La historia de la lógica se ocupa del estudio del desarrollo de la ciencia de la inferencia válida ( lógica ). Las lógicas formales se desarrollaron en la antigüedad en la India , China y Grecia . Los métodos griegos, en particular la lógica aristotélica (o lógica de términos) que se encuentra en el Organon , encontraron una amplia aplicación y aceptación en la ciencia y las matemáticas occidentales durante milenios. [1] Los estoicos , especialmente Crisipo , comenzaron el desarrollo de la lógica de predicados .
Filósofos cristianos e islámicos como Boecio (fallecido en 524), Avicena (fallecido en 1037), Tomás de Aquino (fallecido en 1274) y Guillermo de Ockham (fallecido en 1347) desarrollaron aún más la lógica de Aristóteles en la Edad Media , alcanzando un punto culminante a mediados del siglo XIV, con Jean Buridan . El período entre el siglo XIV y principios del siglo XIX fue en gran parte de decadencia y abandono, y al menos un historiador de la lógica considera que este tiempo fue estéril. [2] Los métodos empíricos dominaban la época, como lo demuestra el Novum Organon de Sir Francis Bacon de 1620.
La lógica revivió a mediados del siglo XIX, al comienzo de un período revolucionario en el que la materia se convirtió en una disciplina rigurosa y formal que tomó como ejemplo el método exacto de prueba utilizado en matemáticas , un regreso a la tradición griega. [3] El desarrollo de la lógica "simbólica" o "matemática" moderna durante este período por parte de personas como Boole , Frege , Russell y Peano es el más significativo en los dos mil años de historia de la lógica, y es posiblemente uno de los eventos más importantes y notables en la historia intelectual humana . [4]
Los avances de la lógica matemática en las primeras décadas del siglo XX, en particular a partir del trabajo de Gödel y Tarski , tuvieron un impacto significativo en la filosofía analítica y la lógica filosófica , particularmente a partir de la década de 1950 en adelante, en temas como la lógica modal , la lógica temporal , la lógica deóntica y la lógica de la relevancia .
El Nasadiya Sukta del Rigveda ( RV 10.129) contiene especulación ontológica en términos de varias divisiones lógicas que luego fueron reformuladas formalmente como los cuatro círculos de catuskoti : "A", "no A", "A y 'no A ' ", y "no A y no no A".
¿Quién lo sabe realmente?
¿Quién lo proclamará aquí?
¿De dónde se produjo? ¿De dónde es esta creación?
Los dioses vinieron después, con la creación de este universo.
¿Quién sabe entonces de dónde ha surgido?
La lógica comenzó independientemente en la antigua India y continuó desarrollándose hasta los tiempos modernos sin ninguna influencia conocida de la lógica griega. [8]
Aunque no están claros los orígenes del debate público ( pariṣad ), una forma de investigación racional, en la India, sabemos que los debates públicos eran comunes en la India preclásica, pues se hace alusión a ellos con frecuencia en varios Upaniṣads y en la literatura budista primitiva. El debate público no es la única forma de deliberación pública en la India preclásica. Se convocaban regularmente asambleas ( pariṣad o sabhā ) de diversos tipos, integradas por expertos relevantes, para deliberar sobre una variedad de asuntos, incluidos asuntos administrativos, legales y religiosos.
En el Bhagavata purana se afirma que un filósofo llamado Dattatreya enseñó Anviksiki a Aiarka, Prahlada y otros. Del Markandeya purana se desprende que la Anviksiki-vidya que expuso consistía en una mera disertación sobre el alma de acuerdo con la filosofía del yoga. Dattatreya expuso el lado filosófico del Anviksiki y no su aspecto lógico. [9] [10]
Si bien los maestros mencionados anteriormente trataron algunos temas particulares de Anviksiki, el mérito de fundar el Anviksiki en su sentido especial de ciencia se le atribuye a Medhatithi Gautama (c. siglo VI a. C.). Gautama fundó la escuela de lógica anviksiki . [11] El Mahabharata (12.173.45), alrededor del siglo V a. C., se refiere a las escuelas de lógica anviksiki y tarka .
Pāṇini (c. siglo V a. C.) desarrolló una forma de lógica (con la quela lógica booleanatiene algunas similitudes) para su formulación dela gramática sánscritaChanakya(c. 350–283 a. C.)describe la lógica en su Arthashastra como un campo de investigación independiente.[12]
Dos de las seis escuelas de pensamiento indias se ocupan de la lógica: Nyaya y Vaisheshika . Los Nyāya Sūtras de Aksapada Gautama (c. siglo II d. C.) constituyen los textos centrales de la escuela Nyaya, una de las seis escuelas ortodoxas de la filosofía hindú . Esta escuela realista desarrolló un esquema rígido de inferencia de cinco miembros que implica una premisa inicial, una razón, un ejemplo, una aplicación y una conclusión. [13] La filosofía budista idealista se convirtió en el principal oponente de los Naiyayikas.
Los jainistas hicieron su propia contribución única a este desarrollo dominante de la lógica al ocuparse también de las cuestiones epistemológicas básicas, es decir, las relacionadas con la naturaleza del conocimiento, cómo se deriva el conocimiento y de qué manera se puede decir que el conocimiento es confiable.
Los jainistas tienen doctrinas de relatividad utilizadas para la lógica y el razonamiento:
Estos conceptos filosóficos jainistas hicieron contribuciones muy importantes a la filosofía india antigua , especialmente en las áreas del escepticismo y la relatividad. [4] [14]
Nagarjuna (c. 150–250 d. C.), el fundador del Madhyamaka ("Camino Medio"), desarrolló un análisis conocido como catuṣkoṭi (sánscrito), un sistema de argumentación "de cuatro esquinas" que implica el examen sistemático y el rechazo de cada una de las cuatro posibilidades de una proposición, P :
Sin embargo, a veces se dice que Dignāga (c 480–540 d. C.) desarrolló un silogismo formal, [15] y fue a través de él y su sucesor, Dharmakirti , que la lógica budista alcanzó su apogeo; se discute si su análisis constituye realmente un sistema silogístico formal. En particular, su análisis se centró en la definición de una relación que garantiza la inferencia, " vyapti ", también conocida como concomitancia o pervasión invariable. [16] Con este fin, se desarrolló una doctrina conocida como "apoha" o diferenciación. [17] Esto implicaba lo que podría llamarse inclusión y exclusión de propiedades definitorias.
La famosa "rueda de la razón" de Dignāga ( Hetucakra ) es un método para indicar cuándo una cosa (como el humo) puede tomarse como un signo invariable de otra cosa (como el fuego), pero la inferencia es a menudo inductiva y se basa en observaciones pasadas. Matilal señala que el análisis de Dignāga es muy parecido al método conjunto de acuerdo y diferencia de John Stuart Mill, que es inductivo. [18]
En China, a un contemporáneo de Confucio , Mozi , "Maestro Mo", se le atribuye la fundación de la escuela mohista , cuyos cánones trataban cuestiones relacionadas con la inferencia válida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, a una de las escuelas que surgieron del mohismo, los lógicos , algunos estudiosos le atribuyen su investigación temprana de la lógica formal . Debido al duro gobierno del legalismo en la posterior dinastía Qin , esta línea de investigación desapareció en China hasta la introducción de la filosofía india por los budistas .
El razonamiento válido se ha empleado en todos los períodos de la historia humana. Sin embargo, la lógica estudia los principios del razonamiento válido, la inferencia y la demostración. Es probable que la idea de demostrar una conclusión surgiera por primera vez en relación con la geometría , que originalmente significaba lo mismo que "medición de la tierra". [19] Los antiguos egipcios descubrieron la geometría , incluida la fórmula para el volumen de una pirámide truncada . [20] La antigua Babilonia también era experta en matemáticas. El Manual de diagnóstico médico de Esagil-kin-apli en el siglo XI a. C. se basaba en un conjunto lógico de axiomas y suposiciones, [21] mientras que los astrónomos babilónicos de los siglos VIII y VII a. C. emplearon una lógica interna dentro de sus sistemas planetarios predictivos, una importante contribución a la filosofía de la ciencia . [22]
Mientras que los antiguos egipcios descubrieron empíricamente algunas verdades de la geometría, el gran logro de los antiguos griegos fue reemplazar los métodos empíricos por pruebas demostrativas . Tanto Tales como Pitágoras , entre los filósofos presocráticos, parecían tener conocimiento de los métodos geométricos.
Fragmentos de demostraciones tempranas se conservan en las obras de Platón y Aristóteles, [23] y la idea de un sistema deductivo probablemente era conocida en la escuela pitagórica y la Academia platónica . [20] Las demostraciones de Euclides de Alejandría son un paradigma de la geometría griega. Los tres principios básicos de la geometría son los siguientes:
Otra evidencia de que los primeros pensadores griegos se interesaron por los principios del razonamiento se encuentra en el fragmento llamado dissoi logoi , probablemente escrito a principios del siglo IV a. C. Este es parte de un prolongado debate sobre la verdad y la falsedad. [24] En el caso de las ciudades-estado griegas clásicas, el interés por la argumentación también fue estimulado por las actividades de los retóricos u oradores y los sofistas , que usaban argumentos para defender o atacar una tesis, tanto en contextos legales como políticos. [25]
Se dice que Tales, considerado el primer filósofo de la tradición griega , [26] [27] midió la altura de las pirámides por sus sombras en el momento en que su propia sombra era igual a su altura. Se dice que Tales hizo un sacrificio para celebrar el descubrimiento del teorema de Tales, al igual que Pitágoras hizo el teorema de Pitágoras . [28]
Tales es el primer individuo conocido que utilizó el razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios de su teorema, y el primer individuo conocido a quien se le ha atribuido un descubrimiento matemático. [29] Los matemáticos indios y babilónicos conocían su teorema para casos especiales antes de que lo demostrara. [30] Se cree que Tales aprendió que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto durante sus viajes a Babilonia . [31]
Antes de 520 a. C., en una de sus visitas a Egipto o Grecia, Pitágoras podría haber conocido a Tales, que era 54 años mayor que él. [32] El estudio sistemático de la prueba parece haber comenzado con la escuela de Pitágoras (es decir, los pitagóricos) a fines del siglo VI a. C. [20] De hecho, los pitagóricos, que creían que todo era número, son los primeros filósofos en enfatizar la forma en lugar de la materia . [33]
Los escritos de Heráclito (c. 535 – c. 475 a. C.) fueron el primer lugar donde se le dio especial atención a la palabra logos en la filosofía griega antigua. [34] Heráclito sostenía que todo cambia y que todo era fuego y opuestos en conflicto, aparentemente unificados solo por este Logos . Es conocido por sus dichos oscuros.
Este logos se mantiene siempre, pero los hombres siempre se muestran incapaces de comprenderlo, tanto antes de oírlo como cuando lo han oído por primera vez. Pues aunque todas las cosas llegan a ser de acuerdo con este logos , los hombres son como los inexpertos cuando experimentan tales palabras y hechos como los que he expuesto, distinguiendo cada uno según su naturaleza y diciendo cómo es. Pero los demás no se dan cuenta de lo que hacen cuando están despiertos, así como olvidan lo que hacen mientras duermen.
—Diels -Kranz , 22B1
.jpg/1280px-Busto_di_Parmenide_(cropped).jpg)
A diferencia de Heráclito, Parménides sostenía que todo es uno y que nada cambia. Es posible que fuera un pitagórico disidente, que no estaba de acuerdo con que Uno (un número) produjera lo múltiple. [35] "X no es" siempre debe ser falso o carente de sentido. Lo que existe no puede no existir de ninguna manera. Nuestras percepciones sensoriales, con su percepción de la generación y la destrucción, están en un grave error. En lugar de la percepción sensorial, Parménides defendía el logos como el medio para llegar a la Verdad. Se le ha llamado el descubridor de la lógica, [36] [37]
En efecto, esta concepción de que lo que no es existe nunca puede predominar. Debes apartar tu pensamiento de esta vía de búsqueda, y no dejar que la experiencia ordinaria en su variedad te fuerce a seguirla (es decir, la de permitir que el ojo, que no ve, y el oído, lleno de sonidos, y la lengua, gobiernen); sino que debes juzgar por medio de la Razón ( Logos ) la prueba tan discutida que expongo.
— B 7.1–8.2
Zenón de Elea , un discípulo de Parménides, tuvo la idea de un patrón de argumento estándar que se encuentra en el método de prueba conocido como reductio ad absurdum . Esta es la técnica de extraer una conclusión obviamente falsa (es decir, "absurda") de una suposición, demostrando así que la suposición es falsa. [38] Por lo tanto, Zenón y su maestro son vistos como los primeros en aplicar el arte de la lógica. [39] El diálogo de Platón Parménides retrata a Zenón como quien afirma haber escrito un libro defendiendo el monismo de Parménides al demostrar la consecuencia absurda de suponer que existe pluralidad. Zenón utilizó famosamente este método para desarrollar sus paradojas en sus argumentos contra el movimiento. Este razonamiento dialéctico más tarde se hizo popular. Los miembros de esta escuela fueron llamados "dialécticos" (de una palabra griega que significa "discutir").
No permitas que entre aquí nadie que ignore la geometría.
— Inscrito sobre la entrada de la Academia de Platón.
Ninguna de las obras que se conservan del gran filósofo del siglo IV Platón (428-347 a. C.) incluye lógica formal, [40] pero sí aportan importantes contribuciones al campo de la lógica filosófica . Platón plantea tres preguntas:
La primera pregunta surge en el diálogo Teeteto , donde Platón identifica el pensamiento u opinión con el habla o discurso ( logos ). [41] La segunda pregunta es resultado de la teoría de las Formas de Platón . Las Formas no son cosas en el sentido ordinario, ni estrictamente ideas en la mente, sino que corresponden a lo que los filósofos llamaron posteriormente universales , es decir, una entidad abstracta común a cada conjunto de cosas que tienen el mismo nombre. Tanto en la República como en El Sofista , Platón sugiere que la conexión necesaria entre los supuestos de un argumento válido y su conclusión corresponde a una conexión necesaria entre "formas". [42] La tercera pregunta es sobre la definición . Muchos de los diálogos de Platón se refieren a la búsqueda de una definición de algún concepto importante (la justicia, la verdad, el Bien), y es probable que Platón estuviera impresionado por la importancia de la definición en las matemáticas. [43] Lo que subyace a cada definición es una Forma platónica, la naturaleza común presente en diferentes cosas particulares. Por lo tanto, una definición refleja el objeto último de la comprensión y es el fundamento de toda inferencia válida. Esto tuvo una gran influencia en el discípulo de Platón , Aristóteles , en particular en su noción de la esencia de una cosa. [44]
La lógica de Aristóteles , y particularmente su teoría del silogismo , ha tenido una enorme influencia en el pensamiento occidental . [45] Aristóteles fue el primer lógico que intentó un análisis sistemático de la sintaxis lógica , del sustantivo (o término ) y del verbo. Fue el primer lógico formal , ya que demostró los principios del razonamiento empleando variables para mostrar la forma lógica subyacente de un argumento. [46] Buscó relaciones de dependencia que caracterizan la inferencia necesaria, y distinguió la validez de estas relaciones de la verdad de las premisas. Fue el primero en tratar los principios de contradicción y tercero excluido de manera sistemática. [47]
Sus obras lógicas, llamadas Organon , son el estudio formal más antiguo de la lógica que ha llegado hasta nuestros días. Aunque es difícil determinar las fechas, el orden probable de redacción de las obras lógicas de Aristóteles es:
Estas obras tienen una importancia extraordinaria en la historia de la lógica. En las Categorías , intenta discernir todas las cosas posibles a las que puede referirse un término; esta idea sustenta su obra filosófica Metafísica , que a su vez tuvo una profunda influencia en el pensamiento occidental.
También desarrolló una teoría de la lógica no formal ( es decir, la teoría de las falacias ), que se presenta en Tópicos y refutaciones sofísticas . [47]
Sobre la interpretación contiene un tratamiento exhaustivo de las nociones de oposición y conversión; el capítulo 7 está en el origen del cuadrado de oposición (o cuadrado lógico); el capítulo 9 contiene el comienzo de la lógica modal .
Los Analíticos Priores contienen su exposición del "silogismo", donde se aplican por primera vez en la historia tres principios importantes: el uso de variables, un tratamiento puramente formal y el uso de un sistema axiomático.
La otra gran escuela de lógica griega es la de los estoicos . [48] La lógica estoica tiene sus raíces en el filósofo de finales del siglo V a. C. Euclides de Megara , alumno de Sócrates y contemporáneo ligeramente mayor de Platón, probablemente siguiendo la tradición de Parménides y Zenón. Sus discípulos y sucesores fueron llamados « megarianos » o «erísticos», y más tarde «dialécticos». Los dos dialécticos más importantes de la escuela megariana fueron Diodoro Cronos y Filón , que estuvieron activos a finales del siglo IV a. C.
Los estoicos adoptaron la lógica megárica y la sistematizaron. El miembro más importante de la escuela fue Crisipo (c. 278 – c. 206 a. C.), que fue su tercer líder y que formalizó gran parte de la doctrina estoica. Se supone que escribió más de 700 obras, incluidas al menos 300 sobre lógica, de las cuales casi ninguna sobrevive. [49] [50] A diferencia de Aristóteles, no tenemos obras completas de los megáricos ni de los primeros estoicos, y tenemos que confiar principalmente en relatos (a veces hostiles) de fuentes posteriores, entre las que se incluyen de forma destacada Diógenes Laercio , Sexto Empírico , Galeno , Aulo Gelio , Alejandro de Afrodisias y Cicerón . [51]
Tres contribuciones significativas de la escuela estoica fueron (i) su explicación de la modalidad , (ii) su teoría del condicional material y (iii) su explicación del significado y la verdad . [52]
Las obras de Al-Kindi , Al-Farabi , Avicena , Al-Ghazali , Averroes y otros lógicos musulmanes se basaron en la lógica aristotélica y fueron importantes para comunicar las ideas del mundo antiguo al Occidente medieval. [62] Al-Farabi (Alfarabi) (873-950) fue un lógico aristotélico que discutió los temas de los contingentes futuros , el número y la relación de las categorías, la relación entre la lógica y la gramática y las formas no aristotélicas de inferencia . [63] Al-Farabi también consideró las teorías de los silogismos condicionales y la inferencia analógica , que eran parte de la tradición estoica de la lógica en lugar de la aristotélica. [64]
Maimónides (1138-1204) escribió un Tratado de lógica (en árabe: Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq ), refiriéndose a Al-Farabi como el "segundo maestro", siendo el primero Aristóteles.
Ibn Sina (Avicena) (980-1037) fue el fundador de la lógica aviceniana , que reemplazó a la lógica aristotélica como el sistema dominante de lógica en el mundo islámico, [65] y también tuvo una importante influencia en escritores medievales occidentales como Alberto Magno . [66] Avicena escribió sobre el silogismo hipotético [67] y sobre el cálculo proposicional , que eran parte de la tradición lógica estoica. [68] Desarrolló una teoría silogística "temporalmente modalizada" original, que involucraba lógica temporal y lógica modal . [63] También hizo uso de la lógica inductiva , como los métodos de acuerdo, diferencia y variación concomitante que son críticos para el método científico . [67] Una de las ideas de Avicena tuvo una influencia particularmente importante en los lógicos occidentales como Guillermo de Ockham : la palabra de Avicena para un significado o noción ( ma'na ), fue traducida por los lógicos escolásticos como el latín intentio ; en la lógica y la epistemología medieval , esto es un signo en la mente que representa naturalmente una cosa. [69] Esto fue crucial para el desarrollo del conceptualismo de Ockham : un término universal ( por ejemplo, "hombre") no significa una cosa existente en la realidad, sino más bien un signo en la mente ( intentio in intellectu ) que representa muchas cosas en la realidad; Ockham cita el comentario de Avicena sobre Metafísica V en apoyo de esta visión. [70]
Fakhr al-Din al-Razi (n. 1149) criticó la « primera figura » de Aristóteles y formuló un sistema temprano de lógica inductiva, que prefiguró el sistema de lógica inductiva desarrollado por John Stuart Mill (1806-1873). [71] Los estudiosos islámicos posteriores consideraron que el trabajo de al-Razi marcaba una nueva dirección para la lógica islámica, hacia una lógica postaviceniana . Esto fue elaborado aún más por su estudiante Afdaladdîn al-Khûnajî (m. 1249), quien desarrolló una forma de lógica que giraba en torno al tema de las concepciones y los asentimientos . En respuesta a esta tradición, Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) comenzó una tradición de lógica neoaviceniana que se mantuvo fiel al trabajo de Avicena y existió como una alternativa a la escuela postaviceniana más dominante durante los siglos siguientes. [72]
La escuela iluminacionista fue fundada por Shahab al-Din Suhrawardi (1155-1191), quien desarrolló la idea de "necesidad decisiva", que se refiere a la reducción de todas las modalidades (necesidad, posibilidad , contingencia e imposibilidad ) al único modo de necesidad. [73] Ibn al-Nafis (1213-1288) escribió un libro sobre lógica aviceniana, que era un comentario de Al-Isharat ( Los signos ) y Al-Hidayah ( La guía ) de Avicena. [74] Ibn Taymiyyah (1263-1328), escribió el Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin , donde argumentó en contra de la utilidad, aunque no de la validez, del silogismo [75] y a favor del razonamiento inductivo . [71] Ibn Taymiyyah también argumentó en contra de la certeza de los argumentos silogísticos y a favor de la analogía ; su argumento es que los conceptos fundados en la inducción no son en sí mismos ciertos sino sólo probables, y por lo tanto un silogismo basado en tales conceptos no es más cierto que un argumento basado en la analogía. Afirmó además que la inducción en sí misma se basa en un proceso de analogía. Su modelo de razonamiento analógico se basó en el de los argumentos jurídicos. [76] [77] Este modelo de analogía se ha utilizado en el trabajo reciente de John F. Sowa . [77]
El Sharh al-takmil fi'l-mantiq escrito por Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani en el siglo XV es la última obra árabe importante sobre lógica que se ha estudiado. [78] Sin embargo, "miles y miles de páginas" sobre lógica fueron escritas entre los siglos XIV y XIX, aunque sólo una fracción de los textos escritos durante este período han sido estudiados por los historiadores, por lo que se sabe poco sobre el trabajo original sobre lógica islámica producido durante este período posterior. [72]
La "lógica medieval" (también conocida como "lógica escolástica") generalmente significa la forma de lógica aristotélica desarrollada en la Europa medieval durante aproximadamente el período 1200-1600. [1] Durante siglos después de que se formulara la lógica estoica, fue el sistema de lógica dominante en el mundo clásico. Cuando el estudio de la lógica se reanudó después de la Edad Oscura , la fuente principal fue la obra del filósofo cristiano Boecio , quien estaba familiarizado con algo de la lógica de Aristóteles, pero casi ninguno de los trabajos de los estoicos. [79] Hasta el siglo XII, las únicas obras de Aristóteles disponibles en Occidente eran las Categorías , Sobre la interpretación y la traducción de Boecio de la Isagoge de Porfirio (un comentario sobre las Categorías). Estas obras se conocían como la "Lógica antigua" ( Logica Vetus o Ars Vetus ). Una obra importante en esta tradición fue la Logica Ingredientibus de Pedro Abelardo (1079-1142). Su influencia directa fue pequeña, [80] pero su influencia a través de alumnos como Juan de Salisbury fue grande, y su método de aplicar un análisis lógico riguroso a la teología dio forma a la manera en que se desarrolló la crítica teológica en el período que siguió. [81] La prueba del principio de explosión , también conocido como el principio de Pseudo-Escoto, la ley según la cual cualquier proposición puede probarse a partir de una contradicción (incluida su negación), fue dada por primera vez por el lógico francés del siglo XII Guillermo de Soissons .
A principios del siglo XIII, las obras restantes del Organon de Aristóteles , incluyendo los Analíticos Primeros , los Analíticos Posteriores y las Refutaciones Sofísticas (conocidas colectivamente como la Logica Nova o "Nueva Lógica"), habían sido recuperadas en Occidente. [82] Hasta entonces, el trabajo lógico era principalmente paráfrasis o comentarios sobre la obra de Aristóteles. [83] El período comprendido entre mediados del siglo XIII y mediados del siglo XIV fue uno de desarrollos significativos en lógica, particularmente en tres áreas que eran originales, con poco fundamento en la tradición aristotélica que lo precedió. Estas fueron: [84]
Las últimas grandes obras de esta tradición son la Lógica de John Poinsot (1589-1644, conocido como Juan de Santo Tomás ), las Disputas metafísicas de Francisco Suárez (1548-1617) y la Logica Demonstrativa de Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733).
La lógica tradicional generalmente significa la tradición de los libros de texto que comienza con Lógica o el arte de pensar de Antoine Arnauld y Pierre Nicole , mejor conocida como la Lógica de Port-Royal . [89] Publicada en 1662, fue la obra más influyente sobre lógica después de Aristóteles hasta el siglo XIX. [90] El libro presenta una doctrina vagamente cartesiana (que la proposición es una combinación de ideas en lugar de términos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la lógica de términos aristotélica y medieval . Entre 1664 y 1700, hubo ocho ediciones, y el libro tuvo una influencia considerable después de eso. [90] El Port-Royal introduce los conceptos de extensión e intención . La explicación de las proposiciones que Locke da en el Ensayo es esencialmente la de Port-Royal: “Las proposiciones verbales, que son palabras, [son] los signos de nuestras ideas, reunidos o separados en oraciones afirmativas o negativas. De modo que la proposición consiste en reunir o separar estos signos, según que las cosas que representan concuerden o no concuerden”. [91]
Dudley Fenner ayudó a popularizar la lógica ramista , una reacción contra Aristóteles. Otra obra influyente fue el Novum Organum de Francis Bacon , publicado en 1620. El título se traduce como "nuevo instrumento". Se trata de una referencia a la obra de Aristóteles conocida como Organon . En esta obra, Bacon rechaza el método silogístico de Aristóteles en favor de un procedimiento alternativo "que mediante un trabajo lento y fiel recoge información de las cosas y la lleva a la comprensión". [92] Este método se conoce como razonamiento inductivo , un método que parte de la observación empírica y procede a axiomas o proposiciones inferiores; a partir de estos axiomas inferiores, se pueden inducir otros más generales. Por ejemplo, para encontrar la causa de una naturaleza fenoménica como el calor, se deben construir tres listas:
Entonces, la forma natural (o causa) del calor puede definirse como aquello que es común a cada situación de la lista de presencia, y que falta en cada situación de la lista de ausencia, y que varía en grado en cada situación de la lista de variabilidad.
Otras obras de la tradición de los libros de texto incluyen Logick : Or, the Right Use of Reason (1725) de Isaac Watts , Logic (1826) de Richard Whately y A System of Logic (1843) de John Stuart Mill . Aunque esta última fue una de las últimas grandes obras de la tradición, la opinión de Mill de que los fundamentos de la lógica se encuentran en la introspección [93] influyó en la opinión de que la lógica se entiende mejor como una rama de la psicología, una opinión que dominó los siguientes cincuenta años de su desarrollo, especialmente en Alemania. [94]
.jpg/1280px-G.W.F._Hegel_(by_Sichling,_after_Sebbers).jpg)
GWF Hegel indicó la importancia de la lógica para su sistema filosófico cuando condensó su extensa Ciencia de la lógica en una obra más corta publicada en 1817 como el primer volumen de su Enciclopedia de las ciencias filosóficas. La Lógica "más corta" o "Enciclopedia" , como se la conoce a menudo, establece una serie de transiciones que conducen desde la más vacía y abstracta de las categorías (Hegel comienza con "Ser puro" y "Nada pura") hasta el " Absoluto ", la categoría que contiene y resuelve todas las categorías que la precedieron. A pesar del título, la Lógica de Hegel no es realmente una contribución a la ciencia de la inferencia válida. En lugar de derivar conclusiones sobre conceptos a través de inferencia válida a partir de premisas, Hegel busca mostrar que pensar en un concepto obliga a pensar en otro concepto (uno no puede, argumenta, poseer el concepto de "Calidad" sin el concepto de "Cantidad"); Esta compulsión no es, supuestamente, una cuestión de psicología individual, porque surge casi orgánicamente del contenido de los conceptos mismos. Su propósito es mostrar la estructura racional del "Absoluto"; en realidad, de la racionalidad misma. El método por el cual el pensamiento es impulsado de un concepto a su contrario, y luego a otros conceptos, se conoce como dialéctica hegeliana .
Aunque la lógica de Hegel ha tenido poco impacto en los estudios lógicos convencionales, su influencia puede verse en otros lugares:
Entre los trabajos de Mill y Frege transcurrió medio siglo durante el cual la lógica fue ampliamente tratada como una ciencia descriptiva, un estudio empírico de la estructura del razonamiento y, por lo tanto, esencialmente como una rama de la psicología . [96] El psicólogo alemán Wilhelm Wundt , por ejemplo, discutió la derivación de "lo lógico a partir de las leyes psicológicas del pensamiento", enfatizando que "el pensamiento psicológico es siempre la forma más completa de pensamiento". [97] Esta visión estaba muy extendida entre los filósofos alemanes de la época:
Esta era la visión dominante de la lógica en los años posteriores a la obra de Mill. [101] Este enfoque psicológico de la lógica fue rechazado por Gottlob Frege . También fue objeto de una crítica extensa y destructiva por parte de Edmund Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas (1900), un ataque que ha sido descrito como "abrumador". [102] Husserl argumentó enérgicamente que fundamentar la lógica en observaciones psicológicas implicaba que todas las verdades lógicas permanecían sin demostrar, y que el escepticismo y el relativismo eran consecuencias inevitables.
Tales críticas no acabaron inmediatamente con el llamado « psicologismo ». Por ejemplo, el filósofo norteamericano Josiah Royce , aunque reconoció la fuerza de la crítica de Husserl, siguió siendo «incapaz de dudar» de que el progreso en psicología iría acompañado del progreso en lógica, y viceversa. [103]
El período comprendido entre el siglo XIV y principios del siglo XIX fue en gran medida un período de decadencia y abandono, y los historiadores de la lógica lo consideran generalmente estéril. [2] El resurgimiento de la lógica se produjo a mediados del siglo XIX, al comienzo de un período revolucionario en el que la materia se convirtió en una disciplina rigurosa y formalista cuyo ejemplo era el método exacto de prueba utilizado en matemáticas . El desarrollo de la lógica "simbólica" o "matemática" moderna durante este período es el más significativo en los 2000 años de historia de la lógica, y es posiblemente uno de los acontecimientos más importantes y notables en la historia intelectual humana. [4]
Una serie de características distinguen a la lógica moderna de la antigua lógica aristotélica o tradicional, siendo las más importantes las siguientes: [104] La lógica moderna es fundamentalmente un cálculo cuyas reglas de operación están determinadas sólo por la forma y no por el significado de los símbolos que emplea, como en las matemáticas. Muchos lógicos quedaron impresionados por el "éxito" de las matemáticas, en el sentido de que no había habido una disputa prolongada sobre ningún resultado verdaderamente matemático. CS Peirce señaló [105] que, aunque un error en la evaluación de una integral definida por Laplace condujo a un error sobre la órbita de la luna que persistió durante casi 50 años, el error, una vez detectado, se corrigió sin ninguna disputa seria. Peirce contrastó esto con la disputa e incertidumbre que rodea a la lógica tradicional, y especialmente al razonamiento en metafísica . Argumentó que una lógica verdaderamente "exacta" dependería del pensamiento matemático, es decir, "diagramático" o "icónico". "Quienes sigan tales métodos... escaparán de todo error excepto de aquel que se corrija rápidamente después de que se sospeche". La lógica moderna es también "constructiva" en lugar de "abstractiva"; es decir, en lugar de abstraer y formalizar teoremas derivados del lenguaje ordinario (o de intuiciones psicológicas sobre la validez), construye teoremas mediante métodos formales y luego busca una interpretación en el lenguaje ordinario. Es completamente simbólica, lo que significa que incluso las constantes lógicas (que los lógicos medievales llamaban " sincategoremata ") y los términos categóricos se expresan en símbolos.
El desarrollo de la lógica moderna se divide aproximadamente en cinco períodos: [106]
La idea de que la inferencia podía ser representada por un proceso puramente mecánico se encuentra ya en Raymond Llull , quien propuso un método (algo excéntrico) de extraer conclusiones mediante un sistema de anillos concéntricos. El trabajo de lógicos como los Calculadores de Oxford [108] condujo a un método de usar letras en lugar de escribir cálculos lógicos ( calculationes ) en palabras, un método utilizado, por ejemplo, en la Logica magna de Pablo de Venecia . Trescientos años después de Llull, el filósofo y lógico inglés Thomas Hobbes sugirió que toda la lógica y el razonamiento podían reducirse a las operaciones matemáticas de suma y resta. [109] La misma idea se encuentra en el trabajo de Leibniz , que había leído tanto a Llull como a Hobbes, y que argumentó que la lógica puede representarse a través de un proceso combinatorio o cálculo. Pero, al igual que Llull y Hobbes, no logró desarrollar un sistema detallado o completo, y su trabajo sobre este tema no se publicó hasta mucho después de su muerte. Leibniz dice que los lenguajes ordinarios están sujetos a "innumerables ambigüedades" y no son adecuados para un cálculo, cuya tarea es exponer errores en la inferencia que surgen de las formas y estructuras de las palabras; [110] por lo tanto, propuso identificar un alfabeto del pensamiento humano que comprendiera conceptos fundamentales que pudieran ser compuestos para expresar ideas complejas, [111] y crear un razonador de cálculo que hiciera que todos los argumentos fueran "tan tangibles como los de los matemáticos, de modo que podamos encontrar nuestro error de un vistazo, y cuando haya disputas entre personas, podamos decir simplemente: Calculemos". [112]
Gergonne (1816) dijo que el razonamiento no tiene que ser sobre objetos sobre los cuales uno tiene ideas perfectamente claras, porque las operaciones algebraicas pueden llevarse a cabo sin tener idea alguna del significado de los símbolos involucrados. [113] Bolzano anticipó una idea fundamental de la teoría de la prueba moderna cuando definió la consecuencia lógica o "deducibilidad" en términos de variables: [114]
Por eso digo que las proposiciones , , ,... son deducibles de las proposiciones , , , ,... con respecto a las partes variables , ,..., si cada clase de ideas cuya sustitución por , ,... hace que todas las , , , ,... sean verdaderas, también hace que todas las , , ,... sean verdaderas. Ocasionalmente, ya que es habitual, diré que las proposiciones , , ,... siguen , o pueden inferirse o derivarse , de , , , ,.... Proposiciones , , , ,... Llamaré a las premisas , , , ... las conclusiones.
Esto ahora se conoce como validez semántica .
La lógica moderna comienza con lo que se conoce como la "escuela algebraica", que se originó con Boole e incluye a Peirce , Jevons , Schröder y Venn . [115] Su objetivo era desarrollar un cálculo para formalizar el razonamiento en el área de clases, proposiciones y probabilidades. La escuela comienza con la obra seminal de Boole Análisis matemático de la lógica que apareció en 1847, aunque De Morgan (1847) es su precursor inmediato. [116] La idea fundamental del sistema de Boole es que las fórmulas algebraicas se pueden usar para expresar relaciones lógicas. Esta idea se le ocurrió a Boole en su adolescencia, trabajando como acomodador en una escuela privada en Lincoln, Lincolnshire . [117] Por ejemplo, sea x e y las clases, sea el símbolo = el que significa que las clases tienen los mismos miembros, xy representa la clase que contiene todos y solo los miembros de x e y, y así sucesivamente. Boole llama a estos símbolos electivos , es decir, símbolos que seleccionan ciertos objetos para su consideración. [118] Una expresión en la que se utilizan símbolos electivos se llama función electiva , y una ecuación cuyos miembros son funciones electivas, es una ecuación electiva . [119] La teoría de funciones electivas y su "desarrollo" es esencialmente la idea moderna de funciones de verdad y su expresión en forma normal disyuntiva . [118]
El sistema de Boole admite dos interpretaciones, en lógica de clases y en lógica proposicional. Boole distinguió entre "proposiciones primarias", que son objeto de la teoría silogística, y "proposiciones secundarias", que son objeto de la lógica proposicional, y mostró cómo bajo diferentes "interpretaciones" el mismo sistema algebraico podría representar ambas. Un ejemplo de proposición primaria es "Todos los habitantes son europeos o asiáticos". Un ejemplo de proposición secundaria es "O todos los habitantes son europeos o son todos asiáticos". [120] Estas proposiciones se distinguen fácilmente en la lógica de predicados moderna, donde también es posible mostrar que la primera se sigue de la segunda, pero es una desventaja significativa que no haya manera de representar esto en el sistema booleano. [121]
En su Lógica simbólica (1881), John Venn utilizó diagramas de áreas superpuestas para expresar relaciones booleanas entre clases o condiciones de verdad de proposiciones. En 1869, Jevons se dio cuenta de que los métodos de Boole podían mecanizarse y construyó una "máquina lógica" que mostró a la Royal Society el año siguiente. [118] En 1885, Allan Marquand propuso una versión eléctrica de la máquina que todavía existe (foto en la Biblioteca Firestone).
Los defectos del sistema de Boole (como el uso de la letra v para proposiciones existenciales) fueron todos remediados por sus seguidores. Jevons publicó Lógica pura, o la lógica de la calidad aparte de la cantidad en 1864, donde sugirió un símbolo para significar exclusivo o , lo que permitió simplificar en gran medida el sistema de Boole. [122] Esto fue explotado útilmente por Schröder cuando estableció teoremas en columnas paralelas en su Vorlesungen (1890-1905). Peirce (1880) mostró cómo todas las funciones electivas booleanas podían expresarse mediante el uso de una única operación binaria primitiva, " ni... ni... " e igualmente bien " no ambos... y... ", [123] sin embargo, como muchas de las innovaciones de Peirce, esto permaneció desconocido o inadvertido hasta que Sheffer lo redescubrió en 1913. [124] El trabajo temprano de Boole también carece de la idea de la suma lógica que se origina en Peirce (1867), Schröder (1877) y Jevons (1890), [125] y el concepto de inclusión , sugerido por primera vez por Gergonne (1816) y claramente articulado por Peirce (1870).
El éxito del sistema algebraico de Boole sugirió que toda lógica debe ser capaz de representación algebraica, y hubo intentos de expresar una lógica de relaciones en esa forma, de los cuales el más ambicioso fue la monumental Vorlesungen über die Algebra der Logik ("Conferencias sobre el álgebra de la lógica", vol. III, 1895) de Schröder, aunque la idea original fue nuevamente anticipada por Peirce. [126]
La aceptación inquebrantable de Boole de la lógica de Aristóteles es enfatizada por el historiador de la lógica John Corcoran en una introducción accesible a Laws of Thought. [127] Corcoran también escribió una comparación punto por punto de Prior Analytics y Laws of Thought . [128] Según Corcoran, Boole aceptó y respaldó completamente la lógica de Aristóteles. Los objetivos de Boole eran "ir por debajo, por encima y más allá" de la lógica de Aristóteles 1) brindándole fundamentos matemáticos que involucraran ecuaciones, 2) extendiendo la clase de problemas que podía tratar (desde evaluar la validez hasta resolver ecuaciones) y 3) expandiendo el rango de aplicaciones que podía manejar (por ejemplo, de proposiciones que tenían solo dos términos a aquellas que tenían arbitrariamente muchos).
Más específicamente, Boole estaba de acuerdo con lo que decía Aristóteles ; los «desacuerdos» de Boole, si se los puede llamar así, se refieren a lo que Aristóteles no dijo. En primer lugar, en el ámbito de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica aristotélica a fórmulas en forma de ecuaciones, lo que en sí mismo es una idea revolucionaria. En segundo lugar, en el ámbito de los problemas de la lógica, la adición de Boole de la resolución de ecuaciones a la lógica (otra idea revolucionaria) implicaba la doctrina de Boole de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los «silogismos perfectos») deben complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. En tercer lugar, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos de múltiples términos, mientras que Aristóteles sólo podía manejar proposiciones y argumentos de sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, el sistema de Aristóteles no podía deducir "Ningún cuadrángulo que sea un cuadrado es un rectángulo que sea un rombo" de "Ningún cuadrado que sea un cuadrángulo es un rombo que sea un rectángulo" o de "Ningún rombo que sea un rectángulo es un cuadrado que sea un cuadrángulo".
Después de Boole, los siguientes grandes avances fueron realizados por el matemático alemán Gottlob Frege . El objetivo de Frege era el programa del logicismo , es decir, demostrar que la aritmética es idéntica a la lógica. [129] Frege fue mucho más allá que cualquiera de sus predecesores en su enfoque riguroso y formal de la lógica, y su cálculo o Begriffsschrift es importante. [129] Frege también intentó demostrar que el concepto de número puede definirse por medios puramente lógicos, de modo que (si estaba en lo cierto) la lógica incluye la aritmética y todas las ramas de las matemáticas que son reducibles a la aritmética. No fue el primer escritor en sugerir esto. En su obra pionera Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética), secciones 15-17, reconoce los esfuerzos de Leibniz, JS Mill y Jevons, citando la afirmación de este último de que "el álgebra es una lógica altamente desarrollada, y el número solo una discriminación lógica". [130]
La primera obra de Frege, la Begriffsschrift ("escritura conceptual"), es un sistema rigurosamente axiomatizado de lógica proposicional, que se basa en sólo dos conectivos (negación y condicional), dos reglas de inferencia ( modus ponens y sustitución) y seis axiomas. Frege se refirió a la "completitud" de este sistema, pero no pudo demostrarlo. [131] Sin embargo, la innovación más significativa fue su explicación del cuantificador en términos de funciones matemáticas. La lógica tradicional considera que la oración "César es un hombre" tiene fundamentalmente la misma forma que "todos los hombres son mortales". Las oraciones con un sujeto que es un nombre propio se consideraban de carácter universal, interpretables como "todo César es un hombre". [132] Frege abandona desde el principio los tradicionales "conceptos de sujeto y predicado ", sustituyéndolos por argumento y función respectivamente, que cree que "resistirán la prueba del tiempo. Es fácil ver cómo considerar un contenido como una función de un argumento conduce a la formación de conceptos. Además, la demostración de la conexión entre los significados de las palabras si, y, no, o, hay, algunos, todos, etcétera, merece atención". [133] Frege argumentó que la expresión cuantificadora "todos los hombres" no tiene la misma forma lógica o semántica que "todos los hombres", y que la proposición universal "todo A es B" es una proposición compleja que implica dos funciones , a saber, '- es A' y '- es B', de modo que todo lo que satisface la primera, también satisface la segunda. En la notación moderna, esto se expresaría como
En español, "para todo x, si Ax entonces Bx". Por lo tanto, sólo las proposiciones singulares tienen forma de sujeto-predicado, y son irreduciblemente singulares, es decir, no reducibles a una proposición general. Las proposiciones universales y particulares, por el contrario, no tienen forma de sujeto-predicado simple en absoluto. Si "todos los mamíferos" fuera el sujeto lógico de la oración "todos los mamíferos son habitantes de la tierra", entonces para negar toda la oración tendríamos que negar el predicado para obtener "todos los mamíferos no son habitantes de la tierra". Pero este no es el caso. [134] Este análisis funcional de las oraciones del lenguaje ordinario tuvo posteriormente un gran impacto en la filosofía y la lingüística .
Esto significa que en el cálculo de Frege, las proposiciones "primarias" de Boole pueden representarse de una manera diferente a las proposiciones "secundarias". "Todos los habitantes son hombres o mujeres" es
mientras que "Todos los habitantes son hombres o todos los habitantes son mujeres" es
Como Frege señaló en una crítica del cálculo de Boole:
Además de proporcionar un sistema de lógica unificado y completo, el cálculo de Frege también resolvió el antiguo problema de la generalidad múltiple . La ambigüedad de "cada chica besó a un chico" es difícil de expresar en la lógica tradicional, pero la lógica de Frege la resuelve a través del alcance diferente de los cuantificadores.
significa que a cada chica le corresponde un chico (cualquiera servirá) al que la chica besó. Pero
significa que hay un chico en particular al que todas las chicas besaron. Sin este recurso, el proyecto del logicismo habría sido dudoso o imposible. Utilizándolo, Frege proporcionó una definición de la relación ancestral , de la relación de muchos a uno y de la inducción matemática . [136]
Este período coincide con el trabajo de lo que se conoce como la "escuela matemática", que incluía a Dedekind , Pasch , Peano , Hilbert , Zermelo , Huntington , Veblen y Heyting . Su objetivo era la axiomatización de ramas de las matemáticas como la geometría, la aritmética, el análisis y la teoría de conjuntos. El más notable fue el Programa de Hilbert , que buscaba fundamentar todas las matemáticas en un conjunto finito de axiomas, demostrando su consistencia por medios "finitistas" y proporcionando un procedimiento que decidiría la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático. La axiomatización estándar de los números naturales se denomina epónimamente axiomas de Peano . Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos. Aunque desconocía el trabajo de Frege, recreó de forma independiente su aparato lógico basado en el trabajo de Boole y Schröder. [137]
El proyecto logicista recibió un revés casi fatal con el descubrimiento de una paradoja en 1901 por Bertrand Russell . Esto demostró que la teoría de conjuntos ingenua de Frege conducía a una contradicción. La teoría de Frege contenía el axioma de que para cualquier criterio formal, existe un conjunto de todos los objetos que cumplen el criterio. Russell demostró que un conjunto que contiene exactamente los conjuntos que no son miembros de sí mismos contradiría su propia definición (si no es un miembro de sí mismo, es un miembro de sí mismo, y si es un miembro de sí mismo, no lo es). [138] Esta contradicción ahora se conoce como la paradoja de Russell . Un método importante para resolver esta paradoja fue propuesto por Ernst Zermelo . [139] La teoría de conjuntos de Zermelo fue la primera teoría de conjuntos axiomática . Se desarrolló en la ahora canónica teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). La paradoja de Russell simbólicamente es la siguiente:
La monumental Principia Mathematica , una obra de tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas , escrita por Russell y Alfred North Whitehead y publicada entre 1910 y 1913, también incluía un intento de resolver la paradoja mediante un elaborado sistema de tipos : un conjunto de elementos es de un tipo diferente al de cada uno de sus elementos (el conjunto no es el elemento; un elemento no es el conjunto) y no se puede hablar del " conjunto de todos los conjuntos ". Los Principia fueron un intento de derivar todas las verdades matemáticas a partir de un conjunto bien definido de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica .
Los nombres de Gödel y Tarski dominan la década de 1930, [140] un período crucial en el desarrollo de la metamatemática —el estudio de las matemáticas utilizando métodos matemáticos para producir metateorías , o teorías matemáticas sobre otras teorías matemáticas. Las primeras investigaciones en metamatemáticas habían sido impulsadas por el programa de Hilbert. El trabajo en metamatemáticas culminó en el trabajo de Gödel, quien en 1929 demostró que una oración de primer orden dada es deducible si y solo si es lógicamente válida, es decir, es verdadera en cada estructura para su lenguaje. Esto se conoce como el teorema de completitud de Gödel . Un año después, demostró dos teoremas importantes, que mostraron que el programa de Hibert era inalcanzable en su forma original. El primero es que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas puedan enumerarse mediante un procedimiento efectivo como un algoritmo o un programa de computadora es capaz de probar todos los hechos sobre los números naturales . Para cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que sean verdaderas, pero que no se puedan demostrar dentro del sistema. La segunda es que si un sistema de este tipo también es capaz de demostrar ciertos hechos básicos sobre los números naturales, entonces el sistema no puede demostrar la consistencia del sistema en sí. Estos dos resultados se conocen como teoremas de incompletitud de Gödel , o simplemente Teorema de Gödel . Más tarde en la década, Gödel desarrolló el concepto de constructibilidad teórica de conjuntos , como parte de su prueba de que el axioma de elección y la hipótesis del continuo son consistentes con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En la teoría de la prueba , Gerhard Gentzen desarrolló la deducción natural y el cálculo secuencial . El primero intenta modelar el razonamiento lógico tal como ocurre "naturalmente" en la práctica y se aplica más fácilmente a la lógica intuicionista , mientras que el segundo fue ideado para aclarar la derivación de pruebas lógicas en cualquier sistema formal. Desde el trabajo de Gentzen, la deducción natural y los cálculos secuenciales se han aplicado ampliamente en los campos de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la informática. Gentzen también demostró teoremas de normalización y de eliminación de cortes para la lógica intuicionista y clásica que podrían utilizarse para reducir las demostraciones lógicas a una forma normal. [141]
Alfred Tarski , alumno de Łukasiewicz , es más conocido por su definición de verdad y consecuencia lógica , y el concepto semántico de satisfacción lógica . En 1933, publicó (en polaco) El concepto de verdad en lenguajes formalizados , en el que propuso su teoría semántica de la verdad : una oración como "la nieve es blanca" es verdadera si y solo si la nieve es blanca. La teoría de Tarski separó el metalenguaje , que hace la afirmación sobre la verdad, del lenguaje objeto, que contiene la oración cuya verdad se afirma, y dio una correspondencia (el esquema T ) entre frases en el lenguaje objeto y elementos de una interpretación . El enfoque de Tarski a la difícil idea de explicar la verdad ha sido duraderamente influyente en la lógica y la filosofía, especialmente en el desarrollo de la teoría de modelos . [142] Tarski también produjo un trabajo importante sobre la metodología de los sistemas deductivos y sobre principios fundamentales como la completitud , la decidibilidad , la consistencia y la definibilidad . Según Anita Feferman, Tarski "cambió la cara de la lógica en el siglo XX". [143]
Alonzo Church y Alan Turing propusieron modelos formales de computabilidad, y dieron soluciones negativas independientes al problema de Entscheidung de Hilbert en 1936 y 1937, respectivamente. El problema de Entscheidung pedía un procedimiento que, dada cualquier afirmación matemática formal, determinara algorítmicamente si la afirmación era verdadera. Church y Turing demostraron que no existe tal procedimiento; el artículo de Turing presentó el problema de la detención como un ejemplo clave de un problema matemático sin una solución algorítmica.
El sistema de cálculo de Church se desarrolló hasta convertirse en el moderno cálculo λ , mientras que la máquina de Turing se convirtió en un modelo estándar para un dispositivo informático de propósito general. Pronto se demostró que muchos otros modelos de cálculo propuestos eran equivalentes en potencia a los propuestos por Church y Turing. Estos resultados llevaron a la tesis de Church-Turing de que cualquier algoritmo determinista que pueda ser llevado a cabo por un humano puede ser llevado a cabo por una máquina de Turing. Church demostró resultados de indecidibilidad adicionales, mostrando que tanto la aritmética de Peano como la lógica de primer orden son indecidibles . El trabajo posterior de Emil Post y Stephen Cole Kleene en la década de 1940 amplió el alcance de la teoría de la computabilidad e introdujo el concepto de grados de irresolubilidad .
Los resultados de las primeras décadas del siglo XX también tuvieron un impacto en la filosofía analítica y la lógica filosófica , particularmente a partir de la década de 1950 en adelante, en temas como la lógica modal , la lógica temporal , la lógica deóntica y la lógica de la relevancia .
Después de la Segunda Guerra Mundial, la lógica matemática se ramificó en cuatro áreas de investigación interrelacionadas pero separadas: teoría de modelos , teoría de la prueba , teoría de la computabilidad y teoría de conjuntos . [144]
En la teoría de conjuntos, el método de forzamiento revolucionó el campo al proporcionar un método robusto para construir modelos y obtener resultados de independencia. Paul Cohen introdujo este método en 1963 para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo y el axioma de elección de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . [145] Su técnica, que se simplificó y amplió poco después de su introducción, se ha aplicado desde entonces a muchos otros problemas en todas las áreas de la lógica matemática.
La teoría de la computabilidad tuvo sus raíces en el trabajo de Turing, Church, Kleene y Post en los años 1930 y 1940. Se desarrolló en un estudio de la computabilidad abstracta, que se conoció como teoría de la recursión . [146] El método de prioridad , descubierto independientemente por Albert Muchnik y Richard Friedberg en la década de 1950, condujo a avances importantes en la comprensión de los grados de irresolubilidad y las estructuras relacionadas. La investigación sobre la teoría de la computabilidad de orden superior demostró sus conexiones con la teoría de conjuntos. Los campos del análisis constructivo y el análisis computable se desarrollaron para estudiar el contenido efectivo de los teoremas matemáticos clásicos; estos a su vez inspiraron el programa de matemáticas inversas . Una rama separada de la teoría de la computabilidad, la teoría de la complejidad computacional , también se caracterizó en términos lógicos como resultado de las investigaciones sobre la complejidad descriptiva .
La teoría de modelos aplica los métodos de la lógica matemática para estudiar los modelos de teorías matemáticas particulares. Alfred Tarski publicó muchos trabajos pioneros en el campo, que deben su nombre a una serie de artículos que publicó bajo el título Contribuciones a la teoría de modelos . En la década de 1960, Abraham Robinson utilizó técnicas de teoría de modelos para desarrollar el cálculo y el análisis basados en infinitesimales , un problema que había sido propuesto por primera vez por Leibniz.
En la teoría de la prueba, la relación entre las matemáticas clásicas y las matemáticas intuicionistas se clarificó mediante herramientas como el método de realizabilidad inventado por Georg Kreisel y la interpretación de Dialéctica de Gödel . Este trabajo inspiró el área contemporánea de la minería de pruebas . La correspondencia Curry-Howard surgió como una analogía profunda entre la lógica y la computación, incluida una correspondencia entre los sistemas de deducción natural y los cálculos lambda tipificados utilizados en la ciencia informática. Como resultado, la investigación en esta clase de sistemas formales comenzó a abordar aspectos tanto lógicos como computacionales; esta área de investigación llegó a conocerse como teoría de tipos moderna. También se hicieron avances en el análisis ordinal y el estudio de los resultados de independencia en aritmética, como el teorema de París-Harrington .
Este también fue un período, particularmente en la década de 1950 y después, cuando las ideas de la lógica matemática comienzan a influir en el pensamiento filosófico. Por ejemplo, la lógica temporal es un sistema formalizado para representar y razonar sobre proposiciones calificadas en términos de tiempo. El filósofo Arthur Prior jugó un papel importante en su desarrollo en la década de 1960. Las lógicas modales extienden el alcance de la lógica formal para incluir los elementos de modalidad (por ejemplo, posibilidad y necesidad ). Las ideas de Saul Kripke , particularmente sobre mundos posibles , y el sistema formal ahora llamado semántica de Kripke han tenido un profundo impacto en la filosofía analítica . [147] Su obra más conocida e influyente es Naming and Necessity (1980). [148] Las lógicas deónticas están estrechamente relacionadas con las lógicas modales: intentan capturar las características lógicas de obligación , permiso y conceptos relacionados. Aunque Bolzano mostró algunas novedades básicas que sincretizaban la lógica matemática y filosófica a principios del siglo XIX, fue Ernst Mally , un alumno de Alexius Meinong , quien propondría el primer sistema deóntico formal en su Grundgesetze des Sollens , basado en la sintaxis del cálculo proposicional de Whitehead y Russell .
Otro sistema lógico fundado después de la Segunda Guerra Mundial fue la lógica difusa del matemático azerbaiyano Lotfi Asker Zadeh en 1965.
