La historia de las matemáticas trata del origen de los descubrimientos en matemáticas y de los métodos matemáticos y la notación del pasado . Antes de la era moderna y la difusión mundial del conocimiento, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos han salido a la luz sólo en unos pocos lugares. Desde el año 3000 aC, los estados mesopotámicos de Sumer , Acad y Asiria , seguidos de cerca por el antiguo Egipto y el estado levantino de Ebla , comenzaron a utilizar la aritmética , el álgebra y la geometría con fines tributarios , comerciales y también en los patrones de la naturaleza , el campo de la astronomía y registrar el tiempo y formular calendarios .
Los primeros textos matemáticos disponibles son de Mesopotamia y Egipto : Plimpton 322 ( babilónico c. 2000 – 1900 a. C.), [2] el Papiro Matemático de Rhind ( egipcio c. 1800 a. C.) [3] y el Papiro Matemático de Moscú (egipcio c. 1890) ANTES DE CRISTO). Todos estos textos mencionan los llamados triples pitagóricos , por lo que, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el desarrollo matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas.
El estudio de las matemáticas como "disciplina demostrativa" se inició en el siglo VI a.C. con los pitagóricos , quienes acuñaron el término "matemáticas" del griego antiguo μάθημα ( matema ), que significa "sujeto de instrucción". [4] Las matemáticas griegas refinaron enormemente los métodos (especialmente mediante la introducción del razonamiento deductivo y el rigor matemático en las pruebas ) y ampliaron el tema de las matemáticas. [5] Aunque prácticamente no hicieron contribuciones a las matemáticas teóricas , los antiguos romanos utilizaron las matemáticas aplicadas en topografía , ingeniería estructural , ingeniería mecánica , contabilidad , creación de calendarios lunares y solares , e incluso artes y oficios . Las matemáticas chinas hicieron contribuciones tempranas, incluido un sistema de valor posicional y el primer uso de números negativos . [6] [7] El sistema de numeración hindú-árabe y las reglas para el uso de sus operaciones, que se utilizan hoy en día en todo el mundo, evolucionaron a lo largo del primer milenio d.C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas a través de la obra de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī . [8] [9] Las matemáticas islámicas, a su vez, desarrollaron y ampliaron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones. [10] Contemporáneas pero independientes de estas tradiciones fueron las matemáticas desarrolladas por la civilización maya de México y América Central , donde al concepto de cero se le dio un símbolo estándar en los números mayas .
Muchos textos griegos y árabes sobre matemáticas fueron traducidos al latín a partir del siglo XII, lo que condujo a un mayor desarrollo de las matemáticas en la Europa medieval . Desde la antigüedad hasta la Edad Media , los períodos de descubrimiento matemático fueron seguidos a menudo por siglos de estancamiento. [11] A partir de la Italia del Renacimiento en el siglo XV, se realizaron nuevos desarrollos matemáticos, en interacción con nuevos descubrimientos científicos, a un ritmo creciente que continúa hasta el día de hoy. Esto incluye el trabajo pionero de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el desarrollo del cálculo infinitesimal durante el siglo XVII.
Los orígenes del pensamiento matemático se encuentran en los conceptos de número , patrones en la naturaleza , magnitud y forma . [12] Los estudios modernos sobre la cognición animal han demostrado que estos conceptos no son exclusivos de los humanos. Estos conceptos habrían formado parte de la vida cotidiana en las sociedades de cazadores-recolectores . La idea de que el concepto de "número" evoluciona gradualmente con el tiempo está respaldada por la existencia de lenguajes que preservan la distinción entre "uno", "dos" y "muchos", pero no de números mayores que dos. [12]
El hueso de Ishango , encontrado cerca de la cabecera del río Nilo (noreste del Congo ), puede tener más de 20.000 años y consta de una serie de marcas talladas en tres columnas que recorren la longitud del hueso. Las interpretaciones comunes son que el hueso de Ishango muestra un recuento de la demostración más antigua conocida de secuencias de números primos [13] o un calendario lunar de seis meses. [14] Peter Rudman sostiene que el desarrollo del concepto de números primos sólo pudo haberse producido después del concepto de división, que él fecha después del 10.000 a.C., y que los números primos probablemente no se entendieron hasta aproximadamente el 500 a.C. También escribe que "no se ha intentado explicar por qué un recuento de algo debería presentar múltiplos de dos, números primos entre 10 y 20 y algunos números que son casi múltiplos de 10". [15] El hueso de Ishango, según el erudito Alexander Marshack , puede haber influido en el desarrollo posterior de las matemáticas en Egipto ya que, al igual que algunas entradas en el hueso de Ishango, la aritmética egipcia también hacía uso de la multiplicación por 2; esto, sin embargo, está en disputa. [dieciséis]
Los egipcios predinásticos del quinto milenio a. C. representaban pictóricamente diseños geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos de Inglaterra y Escocia , que datan del III milenio a.C., incorporan ideas geométricas como círculos , elipses y ternas pitagóricas en su diseño. [17] Sin embargo, todo lo anterior está en disputa, y los documentos matemáticos indiscutibles más antiguos actualmente son de fuentes babilónicas y dinásticas egipcias. [18]
Las matemáticas babilónicas se refieren a cualquier matemática de los pueblos de Mesopotamia ( Irak moderno ) desde los días de los primeros sumerios hasta el período helenístico casi hasta los albores del cristianismo . [19] La mayor parte del trabajo matemático babilónico proviene de dos períodos muy separados: los primeros cientos de años del segundo milenio a. C. (período de la antigua Babilonia) y los últimos siglos del primer milenio a. C. ( período seléucida ). [20] Se denomina matemática babilónica debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio. Más tarde, bajo el Imperio Árabe , Mesopotamia, especialmente Bagdad , volvió a convertirse en un importante centro de estudio de las matemáticas islámicas .
En contraste con la escasez de fuentes de matemáticas egipcias , el conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. [21] Escritas en escritura cuneiforme , las tablillas se escribían mientras la arcilla estaba húmeda y se cocían en un horno o al calor del sol. Algunos de estos parecen ser tareas calificadas. [22]
La evidencia más temprana de matemáticas escritas se remonta a los antiguos sumerios , quienes construyeron la civilización más antigua en Mesopotamia. Desarrollaron un complejo sistema de metrología a partir del año 3000 a. C. que se ocupaba principalmente del recuento administrativo/financiero, como asignaciones de cereales, trabajadores, pesos de plata o incluso líquidos, entre otras cosas. [23] Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y se ocuparon de ejercicios geométricos y problemas de división . Los primeros vestigios de los números babilónicos también se remontan a este período. [24]
Las matemáticas babilónicas se escribieron utilizando un sistema numérico sexagesimal (base 60) . [21] De esto se deriva el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 (60 × 6) grados en un círculo, así como el uso de segundos y minutos de arco para denotar fracciones. de un grado. Se cree que el sistema sexagesimal fue utilizado inicialmente por los escribas sumerios porque 60 se puede dividir uniformemente entre 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, [21] y para los escribas (repartir lo antes mencionado asignaciones de granos, registrar el peso de la plata, etc.) era esencial poder calcular fácilmente a mano, por lo que un sistema sexagesimal es pragmáticamente más fácil de calcular a mano; sin embargo, existe la posibilidad de que el uso de un sistema sexagesimal fuera un fenómeno etnolingüístico (que quizás nunca se sepa) y no una decisión matemática/práctica. [25] Además, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un sistema de valor posicional, donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes, como en el sistema decimal . El poder del sistema de notación babilónico residía en que podía usarse para representar fracciones tan fácilmente como números enteros; por lo tanto, multiplicar dos números que contenían fracciones no era diferente de multiplicar números enteros, similar a la notación moderna. El sistema de notación de los babilonios fue el mejor de cualquier civilización hasta el Renacimiento , y su potencia le permitió alcanzar una precisión computacional notable; por ejemplo, la tablilla babilónica YBC 7289 da una aproximación de √ 2 con una precisión de cinco decimales. [26] Sin embargo, los babilonios carecían de un equivalente del punto decimal, por lo que el valor posicional de un símbolo a menudo tenía que inferirse del contexto. [20] En el período seléucida, los babilonios habían desarrollado un símbolo cero como marcador de posición para posiciones vacías; sin embargo sólo se utilizó para posiciones intermedias. [20] Este signo cero no aparece en posiciones terminales, por lo que los babilonios se acercaron pero no desarrollaron un verdadero sistema de valor posicional. [20]
Otros temas cubiertos por las matemáticas babilónicas incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y el cálculo de números regulares y sus pares recíprocos . [27] Las tabletas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales , cuadráticas y ecuaciones cúbicas , un logro notable para la época. [28] Las tablillas del período de la antigua Babilonia también contienen la declaración más antigua conocida del teorema de Pitágoras . [29] Sin embargo, al igual que con las matemáticas egipcias, las matemáticas babilónicas no muestran ninguna conciencia de la diferencia entre soluciones exactas y aproximadas, o la solucion de un problema, y lo más importante, ninguna declaración explícita de la necesidad de pruebas o principios lógicos. [22]
Las matemáticas egipcias se refieren a las matemáticas escritas en idioma egipcio . A partir del período helenístico , el griego reemplazó al egipcio como lengua escrita de los eruditos egipcios . El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el Imperio Árabe como parte de las matemáticas islámicas , cuando el árabe se convirtió en la lengua escrita de los eruditos egipcios. La evidencia arqueológica ha sugerido que el sistema de conteo del Antiguo Egipto tuvo su origen en el África subsahariana. [30] Además, los diseños de geometría fractal que están muy extendidos entre las culturas del África subsahariana también se encuentran en la arquitectura egipcia y en los signos cosmológicos. [31]
El texto matemático egipcio más extenso es el papiro Rhind (a veces también llamado papiro Ahmes en honor a su autor), que data de c. 1650 a.C., pero probablemente sea una copia de un documento más antiguo del Reino Medio de aproximadamente 2000-1800 a.C. [32] Es un manual de instrucciones para estudiantes de aritmética y geometría. Además de brindar fórmulas de área y métodos para multiplicar, dividir y trabajar con fracciones unitarias, también contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, [33] incluidos números primos y compuestos ; medios aritméticos , geométricos y armónicos ; y comprensiones simplistas tanto del Tamiz de Eratóstenes como de la teoría de los números perfectos (es decir, la del número 6). [34] También muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden [35] , así como series aritméticas y geométricas . [36]
Otro texto matemático egipcio significativo es el papiro de Moscú , también del período del Reino Medio , que data de c. 1890 a.C. [37] Consiste en lo que hoy se llaman problemas escritos o problemas escritos , que aparentemente estaban pensados como entretenimiento. Se considera que un problema es de particular importancia porque proporciona un método para encontrar el volumen de un tronco (pirámide truncada).
Finalmente, el Papiro de Berlín 6619 (c. 1800 a. C.) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación algebraica de segundo orden . [38]
Las matemáticas griegas se refieren a las matemáticas escritas en lengua griega desde la época de Tales de Mileto (~600 a.C.) hasta el cierre de la Academia de Atenas en el 529 d.C. [39] Los matemáticos griegos vivían en ciudades repartidas por todo el Mediterráneo oriental, desde Italia hasta el norte de África, pero estaban unidos por la cultura y el idioma. Las matemáticas griegas del período posterior a Alejandro Magno a veces se denominan matemáticas helenísticas . [40]
Las matemáticas griegas eran mucho más sofisticadas que las desarrolladas por culturas anteriores. Todos los registros supervivientes de matemáticas pregriegas muestran el uso del razonamiento inductivo , es decir, observaciones repetidas utilizadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, utilizaban el razonamiento deductivo . Los griegos utilizaron la lógica para derivar conclusiones a partir de definiciones y axiomas, y utilizaron el rigor matemático para demostrarlos. [41]
Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Tales de Mileto (c. 624 – c. 546 a. C.) y Pitágoras de Samos (c. 582 – c. 507 a. C.). Aunque se discute el alcance de la influencia, probablemente se inspiraron en las matemáticas egipcias y babilónicas . Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios.
Tales utilizó la geometría para resolver problemas como calcular la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del Teorema de Tales . Como resultado, ha sido aclamado como el primer verdadero matemático y el primer individuo conocido a quien se le ha atribuido un descubrimiento matemático. [42] Pitágoras estableció la Escuela Pitagórica , cuya doctrina era que las matemáticas gobernaban el universo y cuyo lema era "Todo es número". [43] Fueron los pitagóricos quienes acuñaron el término "matemáticas", y con quienes comienza el estudio de las matemáticas por sí mismas. A los pitagóricos se les atribuye la primera demostración del teorema de Pitágoras , [44] aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia, y la prueba de la existencia de números irracionales . [45] [46] Aunque fue precedido por los babilonios , los indios y los chinos , [47] el matemático neopitagórico Nicómaco (60-120 d.C.) proporcionó una de las primeras tablas de multiplicar grecorromanas , mientras que la tabla de multiplicar griega más antigua que se conserva se encuentra en una tablilla de cera que data del siglo I d.C. (ahora encontrada en el Museo Británico ). [48] La asociación de los neopitagóricos con la invención occidental de la tabla de multiplicar es evidente en su nombre medieval posterior : mensa Pythagorica . [49]
Platón (428/427 a. C. – 348/347 a. C.) es importante en la historia de las matemáticas por inspirar y guiar a otros. [50] Su Academia Platónica , en Atenas , se convirtió en el centro matemático del mundo en el siglo IV a.C., y fue de esta escuela que los principales matemáticos de la época, como Eudoxo de Cnido (c. 390 - c. 340 antes de Cristo), vino. [51] Platón también discutió los fundamentos de las matemáticas, [52] aclaró algunas de las definiciones (por ejemplo, la de una línea como "longitud sin anchura") y reorganizó los supuestos. [53] El método analítico se atribuye a Platón, mientras que una fórmula para obtener ternas pitagóricas lleva su nombre. [51]
Eudoxo desarrolló el método del agotamiento , precursor de la integración moderna [54] y una teoría de razones que evitaba el problema de las magnitudes inconmensurables . [55] El primero permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, [56] mientras que el segundo permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos en geometría. Aunque no hizo descubrimientos matemáticos técnicos específicos, Aristóteles (384– c. 322 a. C. ) contribuyó significativamente al desarrollo de las matemáticas al sentar las bases de la lógica . [57]
En el siglo III a. C., el principal centro de educación e investigación matemática era el Museo de Alejandría . [59] Fue allí donde Euclides ( c. 300 a. C. ) enseñó y escribió los Elementos , ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. [1] Los Elementos introdujeron el rigor matemático a través del método axiomático y es el ejemplo más antiguo del formato que todavía se utiliza en las matemáticas hoy en día, el de definición, axioma, teorema y prueba. Aunque ya se conocía la mayor parte del contenido de los Elementos , Euclides los organizó en un marco lógico único y coherente. [60] Los Elementos eran conocidos por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y su contenido todavía se enseña en las clases de geometría en la actualidad. [61] Además de los teoremas familiares de la geometría euclidiana , los Elementos pretendían ser un libro de texto introductorio a todas las materias matemáticas de la época, como la teoría de números , el álgebra y la geometría de sólidos , [60] incluyendo pruebas de que la raíz cuadrada de dos es irracional y que hay infinitos números primos. Euclides también escribió extensamente sobre otros temas, como las secciones cónicas , la óptica , la geometría esférica y la mecánica, pero sólo sobrevive la mitad de sus escritos. [62]
Arquímedes ( c. 287 –212 a. C.) de Siracusa , ampliamente considerado el mayor matemático de la antigüedad, [63] utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no demasiado diferente del cálculo moderno. [64] También demostró que se podía utilizar el método de agotamiento para calcular el valor de π con tanta precisión como se desea, y obtuvo el valor de π más preciso conocido entonces, 3+10/71< π < 3+10/70. [65] También estudió la espiral que lleva su nombre, obtuvo fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución (paraboloide, elipsoide, hiperboloide), [64] y un ingenioso método de exponenciación para expresar números muy grandes. [66] Si bien también es conocido por sus contribuciones a la física y varios dispositivos mecánicos avanzados, el propio Arquímedes otorgaba un valor mucho mayor a los productos de su pensamiento y a los principios matemáticos generales. [67] Consideró como su mayor logro su hallazgo del área de superficie y el volumen de una esfera, que obtuvo demostrando que son 2/3 del área de superficie y el volumen de un cilindro que circunscribe la esfera. [68]
Apolonio de Perga ( c. 262-190 a. C.) hizo avances significativos en el estudio de las secciones cónicas , demostrando que se pueden obtener las tres variedades de sección cónica variando el ángulo del plano que corta un cono de doble pelo. [69] También acuñó la terminología que se usa hoy en día para las secciones cónicas, a saber, parábola ("lugar al lado" o "comparación"), "elipse" ("deficiencia") e "hipérbola" ("un lanzamiento más allá"). [70] Su obra Cónicas es una de las obras matemáticas más conocidas y conservadas de la antigüedad, y en ella deriva muchos teoremas sobre secciones cónicas que resultarían invaluables para los matemáticos y astrónomos posteriores que estudian el movimiento planetario, como Isaac Newton. [71] Si bien ni Apolonio ni ningún otro matemático griego dieron el salto a la geometría coordinada, el tratamiento de las curvas por parte de Apolonio es en algunos aspectos similar al tratamiento moderno, y parte de su trabajo parece anticipar el desarrollo de la geometría analítica por parte de Descartes alrededor de 1800. años después. [72]
Casi al mismo tiempo, Eratóstenes de Cirene ( c. 276 –194 a. C.) ideó el tamiz de Eratóstenes para encontrar números primos . [73] El siglo III a. C. se considera generalmente como la "Edad de oro" de las matemáticas griegas, con avances en matemáticas puras en adelante en relativo declive. [74] Sin embargo, en los siglos siguientes se realizaron avances significativos en las matemáticas aplicadas, sobre todo en la trigonometría , en gran parte para satisfacer las necesidades de los astrónomos. [74] Hiparco de Nicea ( c. 190 –120 a. C.) es considerado el fundador de la trigonometría por compilar la primera tabla trigonométrica conocida, y a él también se le debe el uso sistemático del círculo de 360 grados. [75] A Herón de Alejandría ( c. 10 –70 d.C.) se le atribuye la fórmula de Herón para encontrar el área de un triángulo escaleno y ser el primero en reconocer la posibilidad de que los números negativos posean raíces cuadradas. [76] Menelao de Alejandría ( c. 100 d.C. ) fue pionero en la trigonometría esférica a través del teorema de Menelao . [77] La obra trigonométrica más completa e influyente de la antigüedad es el Almagesto de Ptolomeo ( c. 90-168 d. C. ), un tratado astronómico histórico cuyas tablas trigonométricas serían utilizadas por los astrónomos durante los siguientes mil años. [78] A Ptolomeo también se le atribuye el teorema de Ptolomeo para derivar cantidades trigonométricas, y el valor más preciso de π fuera de China hasta el período medieval, 3.1416. [79]
Tras un período de estancamiento posterior a Ptolomeo, el período comprendido entre 250 y 350 d.C. a veces se denomina la "Edad de Plata" de las matemáticas griegas. [80] Durante este período, Diofanto hizo avances significativos en álgebra, particularmente en análisis indeterminado , que también se conoce como "análisis diofántico". [81] El estudio de las ecuaciones diofánticas y las aproximaciones diofánticas es un área importante de investigación hasta el día de hoy. Su obra principal fue Arithmetica , una colección de 150 problemas algebraicos que tratan de soluciones exactas a ecuaciones determinadas e indeterminadas . [82] La Arithmetica tuvo una influencia significativa en matemáticos posteriores, como Pierre de Fermat , quien llegó a su famoso último teorema después de intentar generalizar un problema que había leído en la Arithmetica (el de dividir un cuadrado en dos cuadrados). [83] Diofanto también hizo avances significativos en notación, siendo la Arithmetica la primera instancia de simbolismo algebraico y síncopa. [82]
Entre los últimos grandes matemáticos griegos se encuentra Pappus de Alejandría (siglo IV d.C.). Es conocido por su teorema del hexágono y el teorema del centroide , así como por la configuración de Pappus y el gráfico de Pappus . Su colección es una importante fuente de conocimiento sobre las matemáticas griegas, ya que la mayor parte ha sobrevivido. [84] Pappus es considerado el último gran innovador en matemáticas griegas, y el trabajo posterior consiste principalmente en comentarios sobre trabajos anteriores.
La primera mujer matemática registrada en la historia fue Hipatia de Alejandría (350-415 d.C.). Sucedió a su padre ( Teón de Alejandría ) como bibliotecaria en la Gran Biblioteca [ cita necesaria ] y escribió muchos trabajos sobre matemáticas aplicadas. Debido a una disputa política, la comunidad cristiana de Alejandría hizo que la desnudaran públicamente y la ejecutaran. [85] Su muerte a veces se considera el final de la era de las matemáticas griegas alejandrinas, aunque el trabajo continuó en Atenas durante otro siglo con figuras como Proclo , Simplicio y Eutocio . [86] Aunque Proclo y Simplicio eran más filósofos que matemáticos, sus comentarios sobre obras anteriores son fuentes valiosas sobre las matemáticas griegas. El cierre de la Academia neoplatónica de Atenas por el emperador Justiniano en 529 d.C. se considera tradicionalmente como el final de la era de las matemáticas griegas, aunque la tradición griega continuó ininterrumpida en el imperio bizantino con matemáticos como Antemio de Tralles e Isidoro . de Mileto , los arquitectos de Santa Sofía . [87] Sin embargo, las matemáticas bizantinas consistían principalmente en comentarios, con poca innovación, y los centros de innovación matemática se encontraban en otros lugares en ese momento. [88]
Aunque los matemáticos de etnia griega continuaron bajo el dominio de la República Romana tardía y el posterior Imperio Romano , no hubo matemáticos latinos nativos dignos de mención en comparación. [89] [90] Los antiguos romanos como Cicerón (106–43 a. C.), un influyente estadista romano que estudió matemáticas en Grecia, creían que los agrimensores y calculadores romanos estaban mucho más interesados en las matemáticas aplicadas que en las matemáticas teóricas y la geometría que eran tan apreciadas. por los griegos. [91] No está claro si los romanos derivaron por primera vez su sistema numérico directamente del precedente griego o de los números etruscos utilizados por la civilización etrusca centrada en lo que hoy es Toscana , Italia central . [92]
Utilizando el cálculo, los romanos eran expertos tanto en instigar como en detectar fraudes financieros , así como en gestionar los impuestos para el tesoro . [93] Siculus Flaccus , uno de los gromatici romanos (es decir, agrimensor), escribió las Categorías de campos , que ayudaron a los agrimensores romanos a medir las superficies de las tierras y territorios asignados. [94] Además de gestionar el comercio y los impuestos, los romanos también aplicaban regularmente las matemáticas para resolver problemas de ingeniería , incluida la construcción de arquitectura como puentes , la construcción de carreteras y la preparación para campañas militares . [95] Artes y artesanías como los mosaicos romanos , inspirados en diseños griegos anteriores , crearon patrones geométricos ilusionistas y escenas ricas y detalladas que requerían medidas precisas para cada tesela , las piezas de opus tessellatum miden en promedio ocho milímetros cuadrados y las más finas opus vermiculatum. Piezas que tengan una superficie media de cuatro milímetros cuadrados. [96] [97]
La creación del calendario romano también requirió matemáticas básicas. El primer calendario supuestamente se remonta al siglo VIII a. C. durante el Reino Romano e incluía 356 días más un año bisiesto cada dos años. [98] Por el contrario, el calendario lunar de la era republicana contenía 355 días, aproximadamente diez días y un cuarto más corto que el año solar , una discrepancia que se resolvió agregando un mes adicional al calendario después del 23 de febrero. . [99] Este calendario fue suplantado por el calendario juliano , un calendario solar organizado por Julio César (100-44 a. C.) e ideado por Sosígenes de Alejandría para incluir un día bisiesto cada cuatro años en un ciclo de 365 días. [100] Este calendario, que contenía un error de 11 minutos y 14 segundos, fue posteriormente corregido por el calendario gregoriano organizado por el Papa Gregorio XIII ( r. 1572-1585 ), prácticamente el mismo calendario solar utilizado en los tiempos modernos como estándar internacional. calendario. [101]
Aproximadamente al mismo tiempo, los chinos Han y los romanos inventaron el odómetro con ruedas para medir las distancias recorridas, el modelo romano descrito por primera vez por el ingeniero civil y arquitecto romano Vitruvio ( c. 80 a. C. – c. 15 a. C. ). [102] El dispositivo se utilizó al menos hasta el reinado del emperador Cómodo ( r. 177 – 192 d. C. ), pero su diseño parece haberse perdido hasta que se realizaron experimentos durante el siglo XV en Europa occidental. [103] Quizás basándose en engranajes y tecnología similares que se encuentran en el mecanismo de Antikythera , el odómetro de Vitruvio presentaba ruedas de carro que medían 4 pies (1,2 m) de diámetro y giraban cuatrocientas veces en una milla romana (aproximadamente 4590 pies/1400 m). ). Con cada revolución, un dispositivo de pasador y eje activaba una rueda dentada de 400 dientes que hacía girar una segunda marcha responsable de dejar caer piedras en una caja, cada piedra representaba una milla recorrida. [104]
Un análisis de las primeras matemáticas chinas ha demostrado su desarrollo único en comparación con otras partes del mundo, lo que lleva a los estudiosos a suponer un desarrollo totalmente independiente. [105] El texto matemático más antiguo que se conserva de China es el Zhoubi Suanjing (周髀算經), fechado entre 1200 a. C. y 100 a. C., aunque parece razonable una fecha de aproximadamente 300 a. C. durante el Período de los Reinos Combatientes . [106] Sin embargo, las tiras de bambú de Tsinghua , que contienen la tabla de multiplicar decimal más antigua conocida (aunque los antiguos babilonios tenían tablas con una base de 60), están fechadas alrededor del 305 a. C. y son quizás el texto matemático más antiguo que se conserva en China. [47]
De particular interés es el uso en matemáticas chinas de un sistema de notación posicional decimal, los llamados "números de varilla" en los que se utilizaban cifrados distintos para los números entre 1 y 10, y cifrados adicionales para potencias de diez. [107] Así, el número 123 se escribiría usando el símbolo de "1", seguido del símbolo de "100", luego el símbolo de "2" seguido del símbolo de "10", seguido del símbolo de " 3". Este era el sistema numérico más avanzado del mundo en ese momento, aparentemente en uso varios siglos antes de la era común y mucho antes del desarrollo del sistema numérico indio. [108] Los números de varilla permitían la representación de números tan grandes como se deseaba y permitían realizar cálculos en el suan pan , o ábaco chino. La fecha de la invención del suan pan no es segura, pero la primera mención escrita data del año 190 d. C., en las Notas complementarias sobre el arte de las figuras de Xu Yue .
El trabajo más antiguo que se conserva sobre geometría en China proviene del canon filosófico mohista c. 330 a. C. , compilado por los seguidores de Mozi (470-390 a. C.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos asociados con la ciencia física y también proporcionó una pequeña cantidad de teoremas geométricos. [109] También definió los conceptos de circunferencia , diámetro , radio y volumen . [110]
En 212 a. C., el emperador Qin Shi Huang ordenó que se quemaran todos los libros del Imperio Qin , excepto los autorizados oficialmente. Este decreto no fue obedecido universalmente, pero como consecuencia de esta orden, se sabe poco sobre las matemáticas chinas antiguas antes de esta fecha. Después de la quema de libros de 212 a. C., la dinastía Han (202 a. C.-220 d. C.) produjo obras de matemáticas que presumiblemente ampliaron obras que ahora están perdidas. El más importante de ellos es Los nueve capítulos sobre el arte matemático , cuyo título completo apareció en el año 179 d. C., pero que existía en parte con otros títulos antes. Consta de 246 problemas planteados que involucran agricultura, negocios, empleo de la geometría para calcular las alturas y las proporciones de las torres de pagodas chinas , ingeniería, topografía e incluye material sobre triángulos rectángulos . [106] Creó una prueba matemática para el teorema de Pitágoras , [111] y una fórmula matemática para la eliminación gaussiana . [112] El tratado también proporciona valores de π , [106] que los matemáticos chinos originalmente aproximaron a 3 hasta que Liu Xin (m. 23 d.C.) proporcionó una cifra de 3,1457 y posteriormente Zhang Heng (78-139) aproximó pi a 3,1724, [ 113] así como 3,162 tomando la raíz cuadrada de 10. [114] [115] Liu Hui comentó los Nueve Capítulos en el siglo III d.C. y dio un valor de π con una precisión de 5 decimales (es decir, 3,14159). [116] [117] Aunque es más una cuestión de resistencia computacional que de conocimiento teórico, en el siglo V d.C. Zu Chongzhi calculó el valor de π con siete decimales (entre 3,1415926 y 3,1415927), que siguió siendo el valor más preciso de π para casi los siguientes 1000 años. [116] [118] También estableció un método que más tarde se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera . [119]
El apogeo de las matemáticas chinas se produjo en el siglo XIII, durante la segunda mitad de la dinastía Song (960-1279), con el desarrollo del álgebra china. El texto más importante de ese período es El Precioso Espejo de los Cuatro Elementos de Zhu Shijie (1249-1314), que trata de la solución de ecuaciones algebraicas simultáneas de orden superior utilizando un método similar al método de Horner . [116] The Precious Mirror también contiene un diagrama del triángulo de Pascal con coeficientes de expansiones binomiales hasta la octava potencia, aunque ambos aparecen en obras chinas ya en 1100. [120] Los chinos también hicieron uso del diagrama combinatorio complejo conocido como el cuadrado mágico y círculos mágicos , descritos en la antigüedad y perfeccionados por Yang Hui (1238-1298 d.C.). [120]
Incluso después de que las matemáticas europeas comenzaron a florecer durante el Renacimiento , las matemáticas europeas y chinas eran tradiciones separadas, con una importante producción matemática china en declive a partir del siglo XIII. Los misioneros jesuitas como Matteo Ricci llevaron ideas matemáticas de un lado a otro entre las dos culturas entre los siglos XVI y XVIII, aunque en ese momento entraban en China muchas más ideas matemáticas de las que salían. [120]
Tradicionalmente se considera que las matemáticas japonesas , las matemáticas coreanas y las matemáticas vietnamitas provienen de las matemáticas chinas y pertenecen a la esfera cultural del este asiático basada en el confucianismo . [121] Las matemáticas coreanas y japonesas estuvieron fuertemente influenciadas por los trabajos algebraicos producidos durante la dinastía Song de China, mientras que las matemáticas vietnamitas estaban muy endeudadas con las obras populares de la dinastía Ming de China (1368-1644). [122] Por ejemplo, aunque los tratados matemáticos vietnamitas se escribieron en chino o en la escritura nativa vietnamita Chữ Nôm , todos siguieron el formato chino de presentar una colección de problemas con algoritmos para resolverlos, seguidos de respuestas numéricas. [123] Las matemáticas en Vietnam y Corea estaban asociadas principalmente con la burocracia judicial profesional de matemáticos y astrónomos , mientras que en Japón prevalecían más en el ámbito de las escuelas privadas . [124]
La civilización más antigua del subcontinente indio es la civilización del valle del Indo (segunda fase madura: 2600 a 1900 a. C.) que floreció en la cuenca del río Indo . Sus ciudades estaban dispuestas con regularidad geométrica, pero no sobrevive ningún documento matemático conocido de esta civilización. [126]
Los registros matemáticos más antiguos que se conservan de la India son los Sulba Sutras (fechados entre el siglo VIII a. C. y el siglo II d. C.), [127] apéndices de textos religiosos que brindan reglas simples para construir altares de diversas formas, como cuadrados, rectángulos, paralelogramos y otros. [128] Al igual que en Egipto, la preocupación por las funciones del templo apunta a un origen de las matemáticas en el ritual religioso. [127] Los Sulba Sutras dan métodos para construir un círculo con aproximadamente la misma área que un cuadrado dado , lo que implica varias aproximaciones diferentes del valor de π. [129] [130] [a] Además, calculan la raíz cuadrada de 2 con varias cifras decimales, enumeran los triples de Pitágoras y dan un enunciado del teorema de Pitágoras . [130] Todos estos resultados están presentes en las matemáticas babilónicas, lo que indica la influencia mesopotámica. [127] No se sabe en qué medida los Sulba Sutras influyeron en los matemáticos indios posteriores. Como en China, hay una falta de continuidad en las matemáticas indias; Los avances significativos están separados por largos períodos de inactividad. [127]
Pāṇini (c. siglo V a. C.) formuló las reglas de la gramática sánscrita . [131] Su notación era similar a la notación matemática moderna y usaba metarreglas, transformaciones y recursividad . [132] Pingala (aproximadamente entre los siglos III y I a. C.) en su tratado de prosodia utiliza un dispositivo correspondiente a un sistema de numeración binario . [133] [134] Su discusión de la combinatoria de metros corresponde a una versión elemental del teorema del binomio . La obra de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados mātrāmeru ). [135]
Los siguientes documentos matemáticos importantes de la India después de los Sulba Sutras son los Siddhantas , tratados astronómicos de los siglos IV y V d.C. ( período Gupta ) que muestran una fuerte influencia helenística. [136] Son significativos porque contienen la primera instancia de relaciones trigonométricas basadas en la media cuerda, como es el caso en la trigonometría moderna, en lugar de la cuerda completa, como era el caso en la trigonometría ptolemaica. [137] A través de una serie de errores de traducción, las palabras "seno" y "coseno" derivan del sánscrito "jiya" y "kojiya". [137]
Alrededor del año 500 d. C., Aryabhata escribió el Aryabhatiya , un volumen delgado, escrito en verso, destinado a complementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y medición matemática, aunque sin ningún sentimiento por la lógica o la metodología deductiva. [138] Es en el Aryabhatiya donde aparece por primera vez el sistema de valor posicional decimal. Varios siglos más tarde, el matemático musulmán Abu Rayhan Biruni describió a los Aryabhatiya como una "mezcla de guijarros comunes y cristales costosos". [139]
En el siglo VII, Brahmagupta identificó el teorema de Brahmagupta , la identidad de Brahmagupta y la fórmula de Brahmagupta , y por primera vez, en Brahma-sphuta-siddhanta , explicó lúcidamente el uso del cero como marcador de posición y dígito decimal , y explicó el concepto hindú: Sistema de numeración arábigo . [140] Fue a partir de una traducción de este texto indio sobre matemáticas (c. 770) que los matemáticos islámicos conocieron este sistema de numeración, que adaptaron como números arábigos . Los eruditos islámicos llevaron el conocimiento de este sistema numérico a Europa en el siglo XII, y ahora ha desplazado a todos los sistemas numéricos más antiguos en todo el mundo. Se utilizan varios conjuntos de símbolos para representar números en el sistema de numeración hindú-árabe, todos los cuales evolucionaron a partir de los números Brahmi . Cada una de las aproximadamente docenas de escrituras principales de la India tiene sus propios glifos numéricos. En el siglo X, el comentario de Halayudha sobre la obra de Pingala contiene un estudio de la secuencia de Fibonacci y el triángulo de Pascal , y describe la formación de una matriz . [ cita necesaria ]
En el siglo XII, Bhāskara II , [141] que vivía en el sur de la India, escribió extensamente sobre todas las ramas de las matemáticas entonces conocidas. Su obra contiene objetos matemáticos equivalentes o aproximadamente equivalentes a los infinitesimales, las derivadas, el teorema del valor medio y la derivada de la función seno. Hasta qué punto anticipó la invención del cálculo es un tema controvertido entre los historiadores de las matemáticas. [142] En el siglo XIV, Narayana Pandita completó su Ganita Kaumudi . [143]
También en el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama , el fundador de la Escuela de Matemáticas de Kerala , encontró la serie Madhava-Leibniz y obtuvo de ella una serie transformada , cuyos primeros 21 términos utilizó para calcular el valor de π como 3,14159265359. Madhava también encontró la serie de Madhava-Gregory para determinar el arcotangente, la serie de potencias de Madhava-Newton para determinar el seno y el coseno y la aproximación de Taylor para las funciones seno y coseno. [144] En el siglo XVI, Jyesthadeva consolidó muchos de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en el Yukti-bhāṣā . [145] [146] Se ha argumentado que los avances de la escuela de Kerala, que sentó las bases del análisis clásico, se transmitieron a Europa en el siglo XVI [6] a través de misioneros y comerciantes jesuitas que estaban activos alrededor del antiguo puerto. de Muziris en ese momento y, como resultado, influyó directamente en los desarrollos europeos posteriores en análisis y cálculo. [147] Sin embargo, otros académicos sostienen que la Escuela de Kerala no formuló una teoría sistemática de diferenciación e integración , y que no hay ninguna evidencia directa de que sus resultados se transmitan fuera de Kerala. [148] [149] [150] [151]
El Imperio Islámico establecido en Oriente Medio , Asia Central , África del Norte , Península Ibérica y en partes de la India en el siglo VIII hizo importantes contribuciones a las matemáticas. Aunque la mayoría de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe , no todos fueron escritos por árabes , ya que, al igual que el estatus del griego en el mundo helenístico, el árabe se usaba como lengua escrita de los eruditos no árabes en todo el mundo islámico en ese momento. . [152]
En el siglo IX, el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī escribió un libro importante sobre los números arábigos e hindúes y uno sobre métodos para resolver ecuaciones. Su libro Sobre el cálculo con números hindúes , escrito alrededor de 825, junto con el trabajo de Al-Kindi , fueron fundamentales para la difusión de las matemáticas y los números indios en Occidente. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de una de sus obras, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ( El libro compendioso sobre el cálculo mediante Finalización y Equilibrio ). Dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, [153] y fue el primero en enseñar álgebra en forma elemental y por sí misma. [154] También discutió el método fundamental de " reducción " y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación. Ésta es la operación que al-Khwārizmī describió originalmente como al-jabr . [155] Su álgebra tampoco se ocupaba ya "de una serie de problemas por resolver, sino de una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. " También estudió una ecuación por sí misma y "de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está específicamente llamada a definir una clase infinita de problemas". [156]
En Egipto, Abu Kamil extendió el álgebra al conjunto de los números irracionales , aceptando raíces cuadradas y raíces cuartas como soluciones y coeficientes de ecuaciones cuadráticas. También desarrolló técnicas utilizadas para resolver tres ecuaciones simultáneas no lineales con tres variables desconocidas. Una característica única de sus obras fue tratar de encontrar todas las soluciones posibles a algunos de sus problemas, incluido uno en el que encontró 2676 soluciones. [157] Sus obras formaron una base importante para el desarrollo del álgebra e influyeron en matemáticos posteriores, como al-Karaji y Fibonacci.
Al-Karaji realizó más desarrollos en álgebra en su tratado al-Fakhri , donde amplía la metodología para incorporar potencias enteras y raíces enteras de cantidades desconocidas. Algo parecido a una demostración por inducción matemática aparece en un libro escrito por Al-Karaji alrededor del año 1000 d.C., quien lo utilizó para demostrar el teorema del binomio , el triángulo de Pascal y la suma de cubos integrales . [158] El historiador de las matemáticas, F. Woepcke, [159] elogió a Al-Karaji por ser "el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico ". También en el siglo X, Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en derivar la fórmula para la suma de las cuartas potencias, utilizando un método fácilmente generalizable para determinar la fórmula general para la suma de cualquier potencia integral. Realizó una integración para encontrar el volumen de un paraboloide y pudo generalizar su resultado para las integrales de polinomios hasta el cuarto grado . De este modo estuvo cerca de encontrar una fórmula general para las integrales de polinomios, pero no le preocupaban ningún polinomio superior al cuarto grado. [160]
A finales del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discusiones sobre las dificultades de Euclides , un libro sobre lo que percibía como defectos en los Elementos de Euclides , especialmente el postulado paralelo . También fue el primero en encontrar la solución geométrica general de ecuaciones cúbicas . También fue muy influyente en la reforma del calendario . [161]
En el siglo XIII, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) hizo avances en la trigonometría esférica . También escribió una obra influyente sobre el postulado paralelo de Euclides . En el siglo XV, Ghiyath al-Kashi calculó el valor de π hasta el decimosexto decimal. Kashi también tenía un algoritmo para calcular raíces enésimas , que era un caso especial de los métodos dados muchos siglos después por Ruffini y Horner .
Otros logros de los matemáticos musulmanes durante este período incluyen la adición de la notación del punto decimal a los números arábigos , el descubrimiento de todas las funciones trigonométricas modernas además del seno, la introducción del criptoanálisis y el análisis de frecuencia por parte de al-Kindi , el desarrollo de la geometría analítica. por Ibn al-Haytham , el comienzo de la geometría algebraica por Omar Khayyam y el desarrollo de una notación algebraica por al-Qalasādī . [162]
Durante la época del Imperio Otomano y el Imperio Safawí a partir del siglo XV, el desarrollo de las matemáticas islámicas se estancó.
En las Américas precolombinas , la civilización maya que floreció en México y América Central durante el primer milenio d.C. desarrolló una tradición matemática única que, debido a su aislamiento geográfico, era completamente independiente de las matemáticas europeas, egipcias y asiáticas existentes. [163] Los números mayas usaban una base de veinte, el sistema vigesimal , en lugar de una base de diez que forma la base del sistema decimal utilizado por la mayoría de las culturas modernas. [163] Los mayas utilizaron las matemáticas para crear el calendario maya , así como para predecir fenómenos astronómicos en su astronomía maya nativa . [163] Si bien el concepto de cero tuvo que inferirse en las matemáticas de muchas culturas contemporáneas, los mayas desarrollaron un símbolo estándar para él. [163]
El interés de la Europa medieval por las matemáticas estuvo impulsado por preocupaciones bastante diferentes de las de los matemáticos modernos. Un elemento impulsor fue la creencia de que las matemáticas proporcionaban la clave para comprender el orden creado de la naturaleza, frecuentemente justificada por el Timeo de Platón y el pasaje bíblico (en el Libro de la Sabiduría ) de que Dios había ordenado todas las cosas en medida, número y orden. peso . [164]
Boecio proporcionó un lugar a las matemáticas en el plan de estudios en el siglo VI cuando acuñó el término quadrivium para describir el estudio de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Escribió De Institutione arithmetica , una traducción libre del griego de la Introducción a la aritmética de Nicómaco ; De Institutione musica , también derivado de fuentes griegas; y una serie de extractos de los Elementos de Euclides . Sus obras fueron teóricas, más que prácticas, y fueron la base del estudio matemático hasta la recuperación de las obras matemáticas griegas y árabes. [165] [166]
En el siglo XII, los eruditos europeos viajaron a España y Sicilia en busca de textos científicos árabes , incluido El libro compendioso sobre el cálculo por terminación y equilibrio de al -Khwārizmī , traducido al latín por Roberto de Chester , y el texto completo de los Elementos de Euclides , traducido al latín. en varias versiones de Adelardo de Bath , Herman de Carintia y Gerardo de Cremona . [167] [168] Estas y otras fuentes nuevas provocaron una renovación de las matemáticas.
Leonardo de Pisa, ahora conocido como Fibonacci , aprendió por casualidad sobre los números hindú-árabes en un viaje a lo que hoy es Béjaïa , Argelia , con su padre comerciante. (Europa todavía usaba números romanos ). Allí, observó un sistema de aritmética (específicamente algorismo ) que, debido a la notación posicional de los números hindú-árabes, era mucho más eficiente y facilitaba enormemente el comercio. Leonardo escribió el Liber Abaci en 1202 (actualizado en 1254) introduciendo la técnica en Europa y comenzando un largo período de popularización. El libro también trajo a Europa lo que ahora se conoce como la secuencia de Fibonacci (conocida por los matemáticos indios durante cientos de años antes) [169] que Fibonacci utilizó como un ejemplo corriente.
El siglo XIV vio el desarrollo de nuevos conceptos matemáticos para investigar una amplia gama de problemas. [170] Una contribución importante fue el desarrollo de las matemáticas del movimiento local.
Thomas Bradwardine propuso que la velocidad (V) aumenta en proporción aritmética a medida que la relación entre la fuerza (F) y la resistencia (R) aumenta en proporción geométrica. Bradwardine expresó esto mediante una serie de ejemplos específicos, pero aunque el logaritmo aún no había sido concebido, podemos expresar su conclusión de manera anacrónica escribiendo: V = log (F/R). [171] El análisis de Bradwardine es un ejemplo de transferencia de una técnica matemática utilizada por al-Kindi y Arnald de Villanova para cuantificar la naturaleza de los medicamentos compuestos a un problema físico diferente. [172]
Uno de los calculadores de Oxford del siglo XIV , William Heytesbury , que carecía de cálculo diferencial y del concepto de límites , propuso medir la velocidad instantánea "por la trayectoria que describiría [un cuerpo] si ... se moviera uniformemente al mismo tiempo". grado de velocidad con que se mueve en ese instante dado". [174]
Heytesbury y otros determinaron matemáticamente la distancia recorrida por un cuerpo sometido a un movimiento uniformemente acelerado (hoy resuelto por integración), afirmando que "un cuerpo en movimiento que adquiera o pierda uniformemente ese incremento [de velocidad] recorrerá en un tiempo dado una [distancia] completamente igual a lo que recorrería si se moviera continuamente durante el mismo tiempo con el grado [de velocidad] medio". [175]
Nicole Oresme de la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali proporcionaron de forma independiente demostraciones gráficas de esta relación, afirmando que el área bajo la línea que representa la aceleración constante representaba la distancia total recorrida. [176] En un comentario matemático posterior sobre los Elementos de Euclides , Oresme hizo un análisis general más detallado en el que demostró que un cuerpo adquirirá en cada incremento sucesivo de tiempo un incremento de cualquier cualidad que aumenta con los números impares. Como Euclides había demostrado que la suma de los números impares son los números cuadrados, la cualidad total adquirida por el cuerpo aumenta con el cuadrado del tiempo. [177]
Durante el Renacimiento , el desarrollo de las matemáticas y de la contabilidad estuvieron entrelazados. [178] Si bien no existe una relación directa entre álgebra y contabilidad, la enseñanza de las materias y los libros publicados a menudo estaban destinados a los hijos de comerciantes que eran enviados a escuelas de cálculo (en Flandes y Alemania ) o escuelas de ábaco (conocidas como abbaco en Italia), donde aprendieron las habilidades útiles para el comercio y el comercio. Probablemente no haya necesidad de álgebra para realizar operaciones de contabilidad , pero para operaciones complejas de trueque o el cálculo de interés compuesto , un conocimiento básico de aritmética era obligatorio y el conocimiento de álgebra era muy útil.
Piero della Francesca (c. 1415-1492) escribió libros sobre geometría sólida y perspectiva lineal , entre ellos De Prospectiva Pingendi (Sobre la perspectiva de la pintura) , Trattato d'Abaco (Tratado del ábaco) y De quinque corporibus regularibus (Sobre los cinco sólidos regulares). ) . [179] [180] [181]
La Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità de Luca Pacioli (en italiano: "Review of Arithmetic , Geometry , Ratio and Proportion ") se imprimió y publicó por primera vez en Venecia en 1494. Incluía un tratado de 27 páginas sobre contabilidad, "Particularis de Computis et Scripturis" (italiano: "Detalles de cálculo y registro"). Fue escrito y vendido principalmente para comerciantes que utilizaban el libro como texto de referencia, como fuente de placer a partir de los acertijos matemáticos que contenía y para ayudar en la educación de sus hijos. [182] En Summa Arithmetica , Pacioli introdujo símbolos para más y menos por primera vez en un libro impreso, símbolos que se convirtieron en notación estándar en las matemáticas del Renacimiento italiano. Summa Arithmetica fue también el primer libro conocido impreso en Italia que contenía álgebra. Pacioli obtuvo muchas de sus ideas de Piero Della Francesca a quien plagió.
En Italia, durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubrieron soluciones para ecuaciones cúbicas . Gerolamo Cardano las publicó en su libro Ars Magna de 1545 , junto con una solución para las ecuaciones de cuarto grado , descubierta por su alumno Lodovico Ferrari . En 1572 Rafael Bombelli publicó su L'Algebra en el que mostraba cómo tratar las cantidades imaginarias que podían aparecer en la fórmula de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas.
De Thiende ('el arte de las décimas') de Simon Stevin , publicado por primera vez en holandés en 1585, contenía el primer tratamiento sistemático de la notación decimal en Europa, que influyó en todos los trabajos posteriores sobre el sistema de números reales . [183] [184]
Impulsada por las exigencias de la navegación y la creciente necesidad de mapas precisos de grandes áreas, la trigonometría creció hasta convertirse en una rama importante de las matemáticas. Bartholomaeus Pitiscus fue el primero en utilizar la palabra y publicó su Trigonometria en 1595. La tabla de senos y cosenos de Regiomontanus se publicó en 1533. [185]
Durante el Renacimiento, el deseo de los artistas de representar el mundo natural de manera realista, junto con la filosofía redescubierta de los griegos, llevó a los artistas a estudiar matemáticas. También eran los ingenieros y arquitectos de esa época, por lo que en cualquier caso necesitaban las matemáticas. Se estudió intensamente el arte de pintar en perspectiva y los avances en geometría que implicaba. [186]
El siglo XVII vio un aumento sin precedentes de ideas matemáticas y científicas en toda Europa. Galileo observó las lunas de Júpiter en órbita alrededor de ese planeta, utilizando un telescopio basado en el de Hans Lipperhey . Tycho Brahe había reunido una gran cantidad de datos matemáticos que describían las posiciones de los planetas en el cielo. Gracias a su posición como asistente de Brahe, Johannes Kepler conoció e interactuó seriamente con el tema del movimiento planetario. Los cálculos de Kepler se simplificaron gracias a la invención contemporánea de los logaritmos por parte de John Napier y Jost Bürgi . Kepler logró formular leyes matemáticas del movimiento planetario. [187] La geometría analítica desarrollada por René Descartes (1596-1650) permitió trazar esas órbitas en un gráfico, en coordenadas cartesianas .
Basándose en trabajos anteriores de muchos predecesores, Isaac Newton descubrió las leyes de la física que explican las leyes de Kepler y reunió los conceptos que ahora se conocen como cálculo . De forma independiente, Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló el cálculo y gran parte de la notación de cálculo que todavía se utiliza en la actualidad. También refinó el sistema numérico binario , que es la base de casi todas las computadoras digitales ( electrónicas , de estado sólido , de lógica discreta ) , incluida la arquitectura de Von Neumann , que es el paradigma de diseño estándar, o " arquitectura de computadora ", seguida de la segunda mitad del siglo XX y hasta el XXI. Leibniz ha sido llamado el "fundador de la informática". [188]
La ciencia y las matemáticas se habían convertido en un esfuerzo internacional que pronto se extendería por todo el mundo. [189]
Además de la aplicación de las matemáticas a los estudios de los cielos, las matemáticas aplicadas comenzaron a expandirse hacia nuevas áreas, con la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal . Pascal y Fermat sentaron las bases para las investigaciones de la teoría de la probabilidad y las reglas correspondientes de la combinatoria en sus discusiones sobre un juego de azar . Pascal, con su apuesta , intentó utilizar la teoría de la probabilidad recientemente desarrollada para defender una vida dedicada a la religión, basándose en que incluso si la probabilidad de éxito era pequeña, las recompensas eran infinitas. En cierto sentido, esto presagió el desarrollo de la teoría de la utilidad en los siglos XVIII y XIX.
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Podría decirse que el matemático más influyente del siglo XVIII fue Leonhard Euler (1707-1783). Sus contribuciones van desde fundar el estudio de la teoría de grafos con el problema de los Siete Puentes de Königsberg hasta la estandarización de muchos términos y notaciones matemáticas modernas. Por ejemplo, nombró la raíz cuadrada de menos 1 con el símbolo i y popularizó el uso de la letra griega para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Hizo numerosas contribuciones al estudio de la topología, la teoría de grafos, el cálculo, la combinatoria y el análisis complejo, como lo demuestra la multitud de teoremas y notaciones que llevan su nombre.
Otros matemáticos europeos importantes del siglo XVIII incluyeron a Joseph Louis Lagrange , quien realizó trabajos pioneros en teoría de números, álgebra, cálculo diferencial y cálculo de variaciones, y Pierre-Simon Laplace , quien, en la época de Napoleón , realizó importantes trabajos sobre los fundamentos de la mecánica celeste y de la estadística .
A lo largo del siglo XIX las matemáticas se volvieron cada vez más abstractas. [190] Carl Friedrich Gauss (1777-1855) personifica esta tendencia. [ cita necesaria ] Realizó trabajos revolucionarios sobre funciones de variables complejas , en geometría y sobre la convergencia de series , dejando de lado sus múltiples contribuciones a la ciencia. También dio las primeras pruebas satisfactorias del teorema fundamental del álgebra y de la ley de reciprocidad cuadrática . [ cita necesaria ]
Este siglo vio el desarrollo de las dos formas de geometría no euclidiana , donde el postulado paralelo de la geometría euclidiana ya no se cumple. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai , definieron y estudiaron de forma independiente la geometría hiperbólica , donde la unicidad de los paralelos ya no se cumple. En esta geometría la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180°. La geometría elíptica fue desarrollada más tarde en el siglo XIX por el matemático alemán Bernhard Riemann ; aquí no se puede encontrar ningún paralelo y los ángulos de un triángulo suman más de 180°. Riemann también desarrolló la geometría riemanniana , que unifica y generaliza ampliamente los tres tipos de geometría, y definió el concepto de variedad , que generaliza las ideas de curvas y superficies , y sentó las bases matemáticas para la teoría de la relatividad general . [191]
El siglo XIX vio el comienzo de una gran cantidad de álgebra abstracta . Hermann Grassmann en Alemania dio una primera versión de los espacios vectoriales , William Rowan Hamilton en Irlanda desarrolló el álgebra no conmutativa . [ cita necesaria ] El matemático británico George Boole ideó un álgebra que pronto evolucionó hasta convertirse en lo que ahora se llama álgebra booleana , en la que los únicos números eran 0 y 1. El álgebra booleana es el punto de partida de la lógica matemática y tiene importantes aplicaciones en ingeniería eléctrica y Ciencias de la Computación . [ cita necesaria ] Augustin-Louis Cauchy , Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de una manera más rigurosa. [ cita necesaria ]
Además, por primera vez se exploraron los límites de las matemáticas. Niels Henrik Abel , un noruego, y Évariste Galois , un francés, demostraron que no existe un método algebraico general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro ( teorema de Abel-Ruffini ). [192] Otros matemáticos del siglo XIX utilizaron esto en sus pruebas de que la regla y el compás por sí solos no son suficientes para trisecar un ángulo arbitrario , para construir el lado de un cubo con el doble del volumen de un cubo dado, ni para construir un cuadrado de igual tamaño. área a un círculo dado . [ cita necesaria ] Los matemáticos habían intentado en vano resolver todos estos problemas desde la época de los antiguos griegos. [ cita necesaria ] Por otro lado, la limitación de las tres dimensiones en geometría fue superada en el siglo XIX mediante consideraciones del espacio de parámetros y los números hipercomplejos . [ cita necesaria ]
Las investigaciones de Abel y Galois sobre las soluciones de varias ecuaciones polinómicas sentaron las bases para futuros desarrollos de la teoría de grupos y los campos asociados del álgebra abstracta . En el siglo XX, los físicos y otros científicos vieron la teoría de grupos como la forma ideal de estudiar la simetría . [ cita necesaria ]
A finales del siglo XIX, Georg Cantor estableció los primeros fundamentos de la teoría de conjuntos , que permitió el tratamiento riguroso de la noción de infinito y se ha convertido en el lenguaje común de casi todas las matemáticas. La teoría de conjuntos de Cantor y el surgimiento de la lógica matemática en manos de Peano , LEJ Brouwer , David Hilbert , Bertrand Russell y AN Whitehead iniciaron un largo debate sobre los fundamentos de las matemáticas . [ cita necesaria ]
El siglo XIX vio la fundación de varias sociedades matemáticas nacionales: la Sociedad Matemática de Londres en 1865, [193] la Société Mathématique de France en 1872, [194] el Circolo Matematico di Palermo en 1884, [195] [196] la Sociedad Matemática de Edimburgo en 1883, [197] y la Sociedad Matemática Estadounidense en 1888. [198] La primera sociedad internacional de intereses especiales, la Quaternion Society , se formó en 1899, en el contexto de una controversia sobre vectores . [199]
En 1897, Kurt Hensel introdujo los números p-ádicos . [200]
En el siglo XX, las matemáticas se convirtieron en una profesión importante. A finales de siglo, cada año se otorgaban miles de nuevos doctorados en matemáticas y había empleos disponibles tanto en la enseñanza como en la industria. [201] En la enciclopedia de Klein se llevó a cabo un esfuerzo por catalogar las áreas y aplicaciones de las matemáticas . [202]
En un discurso de 1900 ante el Congreso Internacional de Matemáticos , David Hilbert expuso una lista de 23 problemas de matemáticas sin resolver . [203] Estos problemas, que abarcan muchas áreas de las matemáticas, formaron un foco central para gran parte de las matemáticas del siglo XX. A día de hoy, 10 han sido solucionados, 7 están parcialmente solucionados y 2 siguen abiertos. Los 4 restantes están formulados de manera demasiado vaga para considerarlos resueltos o no. [ cita necesaria ]
Finalmente se demostraron notables conjeturas históricas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel demostraron el teorema de los cuatro colores , controvertido en su momento por el uso de un ordenador para hacerlo. [204] Andrew Wiles , basándose en el trabajo de otros, demostró el último teorema de Fermat en 1995. [205] Paul Cohen y Kurt Gödel demostraron que la hipótesis del continuo es independiente de (no se puede probar ni refutar) los axiomas estándar de conjuntos. teoría . [206] En 1998, Thomas Callister Hales demostró la conjetura de Kepler , también utilizando una computadora. [207]
Se produjeron colaboraciones matemáticas de un tamaño y alcance sin precedentes. Un ejemplo es la clasificación de grupos finitos simples (también llamado "teorema enorme"), cuya demostración entre 1955 y 2004 requirió unos 500 artículos de revistas de unos 100 autores y llenó decenas de miles de páginas. [208] Un grupo de matemáticos franceses, incluidos Jean Dieudonné y André Weil , que publicaron bajo el seudónimo de " Nicolas Bourbaki ", intentaron exponer todas las matemáticas conocidas como un todo coherente y riguroso. Las decenas de volúmenes resultantes han tenido una influencia controvertida en la educación matemática. [209]
La geometría diferencial cobró importancia cuando Albert Einstein la utilizó en la relatividad general . [ cita necesaria ] Áreas completamente nuevas de las matemáticas, como la lógica matemática , la topología y la teoría de juegos de John von Neumann, cambiaron los tipos de preguntas que podían responderse mediante métodos matemáticos. [ cita necesaria ] Se abstrajeron todo tipo de estructuras utilizando axiomas y nombres como espacios métricos , espacios topológicos, etc. [ cita necesaria ] Como hacen los matemáticos, el concepto de estructura abstracta fue en sí mismo abstraído y condujo a la teoría de categorías . [ cita requerida ] Grothendieck y Serre reformularon la geometría algebraica utilizando la teoría de la gavilla . [ cita necesaria ] Se lograron grandes avances en el estudio cualitativo de sistemas dinámicos que Poincaré había iniciado en la década de 1890. [ cita necesaria ] La teoría de la medida se desarrolló a finales del siglo XIX y principios del XX. Las aplicaciones de las medidas incluyen la integral de Lebesgue , la axiomatización de la teoría de la probabilidad de Kolmogorov y la teoría ergódica . [ cita necesaria ] La teoría de nudos se expandió enormemente. [ cita requerida ] La mecánica cuántica condujo al desarrollo del análisis funcional . [ cita requerida ] Otras áreas nuevas incluyen la teoría de la distribución de Laurent Schwartz , la teoría del punto fijo , la teoría de la singularidad y la teoría de la catástrofe de René Thom , la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot . [ cita necesaria ] La teoría de Lie con sus grupos de Lie y álgebras de Lie se convirtió en una de las principales áreas de estudio. [ cita necesaria ]
El análisis no estándar , introducido por Abraham Robinson , rehabilitó el enfoque infinitesimal del cálculo, que había caído en descrédito en favor de la teoría de los límites , al extender el campo de los números reales a los números hiperrealistas que incluyen cantidades infinitas y infinitesimales. [ cita necesaria ] Un sistema numérico aún mayor, los números surrealistas, fueron descubiertos por John Horton Conway en relación con los juegos combinatorios . [ cita necesaria ]
El desarrollo y la mejora continua de las computadoras , al principio máquinas analógicas mecánicas y luego máquinas electrónicas digitales, permitió a la industria manejar cantidades cada vez mayores de datos para facilitar la producción, distribución y comunicación en masa, y se desarrollaron nuevas áreas de las matemáticas para abordar esto. : Teoría de la computabilidad de Alan Turing ; teoría de la complejidad ; el uso de ENIAC por parte de Derrick Henry Lehmer para promover la teoría de números y la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer ; la teoría de la función recursiva de Rózsa Péter ; la teoría de la información de Claude Shannon ; procesamiento de la señal ; análisis de los datos ; optimización y otras áreas de la investigación de operaciones . [ cita necesaria ] En los siglos anteriores, gran parte de la atención matemática se centró en el cálculo y las funciones continuas, pero el auge de las redes informáticas y de comunicación llevó a una importancia cada vez mayor de los conceptos discretos y la expansión de la combinatoria , incluida la teoría de grafos . La velocidad y la capacidad de procesamiento de datos de las computadoras también permitieron el manejo de problemas matemáticos que requerían demasiado tiempo para resolverlos mediante cálculos con lápiz y papel, lo que llevó a áreas como el análisis numérico y el cálculo simbólico . [ cita necesaria ] Algunos de los métodos y algoritmos más importantes del siglo XX son: el algoritmo simplex , la transformada rápida de Fourier , los códigos de corrección de errores , el filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de criptografía de clave pública . [ cita necesaria ]
Al mismo tiempo, se hicieron reflexiones profundas sobre las limitaciones de las matemáticas. En 1929 y 1930 se demostró [ ¿por quién? ] la verdad o falsedad de todas las afirmaciones formuladas sobre los números naturales más la suma o la multiplicación (pero no ambas), era decidible , es decir, podía determinarse mediante algún algoritmo. [ cita necesaria ] En 1931, Kurt Gödel descubrió que este no era el caso de los números naturales más la suma y la multiplicación; este sistema, conocido como aritmética de Peano , era en realidad incompleto . (La aritmética de Peano es adecuada para gran parte de la teoría de números , incluida la noción de número primo ). Una consecuencia de los dos teoremas de incompletitud de Gödel es que en cualquier sistema matemático que incluya la aritmética de Peano (incluido todo el análisis y la geometría), la verdad necesariamente supera a prueba, es decir, hay afirmaciones verdaderas que no se pueden probar dentro del sistema. Por lo tanto, las matemáticas no pueden reducirse a la lógica matemática, y era necesario reformular el sueño de David Hilbert de hacer que todas las matemáticas fueran completas y consistentes. [ cita necesaria ]
Una de las figuras más coloridas de las matemáticas del siglo XX fue Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920), un autodidacta indio [210] que conjeturó o demostró más de 3000 teoremas [ cita necesaria ] , incluidas propiedades de números altamente compuestos , [211] el función de partición [210] y sus asintóticas , [212] y funciones theta simuladas . [210] También realizó importantes investigaciones en las áreas de funciones gamma , [213] [214] formas modulares , [210] series divergentes , [210] series hipergeométricas [210] y teoría de números primos. [210]
Paul Erdős publicó más artículos que cualquier otro matemático de la historia, [215] trabajando con cientos de colaboradores. Los matemáticos tienen un juego equivalente al juego de Kevin Bacon , que conduce al número Erdős de un matemático. Esto describe la "distancia colaborativa" entre una persona y Erdős, medida por la autoría conjunta de artículos matemáticos. [216] [217]
Emmy Noether ha sido descrita por muchos como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. [218] Estudió las teorías de anillos , campos y álgebras . [ cita necesaria ]
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión del conocimiento en la era científica ha llevado a la especialización: a finales de siglo, había cientos de áreas especializadas en matemáticas y la Clasificación de Matemáticas por Materias tenía decenas de páginas. [219] Se publicaron cada vez más revistas matemáticas y, a finales de siglo, el desarrollo de la World Wide Web condujo a la publicación en línea. [ cita necesaria ]
En el año 2000, el Instituto Clay de Matemáticas anunció los siete Premios del Milenio a los Problemas . [220] En 2003, la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelman (quien se negó a aceptar un premio porque criticaba al establishment matemático). [221]
La mayoría de las revistas de matemáticas ahora tienen versiones en línea, así como versiones impresas, y se lanzan muchas revistas exclusivamente en línea. [ cita necesaria ] Existe un impulso creciente hacia la publicación en acceso abierto , que se hizo popular por primera vez gracias a arXiv . [ cita necesaria ]
Hay muchas tendencias observables en matemáticas, la más notable es que el tema está creciendo cada vez más a medida que las computadoras son cada vez más importantes y poderosas; El volumen de datos producidos por la ciencia y la industria, facilitados por las computadoras, continúa expandiéndose exponencialmente. Como resultado, hay un crecimiento correspondiente en la demanda de matemáticas para ayudar a procesar y comprender estos grandes datos . [222] También se espera que las carreras de ciencias matemáticas sigan creciendo, y la Oficina de Estadísticas Laborales de EE. UU . estimó (en 2018) que "se proyecta que el empleo en ocupaciones de ciencias matemáticas crecerá un 27,9 por ciento de 2016 a 2026". [223]
{{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda ) Cap. IV "Matemáticas y astronomía egipcias", págs.Hacia el año 766 nos enteramos de que una obra astronómico-matemática, conocida por los árabes como Sindhind , fue traída a Bagdad desde la India. Generalmente se piensa que este fue el Brahmasphuta Siddhanta , aunque pudo haber sido el Surya Siddhanata . Unos años más tarde, quizás alrededor del año 775, este Siddhanata fue traducido al árabe, y no pasó mucho tiempo después (ca. 780) que el astrológico Tetrabiblos de Ptolomeo fue traducido al árabe del griego.
{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Un ejemplo que puedo darles se relaciona con la demostración del indio Mādhava, alrededor del año 1400 d.C., de la serie de potencias infinitas de funciones trigonométricas utilizando argumentos geométricos y algebraicos.
Cuando esto fue descrito por primera vez en inglés por
Charles Whish
, en la década de 1830, fue anunciado como el descubrimiento del cálculo por parte de los indios.
Esta afirmación y los logros de Mādhava fueron ignorados por los historiadores occidentales, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubriera el cálculo, pero más tarde porque nadie leyó más las
Transacciones de la Royal Asiatic Society
, en las que se publicó el artículo de Whish.
El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos sánscritos correctamente editados y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie
sin
el cálculo;
pero a muchos historiadores todavía les resulta imposible concebir el problema y su solución en términos de algo más que el cálculo y proclaman que el cálculo es lo que encontró Mādhava.
En este caso, la elegancia y la brillantez de las matemáticas de Mādhava están siendo distorsionadas al quedar enterradas bajo la solución matemática actual a un problema para el cual él descubrió una solución alternativa y poderosa.
No es inusual encontrar en discusiones sobre matemáticas indias afirmaciones como que "el concepto de diferenciación se entendió [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X)" [Joseph 1991, 300], o que "podemos considerar a Madhava como el fundador del análisis matemático" (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar que es "el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial" (Bag 1979). , 294).... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencias, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde la costa de Malabar en el siglo XV o después a los eruditos latinos. mundo (por ejemplo, en (Bag 1979, 285))... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que tal énfasis en la similitud de las matemáticas sánscritas (o malayalam) y latinas corre el riesgo de disminuir nuestra capacidad de ver y comprender plenamente el anterior.
Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno mediante el coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de esa disciplina trigonométrica específica. contexto.
El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, por no mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí.
Nicole Oresme... fue la primera en demostrar la divergencia de la serie armónica (c. 1350). Sus resultados se perdieron durante varios siglos, y el resultado fue demostrado nuevamente por el matemático italiano Pietro Mengoli en 1647 y por el matemático suizo Johann Bernoulli en 1687.
{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)