímpicos tienen como símbolo cinco anillos entrelazados, que representan el número de continentes habitados representados por los atletas olímpicos (Europa, Asia, África, Australia y Oceanía, y América). ^[160]
• El número de puntos en un quincunce . ^[161]

Ver también

• Portal de matemáticas

5 (desambiguación)

Notas

1. 
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\end{bmatrix}}}$
3. 
4. 
5. 
6. 

Referencias

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    a(2) = 1 + 2 + .... + 100 = 101 * 50 = 5050
    a(3) = 1 + 2 + .. + 1000 = 1001 * 500 = 500500
    ...
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Otras lecturas

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enlaces externos

• Curiosidades principales: 5
• Medios relacionados con 5 (número) en Wikimedia Commons