John von Neumann ( en húngaro : Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ ] ; 28 de diciembre de 1903 - 8 de febrero de 1957) fue un matemático, físico, informático e ingeniero húngaro y estadounidense . Tuvo quizás la cobertura más amplia de cualquier matemático de su tiempo, [ 9 ] integrando ciencias puras y aplicadas y haciendo importantes contribuciones a muchos campos, incluidas las matemáticas , la física , la economía , la informática y la estadística . Fue pionero en la construcción del marco matemático de la física cuántica , en el desarrollo del análisis funcional y en la teoría de juegos , introduciendo o codificando conceptos como los autómatas celulares , el constructor universal y la computadora digital . Su análisis de la estructura de la autorreplicación precedió al descubrimiento de la estructura del ADN .
Durante la Segunda Guerra Mundial , von Neumann trabajó en el Proyecto Manhattan . Desarrolló los modelos matemáticos detrás de las lentes explosivas utilizadas en el arma nuclear de tipo implosión . [10] Antes y después de la guerra, fue consultor de muchas organizaciones, incluida la Oficina de Investigación y Desarrollo Científico , el Laboratorio de Investigación Balística del Ejército , el Proyecto de Armas Especiales de las Fuerzas Armadas y el Laboratorio Nacional de Oak Ridge . [11] En el apogeo de su influencia en la década de 1950, presidió varios comités del Departamento de Defensa , incluido el Comité de Evaluación de Misiles Estratégicos y el Comité Asesor Científico de ICBM . También fue miembro de la influyente Comisión de Energía Atómica a cargo de todo el desarrollo de energía atómica en el país. Desempeñó un papel clave junto a Bernard Schriever y Trevor Gardner en el diseño y desarrollo de los primeros programas de ICBM de los Estados Unidos . [12] En ese momento, se lo consideraba el principal experto de la nación en armamento nuclear y el principal científico de defensa del Departamento de Defensa de los EE. UU .
Las contribuciones y la capacidad intelectual de Von Neumann le valieron elogios de colegas de la física, las matemáticas y otros ámbitos. Los galardones que recibió van desde la Medalla de la Libertad hasta un cráter en la Luna que lleva su nombre.
Von Neumann nació en Budapest , Reino de Hungría (entonces parte del Imperio austrohúngaro ), [13] [14] [15] el 28 de diciembre de 1903, en una familia judía adinerada y no observante . Su nombre de nacimiento era Neumann János Lajos. En húngaro, el apellido va primero, y sus nombres de pila son equivalentes a John Louis en inglés. [16]
Fue el mayor de tres hermanos; sus dos hermanos menores fueron Mihály (Michael) y Miklós (Nicholas). [17] Su padre Neumann Miksa (Max von Neumann) era banquero y tenía un doctorado en derecho . Se había mudado a Budapest desde Pécs a fines de la década de 1880. [18] El padre y el abuelo de Miksa nacieron en Ond (ahora parte de Szerencs ), condado de Zemplén , norte de Hungría. La madre de John era Kann Margit (Margaret Kann); [19] sus padres fueron Kann Jákab y Meisels Katalin de la familia Meisels . [20] Tres generaciones de la familia Kann vivieron en espaciosos apartamentos sobre las oficinas de Kann-Heller en Budapest; la familia de von Neumann ocupaba un apartamento de 18 habitaciones en el piso superior. [21]
El 20 de febrero de 1913, el emperador Francisco José elevó al padre de Juan a la nobleza húngara por su servicio al Imperio austrohúngaro. [22] La familia Neumann adquirió así el apelativo hereditario Margittai , que significa "de Margitta" (hoy Marghita , Rumania). La familia no tenía ninguna conexión con la ciudad; el apelativo fue elegido en referencia a Margarita, al igual que su escudo de armas elegido que representaba a tres margaritas . Neumann János se convirtió en margittai Neumann János (Juan Neumann de Margitta), que más tarde cambió al alemán Johann von Neumann. [23]
Von Neumann fue un niño prodigio que a los seis años podía dividir dos números de ocho dígitos en su cabeza [24] [25] y conversar en griego antiguo . [26] Él, sus hermanos y sus primos fueron instruidos por institutrices. El padre de von Neumann creía que el conocimiento de idiomas distintos de su húngaro nativo era esencial, por lo que los niños recibieron tutoría en inglés , francés , alemán e italiano . [27] A los ocho años, von Neumann estaba familiarizado con el cálculo diferencial e integral , y a los doce había leído La Théorie des Fonctions de Borel . [28] También estaba interesado en la historia, leyendo la serie de historia mundial de 46 volúmenes de Wilhelm Oncken Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( Historia general en monografías ). [29] Una de las habitaciones del apartamento se convirtió en biblioteca y sala de lectura. [30]
Von Neumann ingresó en el Luterano Fasori Evangélikus Gimnázium en 1914. [31] Eugene Wigner estaba un año por delante de von Neumann en la escuela y pronto se convirtió en su amigo. [32]
Aunque el padre de von Neumann insistió en que asistiera a la escuela en el nivel apropiado para su edad, aceptó contratar tutores privados para darle instrucción avanzada a von Neumann. A los 15 años, comenzó a estudiar cálculo avanzado con el analista Gábor Szegő . [32] A los 19, von Neumann había publicado dos artículos matemáticos importantes, el segundo de los cuales dio la definición moderna de números ordinales , que reemplazó la definición de Georg Cantor . [33] Al concluir su educación en el gimnasio, solicitó y ganó el Premio Eötvös, un premio nacional de matemáticas. [34]
Según su amigo Theodore von Kármán , el padre de von Neumann quería que John lo siguiera en la industria, y le pidió a von Kármán que convenciera a su hijo de no estudiar matemáticas. [35] Von Neumann y su padre decidieron que la mejor carrera profesional era la ingeniería química . Esto no era algo de lo que von Neumann tuviera mucho conocimiento, por lo que se organizó para él tomar un curso de química de dos años, sin titulación, en la Universidad de Berlín , después de lo cual se presentó al examen de ingreso a la ETH de Zúrich , [36] que aprobó en septiembre de 1923. [37] Simultáneamente, von Neumann ingresó en la Universidad Pázmány Péter en Budapest, [38] como candidato a doctorado en matemáticas . Para su tesis, produjo una axiomatización de la teoría de conjuntos de Cantor . [39] [40] Se graduó como ingeniero químico de la ETH de Zúrich en 1926, y simultáneamente aprobó sus exámenes finales summa cum laude para su doctorado. en matemáticas (con especializaciones menores en física experimental y química). [41] [42] Sin embargo, en Una mente maravillosa de Sylvia Nasar, se afirma que Von Neumann estaba matriculado en ingeniería química en la Universidad de Budapest mientras estudiaba matemáticas en Berlín. [33]
Luego fue a la Universidad de Göttingen con una beca de la Fundación Rockefeller para estudiar matemáticas con David Hilbert . [43] Hermann Weyl recuerda cómo en el invierno de 1926-1927 von Neumann, Emmy Noether y él caminaban por "las calles frías, húmedas y mojadas por la lluvia de Göttingen" después de clase discutiendo sistemas de números hipercomplejos y sus representaciones . [44]
La habilitación de von Neumann se completó el 13 de diciembre de 1927, y comenzó a dar conferencias como Privatdozent en la Universidad de Berlín en 1928. [45] Fue la persona más joven elegida Privatdozent en la historia de la universidad. [46] Comenzó a escribir casi un artículo importante de matemáticas por mes. [47] En 1929, se convirtió brevemente en Privatdozent en la Universidad de Hamburgo , donde las perspectivas de convertirse en profesor titular eran mejores, [48] luego, en octubre de ese año, se trasladó a la Universidad de Princeton como profesor visitante de física matemática . [49]
Von Neumann fue bautizado católico en 1930. [50] Poco después, se casó con Marietta Kövesi, que había estudiado economía en la Universidad de Budapest. [49] Von Neumann y Marietta tuvieron una hija, Marina , nacida en 1935; ella se convertiría en profesora. [51] La pareja se divorció el 2 de noviembre de 1937. [52] El 17 de noviembre de 1938, von Neumann se casó con Klára Dán . [53] [54]
En 1933, Von Neumann aceptó una cátedra titular en el Instituto de Estudios Avanzados de Nueva Jersey, cuando el plan de esa institución de nombrar a Hermann Weyl parecía haber fracasado. [55] Su madre, sus hermanos y sus suegros siguieron a von Neumann a los Estados Unidos en 1939. [56] Von Neumann anglicanizó su nombre a John, manteniendo el apellido aristocrático alemán von Neumann. [23] Von Neumann se convirtió en ciudadano estadounidense naturalizado en 1937 e inmediatamente intentó convertirse en teniente del Cuerpo de Oficiales de Reserva del Ejército de los Estados Unidos . Aprobó los exámenes, pero fue rechazado debido a su edad. [57]
Klára y John von Neumann eran socialmente activos dentro de la comunidad académica local. [58] Su casa de tablillas blancas en Westcott Road era una de las residencias privadas más grandes de Princeton. [59] Siempre vestía trajes formales. [60] Disfrutaba del yiddish y del humor "subido de tono" . [28] En Princeton, recibió quejas por tocar música de marcha alemana extremadamente fuerte ; [61] Von Neumann hizo algunos de sus mejores trabajos en entornos ruidosos y caóticos. [62] Según Churchill Eisenhart , von Neumann podía asistir a fiestas hasta las primeras horas de la mañana y luego dar una conferencia a las 8:30. [63]
Era conocido por estar siempre dispuesto a brindar asesoramiento científico y matemático a personas de todos los niveles de habilidad. [4] [64] [65] Wigner escribió que quizás supervisó más trabajo (en un sentido casual) que cualquier otro matemático moderno. [66] Su hija escribió que estaba muy preocupado por su legado en dos aspectos: su vida y la durabilidad de sus contribuciones intelectuales al mundo. [67]
Muchos lo consideraban un excelente presidente de comités, que se desentendía con bastante facilidad de los asuntos personales u organizativos, pero insistía en los técnicos. Herbert York describió los numerosos "comités von Neumann" en los que participó como "notables tanto en estilo como en resultados". La forma en que los comités que presidía von Neumann trabajaban directa e íntimamente con las entidades militares o corporativas necesarias se convirtió en un modelo para todos los programas de misiles de largo alcance de la Fuerza Aérea . [68] Muchas personas que habían conocido a von Neumann estaban desconcertadas por su relación con los militares y con las estructuras de poder en general. [69] Stanisław Ulam sospechaba que tenía una admiración oculta por las personas u organizaciones que podían influir en los pensamientos y la toma de decisiones de los demás. [70]
También mantuvo su conocimiento de los idiomas aprendidos en su juventud. Sabía húngaro, francés, alemán e inglés con fluidez, y mantenía un nivel conversacional de italiano, yiddish, latín y griego antiguo. Su español era menos perfecto. [71] Tenía una pasión y un conocimiento enciclopédico de la historia antigua, [72] [73] y disfrutaba leyendo a los historiadores de la antigua Grecia en el griego original. Ulam sospechaba que podrían haber moldeado sus puntos de vista sobre cómo podrían desarrollarse los eventos futuros y cómo funcionaba la naturaleza humana y la sociedad en general. [74]
El amigo más cercano de von Neumann en los Estados Unidos fue el matemático Stanisław Ulam . [75] Von Neumann creía que gran parte de su pensamiento matemático se producía de forma intuitiva; a menudo se iba a dormir con un problema sin resolver y sabía la respuesta al despertar. [62] Ulam señaló que la forma de pensar de von Neumann podría no ser visual, sino más bien auditiva. [76] Ulam recordó: "Independientemente de su gusto por el ingenio abstracto, tenía una fuerte apreciación (se podría decir casi un hambre) por el tipo más terrenal de comedia y humor". [77]
En 1955, se encontró una masa cerca de la clavícula de von Neumann, que resultó ser un cáncer originado en el esqueleto , el páncreas o la próstata . (Si bien existe un acuerdo general de que el tumor había hecho metástasis , las fuentes difieren en la ubicación del cáncer primario). [78] [79] La malignidad puede haber sido causada por la exposición a la radiación en el Laboratorio Nacional de Los Álamos . [80] Cuando se acercaba la muerte, pidió un sacerdote y se convirtió al catolicismo , aunque el sacerdote recordó más tarde que von Neumann encontró poco consuelo en su conversión y en recibir los últimos ritos : seguía aterrorizado por la muerte y era incapaz de aceptarla. [81] [82] [83] [84] De sus opiniones religiosas, Von Neumann dijo: "Mientras exista la posibilidad de la condenación eterna para los no creyentes, es más lógico ser creyente al final", refiriéndose a la apuesta de Pascal . Le confió a su madre: "Probablemente tiene que haber un Dios. Muchas cosas son más fáciles de explicar si lo hay que si no lo hay". [85] [86]
Murió el 8 de febrero de 1957 en el Hospital Médico del Ejército Walter Reed y fue enterrado en el Cementerio de Princeton . [87] [88]
A principios del siglo XX, los esfuerzos por basar las matemáticas en la teoría de conjuntos ingenua sufrieron un revés debido a la paradoja de Russell (sobre el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos). [89] El problema de una axiomatización adecuada de la teoría de conjuntos fue resuelto implícitamente unos veinte años después por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel proporcionó una serie de principios que permitieron la construcción de los conjuntos utilizados en la práctica cotidiana de las matemáticas, pero no excluyó explícitamente la posibilidad de la existencia de un conjunto que se pertenece a sí mismo. En su tesis doctoral de 1925, von Neumann demostró dos técnicas para excluir tales conjuntos: el axioma de fundamento y la noción de clase . [90]
El axioma de fundamento proponía que todo conjunto puede construirse de abajo a arriba en una sucesión ordenada de pasos mediante los principios de Zermelo-Fraenkel. Si un conjunto pertenece a otro, entonces el primero debe necesariamente ir antes que el segundo en la sucesión. Esto excluye la posibilidad de que un conjunto pertenezca a sí mismo. Para demostrar que la adición de este nuevo axioma a los demás no producía contradicciones, von Neumann introdujo el método de los modelos internos , que se convirtió en un instrumento de demostración esencial en la teoría de conjuntos. [90]
La segunda aproximación al problema de los conjuntos pertenecientes a sí mismos tomó como base la noción de clase , y define un conjunto como una clase que pertenece a otras clases, mientras que una clase propia se define como una clase que no pertenece a otras clases. En el enfoque de Zermelo-Fraenkel, los axiomas impiden la construcción de un conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Por el contrario, en el enfoque de von Neumann, la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos puede construirse, pero es una clase propia , no un conjunto. [90]
En general, el principal logro de von Neumann en la teoría de conjuntos fue una "axiomatización de la teoría de conjuntos y (conectada con ella) una elegante teoría de los números ordinales y cardinales , así como la primera formulación estricta de principios de definiciones por inducción transfinita ". [91]
Basándose en la paradoja de Hausdorff de Felix Hausdorff (1914), Stefan Banach y Alfred Tarski en 1924 demostraron cómo subdividir una bola tridimensional en conjuntos disjuntos , y luego trasladar y rotar estos conjuntos para formar dos copias idénticas de la misma bola; esta es la paradoja de Banach-Tarski . También demostraron que un disco bidimensional no tiene tal descomposición paradójica. Pero en 1929, [92] von Neumann subdividió el disco en un número finito de piezas y las reorganizó en dos discos, utilizando transformaciones afines que preservan el área en lugar de traslaciones y rotaciones. El resultado dependía de encontrar grupos libres de transformaciones afines, una técnica importante ampliada más tarde por von Neumann en su trabajo sobre la teoría de la medida. [93]
Con las contribuciones de von Neumann a los conjuntos, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos evitó las contradicciones de los sistemas anteriores y se volvió utilizable como base para las matemáticas, a pesar de la falta de una prueba de su consistencia . La siguiente pregunta era si proporcionaba respuestas definitivas a todas las preguntas matemáticas que podían plantearse en él, o si podía mejorarse añadiendo axiomas más fuertes que pudieran usarse para demostrar una clase más amplia de teoremas. [94]
En 1927, von Neumann se involucró en discusiones en Gotinga sobre si la aritmética elemental se deducía de los axiomas de Peano . [95] Basándose en el trabajo de Ackermann , comenzó a intentar demostrar (utilizando los métodos finísticos de la escuela de Hilbert ) la consistencia de la aritmética de primer orden . Logró demostrar la consistencia de un fragmento de aritmética de números naturales (mediante el uso de restricciones a la inducción ). [96] Continuó buscando una prueba más general de la consistencia de las matemáticas clásicas utilizando métodos de la teoría de la prueba . [97]
En septiembre de 1930, en la Segunda Conferencia sobre la Epistemología de las Ciencias Exactas , Kurt Gödel anunció su primer teorema de incompletitud , una respuesta fuertemente negativa a la pregunta de si era definitiva : los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar cada verdad expresable en su lenguaje. Además, cada extensión consistente de estos sistemas permanece necesariamente incompleta. [98] En la conferencia, von Neumann sugirió a Gödel que debería tratar de transformar sus resultados para proposiciones indecidibles sobre números enteros. [99]
Menos de un mes después, von Neumann comunicó a Gödel una consecuencia interesante de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. [98] Gödel respondió que ya había descubierto esta consecuencia, ahora conocida como su segundo teorema de incompletitud , y que enviaría una preimpresión de su artículo con ambos resultados, que nunca apareció. [100] [101] [102] Von Neumann reconoció la prioridad de Gödel en su siguiente carta. [103] Sin embargo, el método de prueba de von Neumann difería del de Gödel, y también opinaba que el segundo teorema de incompletitud había asestado un golpe mucho más fuerte al programa de Hilbert de lo que Gödel pensaba. [104] [105] Con este descubrimiento, que cambió drásticamente sus puntos de vista sobre el rigor matemático, von Neumann dejó de investigar los fundamentos de las matemáticas y las metamatemáticas y, en cambio, dedicó tiempo a problemas relacionados con las aplicaciones. [106]
En una serie de artículos publicados en 1932, von Neumann hizo contribuciones fundamentales a la teoría ergódica , una rama de las matemáticas que involucra los estados de sistemas dinámicos con una medida invariante . [107] De los artículos de 1932 sobre teoría ergódica, Paul Halmos escribió que incluso "si von Neumann nunca hubiera hecho nada más, habrían sido suficientes para garantizarle la inmortalidad matemática". [108] Para entonces, von Neumann ya había escrito sus artículos sobre teoría de operadores , y la aplicación de este trabajo fue fundamental en su teorema ergódico medio . [109]
El teorema trata de grupos unitarios arbitrarios de un parámetro y establece que para cada vector en el espacio de Hilbert , existe en el sentido de la métrica definida por la norma de Hilbert y es un vector que es tal que para todos . Esto se demostró en el primer artículo. En el segundo artículo, von Neumann argumentó que sus resultados aquí eran suficientes para aplicaciones físicas relacionadas con la hipótesis ergódica de Boltzmann . También señaló que la ergodicidad aún no se había logrado y aisló esto para trabajos futuros. [110]
Más tarde ese mismo año publicó otro artículo influyente que inició el estudio sistemático de la ergodicidad. Propuso y demostró un teorema de descomposición que muestra que las acciones ergódicas que preservan la medida de la línea real son los bloques de construcción fundamentales a partir de los cuales se pueden construir todas las acciones que preservan la medida. Se dan y demuestran varios otros teoremas clave. Los resultados de este artículo y otro en colaboración con Paul Halmos tienen aplicaciones significativas en otras áreas de las matemáticas. [110] [111]
En teoría de la medida , el "problema de la medida" para un espacio euclidiano n -dimensional R n puede enunciarse como: "¿existe una función de conjunto positiva, normalizada, invariante y aditiva en la clase de todos los subconjuntos de R n ?" [112] El trabajo de Felix Hausdorff y Stefan Banach había implicado que el problema de la medida tiene una solución positiva si n = 1 o n = 2 y una solución negativa (debido a la paradoja de Banach-Tarski ) en todos los demás casos. El trabajo de Von Neumann argumentó que el "problema es esencialmente de carácter teórico de grupos": la existencia de una medida podría determinarse observando las propiedades del grupo de transformación del espacio dado. La solución positiva para espacios de dimensión como máximo dos, y la solución negativa para dimensiones superiores, proviene del hecho de que el grupo euclidiano es un grupo resoluble para dimensión como máximo dos, y no es resoluble para dimensiones superiores. "Por lo tanto, según von Neumann, es el cambio de grupo lo que hace la diferencia, no el cambio de espacio." [113] Alrededor de 1942 le dijo a Dorothy Maharam cómo demostrar que cada espacio de medida σ-finito completo tiene una elevación multiplicativa; no publicó esta prueba y ella más tarde ideó una nueva. [114]
En varios de los artículos de von Neumann, los métodos de argumentación que empleó se consideran incluso más significativos que los resultados. En previsión de su estudio posterior de la teoría de la dimensión en álgebras de operadores, von Neumann utilizó resultados sobre equivalencia por descomposición finita y reformuló el problema de la medida en términos de funciones. [115] Una importante contribución que von Neumann hizo a la teoría de la medida fue el resultado de un artículo escrito para responder a una pregunta de Haar sobre si existía un álgebra de todas las funciones acotadas en la línea de números reales de manera que formaran "un sistema completo de representantes de las clases de funciones acotadas medibles casi iguales en todas partes". [116] Demostró esto en positivo, y en artículos posteriores con Stone discutió varias generalizaciones y aspectos algebraicos de este problema. [117] También demostró con nuevos métodos la existencia de desintegraciones para varios tipos generales de medidas. Von Neumann también dio una nueva prueba sobre la unicidad de las medidas de Haar utilizando los valores medios de las funciones, aunque este método solo funcionó para grupos compactos . [116] Tuvo que crear técnicas completamente nuevas para aplicar esto a grupos localmente compactos . [118] También dio una nueva e ingeniosa prueba para el teorema de Radon-Nikodym . [119] Sus notas de clase sobre teoría de la medida en el Instituto de Estudios Avanzados fueron una fuente importante de conocimiento sobre el tema en Estados Unidos en ese momento, y luego se publicaron. [120] [121] [122]
Utilizando su trabajo previo sobre la teoría de la medida, von Neumann hizo varias contribuciones a la teoría de grupos topológicos , comenzando con un artículo sobre funciones casi periódicas en grupos, donde von Neumann extendió la teoría de funciones casi periódicas de Bohr a grupos arbitrarios . [123] Continuó este trabajo con otro artículo en conjunto con Bochner que mejoró la teoría de la casi periodicidad para incluir funciones que tomaban elementos de espacios lineales como valores en lugar de números. [124] En 1938, fue galardonado con el Premio Bôcher Memorial por su trabajo en análisis en relación con estos artículos. [125] [126]
En un artículo de 1933, utilizó la recién descubierta medida de Haar en la solución del quinto problema de Hilbert para el caso de grupos compactos . [127] La idea básica detrás de esto fue descubierta varios años antes cuando von Neumann publicó un artículo sobre las propiedades analíticas de los grupos de transformaciones lineales y encontró que los subgrupos cerrados de un grupo lineal general son grupos de Lie . [128] Esto fue posteriormente extendido por Cartan a grupos de Lie arbitrarios en la forma del teorema del subgrupo cerrado . [129] [116]
Von Neumann fue el primero en definir axiomáticamente un espacio de Hilbert abstracto . Lo definió como un espacio vectorial complejo con un producto escalar hermítico , con la norma correspondiente siendo a la vez separable y completa. En los mismos artículos, también demostró la forma general de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que previamente había sido conocida solo en ejemplos específicos. [130] Continuó con el desarrollo de la teoría espectral de operadores en el espacio de Hilbert en tres artículos seminales entre 1929 y 1932. [131] Este trabajo se acumuló en su Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica que junto con otros dos libros de Stone y Banach en el mismo año fueron las primeras monografías sobre la teoría del espacio de Hilbert. [132] El trabajo previo de otros mostró que una teoría de topologías débiles no podía obtenerse mediante el uso de secuencias . Von Neumann fue el primero en esbozar un programa de cómo superar las dificultades, lo que resultó en que definiera espacios localmente convexos y espacios vectoriales topológicos por primera vez. Además de varias otras propiedades topológicas que definió en ese momento (fue uno de los primeros matemáticos en aplicar nuevas ideas topológicas de Hausdorff de los espacios euclidianos a los de Hilbert) [133], como la acotación y la acotación total , todavía se utilizan hoy en día. [134] Durante veinte años, von Neumann fue considerado el "maestro indiscutible" de esta área. [116] Estos desarrollos fueron impulsados principalmente por las necesidades de la mecánica cuántica , donde von Neumann se dio cuenta de la necesidad de extender la teoría espectral de los operadores hermíticos del caso acotado al ilimitado . [135] Otros logros importantes en estos artículos incluyen una elucidación completa de la teoría espectral para operadores normales , la primera presentación abstracta de la traza de un operador positivo , [136] [137] una generalización de la presentación de Riesz de los teoremas espectrales de Hilbert en ese momento, y el descubrimiento de los operadores hermíticos en un espacio de Hilbert, a diferencia de los operadores autoadjuntos , lo que le permitió dar una descripción de todos los operadores hermíticos que extienden un operador hermítico dado. Escribió un artículo que detalla cómo el uso deLas matrices infinitas , comunes en la época en la teoría espectral, eran inadecuadas como representación de los operadores hermíticos. Su trabajo sobre la teoría de operadores condujo a su invención más profunda en matemáticas puras, el estudio de las álgebras de von Neumann y, en general, de las álgebras de operadores . [138]
Su trabajo posterior sobre anillos de operadores lo llevó a revisar su trabajo sobre teoría espectral y a proporcionar una nueva forma de trabajar con el contenido geométrico mediante el uso de integrales directas de espacios de Hilbert. [135] Al igual que en su trabajo sobre la teoría de la medida, demostró varios teoremas que no encontró tiempo de publicar. Le dijo a Nachman Aronszajn y KT Smith que a principios de la década de 1930 demostró la existencia de subespacios invariantes propios para operadores completamente continuos en un espacio de Hilbert mientras trabajaba en el problema del subespacio invariante . [139]
Junto con IJ Schoenberg escribió varios artículos que investigaban las métricas hilbertianas invariantes de la traducción en la línea de números reales, lo que dio como resultado su clasificación completa. Su motivación radica en varias cuestiones relacionadas con la incorporación de espacios métricos en espacios de Hilbert. [140] [141]
Junto con Pascual Jordan escribió un breve artículo en el que daba la primera derivación de una norma dada a partir de un producto interno por medio de la identidad del paralelogramo . [142] Su desigualdad de trazas es un resultado clave de la teoría de matrices utilizada en problemas de aproximación de matrices. [143] También presentó por primera vez la idea de que el dual de una prenorma es una norma en el primer artículo importante que analiza la teoría de normas unitariamente invariantes y funciones de calibración simétricas (ahora conocidas como normas absolutas simétricas). [144] [145] [146] Este artículo conduce naturalmente al estudio de los ideales de operadores simétricos y es el punto de partida para los estudios modernos de espacios de operadores simétricos . [147]
Más tarde, con Robert Schatten inició el estudio de los operadores nucleares en espacios de Hilbert, [148] [149] los productos tensoriales de los espacios de Banach , [150] introdujo y estudió los operadores de clase traza , [151] sus ideales , y su dualidad con operadores compactos , y predualidad con operadores acotados . [152] La generalización de este tema al estudio de los operadores nucleares en espacios de Banach estuvo entre los primeros logros de Alexander Grothendieck . [153] [154] Previamente, en 1937, von Neumann publicó varios resultados en esta área, por ejemplo, dando una escala de 1 parámetro de diferentes normas cruzadas en y demostrando varios otros resultados en lo que ahora se conoce como ideales de Schatten-von Neumann. [155]
Von Neumann fundó el estudio de los anillos de operadores, a través de las álgebras de von Neumann (originalmente llamadas W*-álgebras). Si bien sus ideas originales para los anillos de operadores ya existían en 1930, no comenzó a estudiarlas en profundidad hasta que conoció a FJ Murray varios años después. [156] [157] Un álgebra de von Neumann es un *-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert que está cerrado en la topología de operadores débiles y contiene el operador identidad . [158] El teorema bicommutante de von Neumann muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como igual al bicommutante . [159] Después de dilucidar el estudio del caso del álgebra conmutativa , von Neumann se embarcó en 1936, con la colaboración parcial de Murray, en el caso no conmutativo , el estudio general de la clasificación de factores de las álgebras de von Neumann. Los seis artículos principales en los que desarrolló esa teoría entre 1936 y 1940 "se encuentran entre las obras maestras del análisis en el siglo XX"; [160] recogen muchos resultados fundamentales e iniciaron varios programas en la teoría del álgebra de operadores en los que los matemáticos trabajaron durante décadas después. Un ejemplo es la clasificación de factores . [161] Además, en 1938 demostró que cada álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es una integral directa de factores; no encontró tiempo para publicar este resultado hasta 1949. [162] [163] Las álgebras de von Neumann se relacionan estrechamente con una teoría de integración no conmutativa, algo que von Neumann insinuó en su trabajo pero no escribió explícitamente. [164] [165] Otro resultado importante sobre la descomposición polar se publicó en 1932. [166]
Entre 1935 y 1937, von Neumann trabajó en la teoría de retículos , la teoría de conjuntos parcialmente ordenados en los que cada dos elementos tienen un límite inferior máximo y un límite superior mínimo. Como escribió Garrett Birkhoff , "la mente brillante de John von Neumann brilló sobre la teoría de retículos como un meteoro". [167] Von Neumann combinó la geometría proyectiva tradicional con el álgebra moderna ( álgebra lineal , teoría de anillos , teoría de retículos). Muchos resultados geométricos previos pudieron interpretarse entonces en el caso de módulos generales sobre anillos. Su trabajo sentó las bases para algunos de los trabajos modernos en geometría proyectiva. [168]
Su mayor contribución fue la fundación del campo de la geometría continua . [169] Esto siguió a su trabajo innovador sobre anillos de operadores. En matemáticas, la geometría continua es un sustituto de la geometría proyectiva compleja , donde en lugar de que la dimensión de un subespacio esté en un conjunto discreto, puede ser un elemento del intervalo unitario . Anteriormente, Menger y Birkhoff habían axiomatizado la geometría proyectiva compleja en términos de las propiedades de su red de subespacios lineales . Von Neumann, a raíz de su trabajo sobre anillos de operadores, debilitó esos axiomas para describir una clase más amplia de redes, las geometrías continuas.
Mientras que las dimensiones de los subespacios de las geometrías proyectivas son un conjunto discreto (los números enteros no negativos ), las dimensiones de los elementos de una geometría continua pueden variar de forma continua a lo largo del intervalo unitario . Von Neumann se motivó por su descubrimiento de las álgebras de von Neumann con una función de dimensión que toma un rango continuo de dimensiones, y el primer ejemplo de una geometría continua distinta del espacio proyectivo fueron las proyecciones del factor hiperfinito de tipo II . [170] [171]
En un trabajo teórico de red más puro, resolvió el difícil problema de caracterizar la clase de (geometría proyectiva de dimensión continua sobre un anillo de división arbitrario ) en el lenguaje abstracto de la teoría de red. [172] Von Neumann proporcionó una exploración abstracta de la dimensión en redes topológicas modulares complementadas completas (propiedades que surgen en las redes de subespacios de espacios de productos internos ):
La dimensión está determinada, hasta una transformación lineal positiva, por las dos propiedades siguientes: se conserva mediante aplicaciones de perspectiva ("perspectividades") y se ordena por inclusión. La parte más profunda de la prueba se refiere a la equivalencia de la perspectividad con la "proyectividad por descomposición", cuyo corolario es la transitividad de la perspectividad.
Para cualquier entero, toda geometría proyectiva abstracta -dimensional es isomorfa a la red de subespacios de un espacio vectorial -dimensional sobre un anillo de división correspondiente (único) . Esto se conoce como el teorema de Veblen-Young . Von Neumann extendió este resultado fundamental en geometría proyectiva al caso dimensional continuo. [173] Este teorema de coordinatización estimuló un trabajo considerable en geometría proyectiva abstracta y teoría de redes, gran parte del cual continuó utilizando las técnicas de von Neumann. [168] [174] Birkhoff describió este teorema de la siguiente manera:
Cualquier red modular complementada L que tenga una "base" de n ≥ 4 elementos de perspectiva por pares, es isomorfa con la red ℛ( R ) de todos los ideales rectos principales de un anillo regular adecuado R . Esta conclusión es la culminación de 140 páginas de álgebra brillante e incisiva que incluye axiomas completamente nuevos. Cualquiera que desee obtener una impresión inolvidable de la mente afilada de von Neumann, solo necesita intentar seguir esta cadena de razonamiento exacto por sí mismo, dándose cuenta de que a menudo cinco páginas de ella fueron escritas antes del desayuno, sentado en una mesa de escritorio de la sala de estar en bata de baño. [175]
Este trabajo requirió la creación de anillos regulares . [176] Un anillo regular de von Neumann es un anillo donde para cada , existe un elemento tal que . [175] Estos anillos provienen de y tienen conexiones con su trabajo sobre álgebras de von Neumann, así como sobre álgebras AW* y varios tipos de álgebras C* . [177]
Durante la creación y demostración de los teoremas anteriores se demostraron muchos resultados técnicos menores, en particular en relación con la distributividad (como la distributividad infinita), y von Neumann los desarrolló según fue necesario. También desarrolló una teoría de valoraciones en redes y participó en el desarrollo de la teoría general de redes métricas . [178]
Birkhoff señaló en su artículo póstumo sobre von Neumann que la mayoría de estos resultados se desarrollaron en un intenso período de trabajo de dos años, y que si bien su interés en la teoría de redes continuó después de 1937, se volvió periférico y se produjo principalmente en cartas a otros matemáticos. Una contribución final en 1940 fue para un seminario conjunto que dirigió con Birkhoff en el Instituto de Estudios Avanzados sobre el tema, donde desarrolló una teoría de anillos ordenados en red σ-completos. Nunca escribió el trabajo para su publicación. [179]
Von Neumann realizó contribuciones fundamentales a la estadística matemática . En 1941, derivó la distribución exacta de la razón entre el cuadrado medio de las diferencias sucesivas y la varianza de la muestra para variables independientes e idénticamente distribuidas normalmente . [180] Esta razón se aplicó a los residuos de los modelos de regresión y se conoce comúnmente como la estadística de Durbin-Watson [181] para probar la hipótesis nula de que los errores son serialmente independientes frente a la alternativa de que siguen una autorregresión estacionaria de primer orden . [181]
Posteriormente, Denis Sargan y Alok Bhargava ampliaron los resultados para probar si los errores en un modelo de regresión siguen un camino aleatorio gaussiano ( es decir , poseen una raíz unitaria ) frente a la alternativa de que son una autorregresión estacionaria de primer orden. [182]
En sus primeros años, von Neumann publicó varios artículos relacionados con el análisis real teórico de conjuntos y la teoría de números. [183] En un artículo de 1925, demostró que para cualquier secuencia densa de puntos en , existía un reordenamiento de esos puntos que se distribuye uniformemente . [184] [185] [186] En 1926 su única publicación fue sobre la teoría de Prüfer de los números algebraicos ideales , donde encontró una nueva forma de construirlos, extendiendo así la teoría de Prüfer al campo de todos los números algebraicos , y aclaró su relación con los números p-ádicos . [187] [188] [189] [190] [191] En 1928 publicó dos artículos adicionales que continuaban con estos temas. El primero trataba sobre la partición de un intervalo en un número contable de subconjuntos congruentes . Resolvió un problema de Hugo Steinhaus que preguntaba si un intervalo es -divisible. Von Neumann demostró que, de hecho, todos los intervalos, semiabiertos, abiertos o cerrados son divisibles por traslaciones (es decir, que estos intervalos se pueden descomponer en subconjuntos que son congruentes por traslación). [192] [193] [194] [195] Su siguiente artículo trató de dar una prueba constructiva sin el axioma de elección de que existen números reales algebraicamente independientes . Demostró que son algebraicamente independientes para . En consecuencia, existe un conjunto perfecto algebraicamente independiente de números reales del tamaño del continuo . [196] [197] [198] [199] Otros resultados menores de su carrera temprana incluyen una prueba de un principio máximo para el gradiente de una función minimizadora en el campo del cálculo de variaciones , [200] [201] [202] [203] y una pequeña simplificación del teorema de Hermann Minkowski para formas lineales en la teoría geométrica de números . [204] [205] [206] Más adelante en su carrera, junto con Pascual Jordan y Eugene Wigner, escribió un artículo fundacional que clasificaba todas las álgebras de Jordan formalmente reales de dimensión finita y descubrió las álgebras de Albert mientras intentaba buscar una mejor formalismo matemático para la teoría cuántica . [207] [208] En 1936 intentó avanzar en el programa de sustitución de los axiomas de su anterior programa espacial de Hilbert por los de las álgebras de Jordan [209] en un artículo que investigaba el caso de dimensión infinita; planeaba escribir al menos un artículo más sobre el tema, pero nunca lo hizo. [210] Sin embargo, estos axiomas formaron la base para posteriores investigaciones de la mecánica cuántica algebraica iniciadas por Irving Segal . [211] [212]
Von Neumann fue el primero en establecer un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica , conocido como los axiomas de Dirac-von Neumann , en su influyente obra de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . [213] Después de haber completado la axiomatización de la teoría de conjuntos, comenzó a enfrentarse a la axiomatización de la mecánica cuántica. Se dio cuenta en 1926 de que un estado de un sistema cuántico podía representarse mediante un punto en un espacio de Hilbert (complejo) que, en general, podía ser de dimensión infinita incluso para una sola partícula. En este formalismo de la mecánica cuántica, las cantidades observables como la posición o el momento se representan como operadores lineales que actúan sobre el espacio de Hilbert asociado al sistema cuántico. [214]
La física de la mecánica cuántica se redujo así a las matemáticas de los espacios de Hilbert y de los operadores lineales que actúan sobre ellos. Por ejemplo, el principio de incertidumbre , según el cual la determinación de la posición de una partícula impide la determinación de su momento y viceversa, se tradujo en la no conmutatividad de los dos operadores correspondientes. Esta nueva formulación matemática incluía como casos especiales las formulaciones tanto de Heisenberg como de Schrödinger. [214]
El tratamiento abstracto de von Neumann le permitió enfrentar la cuestión fundamental del determinismo versus el no determinismo, y en el libro presentó una prueba de que los resultados estadísticos de la mecánica cuántica no podían ser promedios de un conjunto subyacente de "variables ocultas" determinadas, como en la mecánica estadística clásica. En 1935, Grete Hermann publicó un artículo argumentando que la prueba contenía un error conceptual y, por lo tanto, era inválida. [215] El trabajo de Hermann fue ignorado en gran medida hasta que John S. Bell presentó esencialmente el mismo argumento en 1966. [216] En 2010, Jeffrey Bub argumentó que Bell había malinterpretado la prueba de von Neumann y señaló que la prueba, aunque no es válida para todas las teorías de variables ocultas , descarta un subconjunto bien definido e importante. Bub también sugiere que von Neumann era consciente de esta limitación y no afirmó que su prueba descartara por completo las teorías de variables ocultas. [217] La validez del argumento de Bub, a su vez, es cuestionada. El teorema de Gleason de 1957 proporcionó un argumento contra las variables ocultas similar al de von Neumann, pero basado en supuestos considerados mejor motivados y más significativos físicamente. [218] [219]
La prueba de von Neumann inauguró una línea de investigación que finalmente condujo, a través del teorema de Bell y los experimentos de Alain Aspect en 1982, a la demostración de que la física cuántica requiere una noción de realidad sustancialmente diferente de la de la física clásica, o debe incluir la no localidad en aparente violación de la relatividad especial. [220]
En un capítulo de The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , von Neumann analizó profundamente el llamado problema de la medición . Concluyó que todo el universo físico podría ser sometido a la función de onda universal . Dado que se necesitaba algo "fuera del cálculo" para colapsar la función de onda, von Neumann concluyó que el colapso era causado por la conciencia del experimentador. Argumentó que las matemáticas de la mecánica cuántica permiten que el colapso de la función de onda se coloque en cualquier posición en la cadena causal desde el dispositivo de medición hasta la "conciencia subjetiva" del observador humano. En otras palabras, si bien la línea entre el observador y lo observado podría trazarse en diferentes lugares, la teoría solo tiene sentido si existe un observador en algún lugar. [221] Aunque la idea de que la conciencia causa el colapso fue aceptada por Eugene Wigner, [222] la interpretación de Von Neumann-Wigner nunca ganó aceptación entre la mayoría de los físicos. [223]
Aunque las teorías de la mecánica cuántica siguen evolucionando, el marco básico para el formalismo matemático de los problemas de la mecánica cuántica que subyace a la mayoría de los enfoques se remonta a los formalismos y técnicas matemáticas utilizadas por primera vez por von Neumann. Los debates sobre la interpretación de la teoría y sus extensiones se llevan a cabo ahora principalmente sobre la base de supuestos compartidos sobre los fundamentos matemáticos. [213]
En 1974, el físico matemático Arthur Wightman, al considerar el trabajo de von Neumann sobre la mecánica cuántica como parte del cumplimiento del sexto problema de Hilbert , dijo que su axiomización de la teoría cuántica era quizás la axiomización más importante de una teoría física hasta la fecha. Con su libro de 1932, la mecánica cuántica se convirtió en una teoría madura en el sentido de que tenía una forma matemática precisa, que permitía respuestas claras a problemas conceptuales. [224] Sin embargo, en sus últimos años, von Neumann sintió que había fracasado en este aspecto de su trabajo científico ya que, a pesar de todas las matemáticas que desarrolló, no encontró un marco matemático satisfactorio para la teoría cuántica en su conjunto. [225] [226]
La entropía de von Neumann se utiliza ampliamente en diferentes formas ( entropía condicional , entropía relativa , etc.) en el marco de la teoría de la información cuántica . [227] Las medidas de entrelazamiento se basan en alguna cantidad directamente relacionada con la entropía de von Neumann. Dado un conjunto estadístico de sistemas mecánicos cuánticos con la matriz de densidad , está dada por Muchas de las mismas medidas de entropía en la teoría de la información clásica también se pueden generalizar al caso cuántico, como la entropía de Holevo [228] y la entropía cuántica condicional . La teoría de la información cuántica se ocupa en gran medida de la interpretación y los usos de la entropía de von Neumann, una piedra angular en el desarrollo de la primera; la entropía de Shannon se aplica a la teoría de la información clásica. [229]
El formalismo de los operadores de densidad y matrices fue introducido por von Neumann [230] en 1927 e independientemente, pero menos sistemáticamente por Lev Landau [231] y Felix Bloch [232] en 1927 y 1946 respectivamente. La matriz de densidad permite la representación de mezclas probabilísticas de estados cuánticos ( estados mixtos ) en contraste con las funciones de onda , que solo pueden representar estados puros . [233]
El esquema de medición de von Neumann , antecesor de la teoría de la decoherencia cuántica , representa las mediciones de forma proyectiva teniendo en cuenta el aparato de medición, que también se considera un objeto cuántico. El esquema de "medición proyectiva" introducido por von Neumann condujo al desarrollo de las teorías de la decoherencia cuántica. [234] [235]
Von Neumann propuso por primera vez una lógica cuántica en su tratado de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , donde señaló que las proyecciones sobre un espacio de Hilbert pueden verse como proposiciones sobre observables físicos. El campo de la lógica cuántica fue inaugurado posteriormente en un artículo de 1936 de von Neumann y Garrett Birkhoff, los primeros en introducir la lógica cuántica, [236] en el que von Neumann y Birkhoff demostraron por primera vez que la mecánica cuántica requiere un cálculo proposicional sustancialmente diferente de todas las lógicas clásicas y aislaron rigurosamente una nueva estructura algebraica para la lógica cuántica. El concepto de crear un cálculo proposicional para la lógica cuántica se esbozó por primera vez en una breve sección en el trabajo de von Neumann de 1932, pero en 1936, la necesidad del nuevo cálculo proposicional se demostró a través de varias pruebas. Por ejemplo, los fotones no pueden pasar a través de dos filtros sucesivos que estén polarizados perpendicularmente (p. ej., horizontal y verticalmente), y por lo tanto, a fortiori , no pueden pasar si se añade un tercer filtro polarizado diagonalmente a los otros dos, ya sea antes o después de ellos en la sucesión, pero si el tercer filtro se añade entre los otros dos, los fotones sí pasarán. Este hecho experimental es traducible a la lógica como la no conmutatividad de la conjunción . También se demostró que las leyes de distribución de la lógica clásica, y , no son válidas para la teoría cuántica. [237]
La razón de esto es que una disyunción cuántica, a diferencia del caso de la disyunción clásica, puede ser verdadera incluso cuando ambas disyunciones son falsas y esto a su vez es atribuible al hecho de que es frecuente el caso en mecánica cuántica que un par de alternativas son semánticamente determinadas, mientras que cada uno de sus miembros es necesariamente indeterminado. En consecuencia, la ley distributiva de la lógica clásica debe ser reemplazada por una condición más débil. [237] En lugar de una red distributiva, las proposiciones sobre un sistema cuántico forman una red ortomodular isomorfa a la red de subespacios del espacio de Hilbert asociado con ese sistema. [238]
Sin embargo, nunca estuvo satisfecho con su trabajo sobre lógica cuántica. Pretendía que fuera una síntesis conjunta de lógica formal y teoría de la probabilidad y cuando intentó escribir un artículo para la Conferencia Henry Joseph que dio en la Sociedad Filosófica de Washington en 1945, se dio cuenta de que no podía, especialmente considerando que estaba ocupado con trabajos de guerra en ese momento. Durante su discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1954 , presentó esta cuestión como uno de los problemas sin resolver en los que los matemáticos futuros podrían trabajar. [239] [240]
Von Neumann hizo contribuciones fundamentales en el campo de la dinámica de fluidos , incluyendo la clásica solución de flujo para las ondas expansivas , [241] y el codescubrimiento (independientemente por Yakov Borisovich Zel'dovich y Werner Döring ) del modelo de detonación ZND de explosivos. [242] Durante la década de 1930, von Neumann se convirtió en una autoridad en las matemáticas de las cargas conformadas . [243]
Más tarde, junto con Robert D. Richtmyer , von Neumann desarrolló un algoritmo que definía la viscosidad artificial y que mejoraba la comprensión de las ondas de choque . Cuando las computadoras resolvían problemas hidrodinámicos o aerodinámicos, colocaban demasiados puntos de la cuadrícula computacional en regiones de discontinuidad aguda (ondas de choque). Las matemáticas de la viscosidad artificial suavizaron la transición de choque sin sacrificar la física básica. [244]
Von Neumann pronto aplicó el modelado por ordenador al campo, desarrollando software para su investigación balística. Durante la Segunda Guerra Mundial, se acercó a RH Kent, el director del Laboratorio de Investigación Balística del Ejército de los EE. UU ., con un programa de computadora para calcular un modelo unidimensional de 100 moléculas para simular una onda de choque. Von Neumann dio un seminario sobre su programa a una audiencia que incluía a su amigo Theodore von Kármán . Después de que von Neumann terminó, von Kármán dijo: "Por supuesto, te das cuenta de que Lagrange también usó modelos digitales para simular la mecánica del medio continuo ". Von Neumann no conocía la Mécanique analytique de Lagrange . [245]
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Aunque no fue tan prolífico en física como lo fue en matemáticas, hizo otras contribuciones notables. Sus artículos pioneros con Subrahmanyan Chandrasekhar sobre las estadísticas de un campo gravitacional fluctuante generado por estrellas distribuidas aleatoriamente fueron considerados un tour de force . [246] En este artículo desarrollaron una teoría de relajación de dos cuerpos [247] y usaron la distribución de Holtsmark para modelar [248] la dinámica de los sistemas estelares . [249] Escribió varios otros manuscritos inéditos sobre temas de estructura estelar , algunos de los cuales se incluyeron en otros trabajos de Chandrasekhar. [250] [251] En un trabajo anterior dirigido por Oswald Veblen, von Neumann ayudó a desarrollar ideas básicas que involucraban a los espinores que conducirían a la teoría de twistores de Roger Penrose . [252] [253] Gran parte de esto se hizo en seminarios realizados en el IAS durante la década de 1930. [254] A partir de este trabajo escribió un artículo con AH Taub y Veblen extendiendo la ecuación de Dirac a la relatividad proyectiva , con un enfoque clave en mantener la invariancia con respecto a las transformaciones de coordenadas, espín y calibre , como parte de una investigación temprana sobre posibles teorías de la gravedad cuántica en la década de 1930. [255] En el mismo período de tiempo hizo varias propuestas a colegas para tratar los problemas en la recién creada teoría cuántica de campos y para cuantificar el espacio-tiempo; sin embargo, tanto sus colegas como él no consideraron que las ideas fueran fructíferas y no las persiguieron. [256] [257] [258] Sin embargo, mantuvo al menos cierto interés, en 1940 escribiendo un manuscrito sobre la ecuación de Dirac en el espacio de De Sitter . [259]
Von Neumann fundó el campo de la teoría de juegos como disciplina matemática. [260] Demostró su teorema minimax en 1928. Establece que en juegos de suma cero con información perfecta (es decir, en los que los jugadores conocen en cada momento todos los movimientos que han tenido lugar hasta el momento), existe un par de estrategias para ambos jugadores que permite a cada uno minimizar sus pérdidas máximas. [261] Tales estrategias se denominan óptimas . Von Neumann demostró que sus minimax son iguales (en valor absoluto) y contrarios (en signo). Mejoró y extendió el teorema minimax para incluir juegos que involucran información imperfecta y juegos con más de dos jugadores, publicando este resultado en su Teoría de juegos y comportamiento económico de 1944 , escrita con Oskar Morgenstern . El interés público en este trabajo fue tal que The New York Times publicó un artículo en primera plana. [262] En este libro, von Neumann declaró que la teoría económica necesitaba utilizar el análisis funcional , especialmente los conjuntos convexos y el teorema de punto fijo topológico , en lugar del cálculo diferencial tradicional, porque el operador máximo no preservaba las funciones diferenciables. [260]
Las técnicas de análisis funcional de von Neumann (el uso de pares de dualidades de espacios vectoriales reales para representar precios y cantidades, el uso de hiperplanos de apoyo y separación y conjuntos convexos, y la teoría del punto fijo) han sido herramientas primarias de la economía matemática desde entonces. [263]
Von Neumann elevó el nivel matemático de la economía en varias publicaciones influyentes. Para su modelo de una economía en expansión, demostró la existencia y unicidad de un equilibrio utilizando su generalización del teorema de punto fijo de Brouwer . [260] El modelo de von Neumann de una economía en expansión consideró la matriz lápiz A − λ B con matrices no negativas A y B ; von Neumann buscó vectores de probabilidad p y q y un número positivo λ que resolviera la ecuación de complementariedad junto con dos sistemas de desigualdad que expresan la eficiencia económica. En este modelo, el vector de probabilidad ( transpuesto ) p representa los precios de los bienes mientras que el vector de probabilidad q representa la "intensidad" a la que se ejecutaría el proceso de producción. La solución única λ representa el factor de crecimiento que es 1 más la tasa de crecimiento de la economía; la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés . [264] [265]
Los resultados de von Neumann han sido vistos como un caso especial de programación lineal , donde su modelo utiliza sólo matrices no negativas. El estudio de su modelo de una economía en expansión continúa interesando a los economistas matemáticos. [266] [267] Este artículo ha sido llamado el mejor artículo en economía matemática por varios autores, quienes reconocieron su introducción de teoremas de punto fijo, desigualdades lineales , holgura complementaria y dualidad de punto de silla . [268] En las actas de una conferencia sobre el modelo de crecimiento de von Neumann, Paul Samuelson dijo que muchos matemáticos habían desarrollado métodos útiles para los economistas, pero que von Neumann era único en haber hecho contribuciones significativas a la teoría económica en sí. [269] La importancia duradera del trabajo sobre equilibrios generales y la metodología de los teoremas de punto fijo se ve subrayada por la concesión de los premios Nobel en 1972 a Kenneth Arrow , en 1983 a Gérard Debreu y en 1994 a John Nash, quien utilizó teoremas de punto fijo para establecer equilibrios para juegos no cooperativos y para problemas de negociación en su tesis doctoral. Arrow y Debreu también utilizaron programación lineal, al igual que los premios Nobel Tjalling Koopmans , Leonid Kantorovich , Wassily Leontief , Paul Samuelson , Robert Dorfman , Robert Solow y Leonid Hurwicz . [270]
El interés de von Neumann por el tema comenzó mientras daba conferencias en Berlín en 1928 y 1929. Pasó sus veranos en Budapest, al igual que el economista Nicholas Kaldor ; Kaldor recomendó que von Neumann leyera un libro del economista matemático Léon Walras . Von Neumann se dio cuenta de que la teoría del equilibrio general de Walras y la ley de Walras , que conducían a sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, podían producir el resultado absurdo de que las ganancias podían maximizarse produciendo y vendiendo una cantidad negativa de un producto. Reemplazó las ecuaciones por desigualdades, introdujo equilibrios dinámicos, entre otras cosas, y finalmente publicó su artículo. [271]
Basándose en sus resultados sobre los juegos matriciales y en su modelo de una economía en expansión, von Neumann inventó la teoría de la dualidad en la programación lineal cuando George Dantzig describió su trabajo en unos pocos minutos y un impaciente von Neumann le pidió que fuera directo al grano. Dantzig escuchó entonces estupefacto mientras von Neumann daba una conferencia de una hora sobre conjuntos convexos, teoría del punto fijo y dualidad, conjeturando la equivalencia entre los juegos matriciales y la programación lineal. [272]
Más tarde, von Neumann sugirió un nuevo método de programación lineal , utilizando el sistema lineal homogéneo de Paul Gordan (1873), que luego fue popularizado por el algoritmo de Karmarkar . El método de von Neumann utilizó un algoritmo de pivote entre símplices , con la decisión de pivote determinada por un subproblema de mínimos cuadrados no negativos con una restricción de convexidad ( proyectando el vector cero sobre la envoltura convexa del símplice activo). El algoritmo de von Neumann fue el primer método de punto interior de programación lineal. [273]
Von Neumann fue una figura fundadora de la informática , [274] con importantes contribuciones al diseño de hardware informático, a la informática teórica , a la computación científica y a la filosofía de la informática .
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Von Neumann fue consultor del Laboratorio de Investigación Balística del Ejército , más notablemente en el proyecto ENIAC , [275] como miembro de su Comité Asesor Científico. [276] Aunque la arquitectura de memoria única y programa almacenado se denomina comúnmente arquitectura de von Neumann , la arquitectura se basó en el trabajo de J. Presper Eckert y John Mauchly , inventores de ENIAC y su sucesor, EDVAC . Mientras asesoraba para el proyecto EDVAC en la Universidad de Pensilvania , von Neumann escribió un primer borrador incompleto de un informe sobre el EDVAC . El documento, cuya distribución prematura anuló las reivindicaciones de patente de Eckert y Mauchly, describía una computadora que almacenaba tanto sus datos como su programa en el mismo espacio de direcciones, a diferencia de las primeras computadoras que almacenaban sus programas por separado en cintas de papel o tableros de conexiones . Esta arquitectura se convirtió en la base de la mayoría de los diseños de computadoras modernas. [277]
A continuación, von Neumann diseñó la máquina IAS en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Nueva Jersey). Organizó su financiación y los componentes se diseñaron y construyeron en el cercano Laboratorio de Investigación RCA . Von Neumann recomendó que el IBM 701 , apodado el ordenador de defensa , incluyera un tambor magnético. Era una versión más rápida de la máquina IAS y formó la base del IBM 704 , que tuvo un gran éxito comercial . [278] [279]
Von Neumann fue el inventor, en 1945, del algoritmo de ordenación por fusión , en el que la primera y la segunda mitad de una matriz se ordenan recursivamente y luego se fusionan. [280] [281]
Como parte del trabajo de von Neumann sobre la bomba de hidrógeno, él y Stanisław Ulam desarrollaron simulaciones para cálculos hidrodinámicos. También contribuyó al desarrollo del método de Monte Carlo , que utilizaba números aleatorios para aproximar las soluciones a problemas complicados. [282]
El algoritmo de von Neumann para simular una moneda justa con una moneda sesgada se utiliza en la etapa de "blanqueamiento de software" de algunos generadores de números aleatorios de hardware . [283] Debido a que obtener números "realmente" aleatorios era poco práctico, von Neumann desarrolló una forma de pseudoaleatoriedad , utilizando el método del cuadrado medio . Justificó este método crudo como más rápido que cualquier otro método a su disposición, escribiendo que "Cualquiera que considere métodos aritméticos para producir dígitos aleatorios está, por supuesto, en un estado de pecado". [283] También señaló que cuando este método fallaba, lo hacía de manera obvia, a diferencia de otros métodos que podían ser sutilmente incorrectos. [283]
La computación estocástica fue introducida por von Neumann en 1953, [284] pero no pudo implementarse hasta los avances en computación de la década de 1960. [285] [286] Alrededor de 1950, también fue uno de los primeros en hablar sobre la complejidad temporal de los cálculos , que eventualmente evolucionó hacia el campo de la teoría de la complejidad computacional . [287]
El análisis matemático de von Neumann de la estructura de la autorreplicación precedió al descubrimiento de la estructura del ADN. [289] A Ulam y von Neumann también se les atribuye generalmente la creación del campo de los autómatas celulares , a partir de la década de 1940, como un modelo matemático simplificado de los sistemas biológicos. [290]
En conferencias de 1948 y 1949, von Neumann propuso un autómata cinemático autorreproductor. [291] [292] En 1952, estaba tratando el problema de forma más abstracta. Diseñó un elaborado autómata celular 2D que haría automáticamente una copia de su configuración inicial de células. [293] El constructor universal de von Neumann basado en el autómata celular de von Neumann se desarrolló en su Teoría de autómatas autorreproductores póstuma . [294] El vecindario de von Neumann , en el que cada celda de una cuadrícula bidimensional tiene las cuatro celdas de cuadrícula adyacentes ortogonalmente como vecinas, continúa utilizándose para otros autómatas celulares. [295]
Considerado posiblemente como "el investigador más influyente en computación científica de todos los tiempos", [296] von Neumann hizo varias contribuciones al campo, tanto técnicas como administrativas. Desarrolló el procedimiento de análisis de estabilidad de Von Neumann , [297] todavía comúnmente utilizado para evitar la acumulación de errores en métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales lineales . [298] Su artículo con Herman Goldstine en 1947 fue el primero en describir el análisis de errores hacia atrás , aunque de manera implícita. [299] También fue uno de los primeros en escribir sobre el método de Jacobi . [300] En Los Álamos, escribió varios informes clasificados sobre la solución numérica de problemas de dinámica de gases . Sin embargo, estaba frustrado por la falta de progreso con los métodos analíticos para estos problemas no lineales . Como resultado, se inclinó hacia los métodos computacionales. [301] Bajo su influencia, Los Álamos se convirtió en el líder en ciencia computacional durante la década de 1950 y principios de la de 1960. [302]
A partir de este trabajo, von Neumann se dio cuenta de que la computación no era solo una herramienta para forzar la solución de un problema numéricamente, sino que también podía proporcionar información para resolver problemas analíticamente, [303] y que había una enorme variedad de problemas científicos y de ingeniería para los que las computadoras serían útiles, el más significativo de los cuales eran los problemas no lineales . [304] En junio de 1945, en el Primer Congreso Matemático Canadiense, dio su primera charla sobre ideas generales de cómo resolver problemas, particularmente de dinámica de fluidos numéricamente. [245] También describió cómo los túneles de viento eran en realidad computadoras analógicas , y cómo las computadoras digitales las reemplazarían y traerían una nueva era de dinámica de fluidos. Garrett Birkhoff lo describió como "un discurso de ventas inolvidable". Amplió esta charla con Goldstine en el manuscrito "Sobre los principios de las máquinas de computación a gran escala" y lo utilizó para promover el apoyo a la computación científica. Sus artículos también desarrollaron los conceptos de matrices inversoras , matrices aleatorias y métodos de relajación automatizados para resolver problemas de valores límite elípticos . [305]
Como parte de su investigación sobre las posibles aplicaciones de las computadoras, von Neumann se interesó en la predicción del tiempo, notando similitudes entre los problemas en el campo y aquellos en los que había trabajado durante el Proyecto Manhattan. [306] En 1946 von Neumann fundó el "Proyecto Meteorológico" en el Instituto de Estudios Avanzados, asegurando financiación para su proyecto de la Oficina Meteorológica , los servicios meteorológicos de la Fuerza Aérea de los EE. UU. y la Marina de los EE. UU. [307] Con Carl-Gustaf Rossby , considerado el meteorólogo teórico líder en ese momento, reunió a un grupo de veinte meteorólogos para trabajar en varios problemas en el campo. Sin embargo, dado su otro trabajo de posguerra, no pudo dedicar suficiente tiempo al liderazgo adecuado del proyecto y se logró poco.
Esto cambió cuando un joven Jule Gregory Charney asumió la dirección conjunta del proyecto de Rossby. [308] En 1950, von Neumann y Charney escribieron el primer software de modelado climático del mundo y lo utilizaron para realizar las primeras previsiones meteorológicas numéricas del mundo en la computadora ENIAC que von Neumann había dispuesto que se utilizara; [307] von Neumann y su equipo publicaron los resultados como Integración numérica de la ecuación de vorticidad barotrópica . [309] Juntos desempeñaron un papel destacado en los esfuerzos por integrar los intercambios de energía y humedad entre el mar y el aire en el estudio del clima. [310] Aunque primitivas, las noticias de las previsiones de ENIAC se extendieron rápidamente por todo el mundo y se iniciaron varios proyectos paralelos en otros lugares. [311]
En 1955, von Neumann, Charney y sus colaboradores convencieron a sus financiadores para que abrieran la Unidad Conjunta de Predicción Numérica del Tiempo (JNWPU) en Suitland, Maryland , que comenzó a realizar pronósticos meteorológicos rutinarios en tiempo real. [312] A continuación, von Neumann propuso un programa de investigación para el modelado climático:
El enfoque consiste en intentar primero hacer pronósticos de corto plazo, luego pronósticos de largo plazo de aquellas propiedades de la circulación que pueden perpetuarse durante períodos de tiempo arbitrariamente largos y, finalmente, intentar hacer pronósticos para períodos de tiempo medianos a largos que son demasiado largos para tratarlos mediante la teoría hidrodinámica simple y demasiado cortos para tratarlos mediante el principio general de la teoría del equilibrio. [313]
Los resultados positivos de Norman A. Phillips en 1955 provocaron una reacción inmediata y von Neumann organizó una conferencia en Princeton sobre "Aplicación de técnicas de integración numérica al problema de la circulación general". Una vez más, organizó estratégicamente el programa como uno predictivo para asegurar el apoyo continuo de la Oficina Meteorológica y el ejército, lo que llevó a la creación de la Sección de Investigación de Circulación General (ahora el Laboratorio de Dinámica de Fluidos Geofísicos ) junto a la JNWPU. [314] Continuó trabajando tanto en cuestiones técnicas de modelado como en asegurar la financiación continua para estos proyectos. [315] A fines del siglo XIX, Svante Arrhenius sugirió que la actividad humana podría causar el calentamiento global al agregar dióxido de carbono a la atmósfera. [316] En 1955, von Neumann observó que esto ya podría haber comenzado: "El dióxido de carbono liberado a la atmósfera por la quema industrial de carbón y petróleo -más de la mitad durante la última generación- puede haber cambiado la composición de la atmósfera lo suficiente como para explicar un calentamiento general del mundo de aproximadamente un grado Fahrenheit". [317] [318] Su investigación sobre los sistemas climáticos y la predicción meteorológica lo llevó a proponer manipular el medio ambiente esparciendo colorantes en los casquetes polares para mejorar la absorción de la radiación solar (al reducir el albedo ). [319] [320] [319] [320] Sin embargo, instó a la cautela en cualquier programa de modificación de la atmósfera:
Por supuesto, lo que se podría hacer no es un índice de lo que se debería hacer... De hecho, evaluar las consecuencias finales de un enfriamiento general o de un calentamiento general sería una cuestión compleja. Los cambios afectarían al nivel de los mares y, por lo tanto, a la habitabilidad de las plataformas costeras continentales; a la evaporación de los mares y, por lo tanto, a los niveles generales de precipitación y glaciación; y así sucesivamente... Pero no hay duda de que se podrían llevar a cabo los análisis necesarios para predecir los resultados, intervenir en cualquier escala deseada y, en última instancia, lograr resultados bastante fantásticos. [318]
También advirtió que el control del clima y del tiempo podría tener usos militares, diciéndole al Congreso en 1956 que podrían representar un riesgo aún mayor que los misiles balísticos intercontinentales . [321]
"La tecnología que se está desarrollando ahora y que dominará las próximas décadas está en conflicto con las unidades y conceptos geográficos y políticos tradicionales, que en general aún son válidos por el momento. Se trata de una crisis de maduración de la tecnología... La respuesta más esperanzadora es que la especie humana ya ha sido sometida a pruebas similares antes y parece tener una capacidad congénita para salir adelante, después de distintos grados de dificultad."
—von Neumann, 1955 [318]
El primer uso del concepto de singularidad en el contexto tecnológico se atribuye a von Neumann, [322] quien según Ulam discutió el "progreso cada vez más acelerado de la tecnología y los cambios en el modo de vida humana, que da la apariencia de acercarse a alguna singularidad esencial en la historia de la raza más allá de la cual los asuntos humanos, tal como los conocemos, no podrían continuar". [323] Este concepto fue desarrollado más tarde en el libro Future Shock de Alvin Toffler .
A finales de la década de 1930, von Neumann desarrolló una gran experiencia en explosiones, fenómenos que son difíciles de modelar matemáticamente. Durante este período, fue la principal autoridad en matemáticas de cargas huecas , lo que lo llevó a realizar una gran cantidad de consultorías militares y, en consecuencia, a involucrarse en el Proyecto Manhattan . Su participación incluyó frecuentes viajes a las instalaciones de investigación secretas del proyecto en el Laboratorio de Los Álamos en Nuevo México. [38]
Von Neumann hizo su principal contribución a la bomba atómica en el concepto y diseño de las lentes explosivas que se necesitaban para comprimir el núcleo de plutonio del arma Fat Man que luego fue lanzada sobre Nagasaki . [324] Si bien von Neumann no fue el creador del concepto de " implosión ", fue uno de sus defensores más persistentes, alentando su desarrollo continuo en contra de los instintos de muchos de sus colegas, quienes sentían que tal diseño era inviable. Finalmente, también se le ocurrió la idea de usar cargas huecas más poderosas y material menos fisionable para aumentar en gran medida la velocidad de "ensamblaje". [325]
Cuando se descubrió que no habría suficiente uranio-235 para fabricar más de una bomba, el proyecto de lentes implosivas se amplió enormemente y se implementó la idea de von Neumann. La implosión era el único método que se podía utilizar con el plutonio-239 que estaba disponible en el sitio de Hanford . [326] Estableció el diseño de las lentes explosivas necesarias, pero seguían existiendo preocupaciones sobre los "efectos de borde" y las imperfecciones en los explosivos. [327] Sus cálculos mostraron que la implosión funcionaría si no se desviaba en más del 5% de la simetría esférica. [328] Después de una serie de intentos fallidos con modelos, esto fue logrado por George Kistiakowsky , y la construcción de la bomba Trinity se completó en julio de 1945. [329]
En una visita a Los Álamos en septiembre de 1944, von Neumann demostró que el aumento de presión debido a la reflexión de la onda de choque de la explosión en objetos sólidos era mayor de lo que se creía anteriormente si el ángulo de incidencia de la onda de choque se encontraba entre 90° y un ángulo límite. Como resultado, se determinó que la eficacia de una bomba atómica sería mayor si la detonación se realizara a algunos kilómetros por encima del objetivo, en lugar de a nivel del suelo. [330] [331]
Von Neumann fue incluido en el comité de selección de objetivos que fue responsable de elegir las ciudades japonesas de Hiroshima y Nagasaki como los primeros objetivos de la bomba atómica . Von Neumann supervisó los cálculos relacionados con el tamaño esperado de las explosiones de las bombas, las cifras estimadas de muertes y la distancia sobre el suelo a la que las bombas deberían detonarse para una propagación óptima de la onda de choque. La capital cultural de Kioto fue la primera opción de von Neumann, [332] una selección secundada por el líder del Proyecto Manhattan, el general Leslie Groves . Sin embargo, este objetivo fue descartado por el Secretario de Guerra Henry L. Stimson . [333]
El 16 de julio de 1945, von Neumann y otros numerosos miembros del personal del Proyecto Manhattan fueron testigos presenciales de la primera prueba de detonación de una bomba atómica, cuyo nombre en código era Trinity . El evento se llevó a cabo como una prueba del dispositivo del método de implosión, en el campo de bombardeo de Alamogordo en Nuevo México. Basándose solo en su observación, von Neumann estimó que la prueba había resultado en una explosión equivalente a 5 kilotones de TNT (21 TJ ), pero Enrico Fermi produjo una estimación más precisa de 10 kilotones al dejar caer trozos de papel roto cuando la onda expansiva pasó por su ubicación y observar hasta dónde se dispersaban. La potencia real de la explosión había sido de entre 20 y 22 kilotones. [334] Fue en los documentos de von Neumann de 1944 donde apareció por primera vez la expresión "kilotones". [335]
Von Neumann continuó imperturbable en su trabajo y se convirtió, junto con Edward Teller, en uno de los que apoyaron el proyecto de la bomba de hidrógeno . Colaboró con Klaus Fuchs en el desarrollo posterior de la bomba, y en 1946 los dos presentaron una patente secreta que describía un esquema para utilizar una bomba de fisión para comprimir el combustible de fusión para iniciar la fusión nuclear . [336] La patente de Fuchs-von Neumann utilizó la implosión por radiación , pero no de la misma manera que se utiliza en lo que se convirtió en el diseño final de la bomba de hidrógeno, el diseño de Teller-Ulam . Sin embargo, su trabajo se incorporó a la toma "George" de la Operación Greenhouse , que fue instructiva para probar los conceptos que se utilizaron en el diseño final. [337] El trabajo de Fuchs-von Neumann fue transmitido a la Unión Soviética por Fuchs como parte de su espionaje nuclear , pero no se utilizó en el desarrollo independiente de los soviéticos del diseño de Teller-Ulam. El historiador Jeremy Bernstein ha señalado que, irónicamente, "John von Neumann y Klaus Fuchs produjeron una invención brillante en 1946 que podría haber cambiado todo el curso del desarrollo de la bomba de hidrógeno, pero no fue comprendida plenamente hasta después de que la bomba se hubiera fabricado con éxito". [337]
Por sus servicios durante la guerra, von Neumann recibió el Premio al Servicio Civil Distinguido de la Marina en julio de 1946 y la Medalla al Mérito en octubre de 1946. [338]
En 1950, von Neumann se convirtió en consultor del Grupo de Evaluación de Sistemas de Armas , [339] cuya función era asesorar al Estado Mayor Conjunto y al Secretario de Defensa de los Estados Unidos sobre el desarrollo y uso de nuevas tecnologías. [340] También se convirtió en asesor del Proyecto de Armas Especiales de las Fuerzas Armadas , que era responsable de los aspectos militares de las armas nucleares . [339] Durante los dos años siguientes, se convirtió en consultor en todo el gobierno de los EE. UU. [341] Esto incluyó la Agencia Central de Inteligencia (CIA), miembro del influyente Comité Asesor General de la Comisión de Energía Atómica , consultor del recién establecido Laboratorio Nacional Lawrence Livermore y miembro del Grupo Asesor Científico de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos [339] Durante este tiempo se convirtió en un científico de defensa "superestrella" en el Pentágono . Su autoridad era considerada infalible en los niveles más altos del gobierno y el ejército de los EE. UU. [342]
Durante varias reuniones del consejo asesor de la Fuerza Aérea de los EE. UU., von Neumann y Edward Teller predijeron que para 1960 los EE. UU. serían capaces de construir una bomba de hidrógeno lo suficientemente ligera como para caber en la parte superior de un cohete. En 1953, Bernard Schriever , que estaba presente en la reunión, realizó una visita personal a von Neumann en Princeton para confirmar esta posibilidad. [343] Schriever reclutó a Trevor Gardner , quien a su vez visitó a von Neumann varias semanas después para comprender completamente las posibilidades futuras antes de comenzar su campaña para tal arma en Washington. [344] Ahora, ya sea presidiendo o sirviendo en varias juntas que se ocupaban de misiles estratégicos y armamento nuclear, von Neumann pudo inyectar varios argumentos cruciales sobre los posibles avances soviéticos en estas áreas y en las defensas estratégicas contra los bombarderos estadounidenses en los informes del gobierno para defender la creación de ICBM . [345] Gardner en varias ocasiones llevó a von Neumann a reuniones con el Departamento de Defensa de los EE. UU. para discutir con varios funcionarios de alto rango sus informes. [346] Varias decisiones de diseño en estos informes, como los mecanismos de guía inercial, formarían la base de todos los misiles balísticos intercontinentales posteriores. [347] En 1954, von Neumann también testificaba regularmente ante varios subcomités militares del Congreso para asegurar el apoyo continuo al programa de misiles balísticos intercontinentales. [348]
Sin embargo, esto no fue suficiente. Para que el programa ICBM funcionara a toda máquina, necesitaban una acción directa del Presidente de los Estados Unidos. [349] Convencieron al Presidente Eisenhower en una reunión directa en julio de 1955, que resultó en una directiva presidencial el 13 de septiembre de 1955. Declaraba que "habría las más graves repercusiones en la seguridad nacional y en la cohesión del mundo libre" si la Unión Soviética desarrollaba el ICBM antes que los EE. UU. y, por lo tanto, designó el proyecto ICBM como "un programa de investigación y desarrollo de la más alta prioridad por encima de todos los demás". Se ordenó al Secretario de Defensa que comenzara el proyecto con "máxima urgencia". [350] La evidencia mostraría más tarde que los soviéticos de hecho ya estaban probando sus propios misiles balísticos de alcance intermedio en ese momento. [351] Von Neumann continuaría reuniéndose con el Presidente, incluso en su casa en Gettysburg, Pensilvania , y otros funcionarios gubernamentales de alto nivel como asesor clave sobre ICBM hasta su muerte. [352]
En 1955, von Neumann se convirtió en comisionado de la Comisión de Energía Atómica (AEC), que en ese momento era el puesto oficial más alto disponible para los científicos en el gobierno. [353] (Si bien su nombramiento requería formalmente que cortara todos sus otros contratos de consultoría, [354] se hizo una exención para que von Neumann continuara trabajando con varios comités militares críticos después de que la Fuerza Aérea y varios senadores clave plantearan preocupaciones. [352] ) Utilizó este puesto para promover la producción de bombas de hidrógeno compactas adecuadas para el lanzamiento de misiles balísticos intercontinentales (ICBM). Se involucró en corregir la grave escasez de tritio y litio 6 necesarios para estas armas, y argumentó en contra de conformarse con los misiles de alcance intermedio que quería el Ejército. Estaba convencido de que las bombas H lanzadas profundamente en territorio enemigo por un ICBM serían el arma más efectiva posible, y que la relativa inexactitud del misil no sería un problema con una bomba H. Dijo que los rusos probablemente estarían construyendo un sistema de armas similar, lo que resultó ser el caso. [355] [356] Mientras Lewis Strauss estaba ausente en la segunda mitad de 1955, von Neumann asumió como presidente interino de la comisión. [357]
En sus últimos años antes de morir de cáncer, von Neumann dirigió el comité secreto de misiles balísticos intercontinentales del gobierno de los Estados Unidos, que a veces se reunía en su casa. Su propósito era decidir sobre la viabilidad de construir un misil balístico intercontinental lo suficientemente grande como para transportar un arma termonuclear. Von Neumann había sostenido durante mucho tiempo que, si bien los obstáculos técnicos eran considerables, podían superarse. El SM-65 Atlas pasó su primera prueba completamente funcional en 1959, dos años después de su muerte. [358] Los cohetes Titan, más avanzados, se desplegaron en 1962. Ambos habían sido propuestos en los comités de misiles balísticos intercontinentales que von Neumann presidía. [352] La viabilidad de los misiles balísticos intercontinentales se debía tanto a ojivas mejoradas y más pequeñas que no tenían problemas de guía o resistencia al calor como a los avances en cohetería, y su conocimiento de lo primero hizo que sus consejos fueran invaluables. [358] [352]
Von Neumann entró al servicio del gobierno principalmente porque sentía que, si la libertad y la civilización iban a sobrevivir, tendría que ser porque Estados Unidos triunfaría sobre el totalitarismo del nazismo , el fascismo y el comunismo soviético . [60] Durante una audiencia del comité del Senado, describió su ideología política como "violentamente anticomunista y mucho más militarista que la norma". [359] [360]
Herman Goldstine comentó sobre la capacidad de von Neumann para intuir errores ocultos y recordar material antiguo a la perfección. [361] [362] Cuando tenía dificultades, no se esforzaba; en lugar de eso, se iba a casa y dormía para volver más tarde con una solución. [363] Este estilo, "tomar el camino de menor resistencia", a veces significaba que podía irse por las ramas. También significaba que si la dificultad era grande desde el principio, simplemente cambiaba a otro problema, sin tratar de encontrar puntos débiles desde los que pudiera salir adelante. [364] A veces podía ignorar la literatura matemática estándar, encontrando más fácil volver a derivar la información básica que necesitaba en lugar de buscar referencias. [365]
Después de que comenzara la Segunda Guerra Mundial , se volvió extremadamente ocupado con compromisos académicos y militares. Su hábito de no escribir sus charlas ni publicar los resultados empeoró. [366] No le resultaba fácil discutir un tema formalmente por escrito a menos que ya estuviera maduro en su mente; si no lo estaba, en sus propias palabras, "desarrollaría los peores rasgos de pedantismo e ineficiencia". [367]
El matemático Jean Dieudonné dijo que von Neumann "puede haber sido el último representante de un grupo otrora floreciente y numeroso, los grandes matemáticos que se sentían igualmente cómodos en las matemáticas puras y aplicadas y que a lo largo de sus carreras mantuvieron una producción constante en ambas direcciones". [160] Según Dieudonné, su genio específico estaba en el análisis y la "combinatoria", entendiendo la combinatoria en un sentido muy amplio que describía su capacidad para organizar y axiomizar trabajos complejos que anteriormente parecían tener poca conexión con las matemáticas. Su estilo en el análisis seguía la escuela alemana, basada en fundamentos en álgebra lineal y topología general . Si bien von Neumann tenía una formación enciclopédica, su rango en matemáticas puras no era tan amplio como el de Poincaré , Hilbert o incluso Weyl : von Neumann nunca realizó un trabajo significativo en teoría de números , topología algebraica , geometría algebraica o geometría diferencial . Sin embargo, en matemáticas aplicadas su trabajo igualó al de Gauss , Cauchy o Poincaré . [116]
Según Wigner, "Nadie conoce toda la ciencia, ni siquiera von Neumann lo hizo. Pero en cuanto a las matemáticas, contribuyó a cada parte de ellas excepto la teoría de números y la topología. Eso es, creo, algo único". [368] Halmos señaló que si bien von Neumann sabía muchas matemáticas, las lagunas más notables estaban en la topología algebraica y la teoría de números; recordó un incidente en el que von Neumann no reconoció la definición topológica de un toro . [369] Von Neumann admitió a Herman Goldstine que no tenía ninguna habilidad en topología y que nunca se sintió cómodo con ella, y Goldstine luego mencionó esto al compararlo con Hermann Weyl , quien pensó que era más profundo y amplio. [363]
En su biografía de von Neumann, Salomon Bochner escribió que gran parte de los trabajos de von Neumann en matemáticas puras involucraban espacios vectoriales de dimensión finita e infinita , que en ese momento cubrían gran parte del área total de las matemáticas. Sin embargo, señaló que esto todavía no cubría una parte importante del panorama matemático, en particular, todo lo que involucraba geometría "en el sentido global", temas como topología , geometría diferencial e integrales armónicas , geometría algebraica y otros campos similares. Von Neumann rara vez trabajó en estos campos y, como lo vio Bochner, tenía poca afinidad por ellos. [129]
En uno de los últimos artículos de von Neumann, se lamentaba de que los matemáticos puros ya no podían alcanzar un conocimiento profundo ni siquiera de una fracción del campo. [370] A principios de la década de 1940, Ulam había preparado para él un examen de estilo doctoral para encontrar debilidades en su conocimiento; von Neumann no pudo responder satisfactoriamente una pregunta sobre geometría diferencial, teoría de números y álgebra. Concluyeron que los exámenes de doctorado podrían tener "poco significado permanente". Sin embargo, cuando Weyl rechazó una oferta para escribir una historia de las matemáticas del siglo XX, argumentando que ninguna persona podría hacerlo, Ulam pensó que von Neumann podría haber aspirado a hacerlo. [371]
Ulam comentó que la mayoría de los matemáticos podían dominar una técnica que luego utilizaban repetidamente, mientras que von Neumann dominaba tres:
Aunque se le describía comúnmente como un analista, alguna vez se clasificó a sí mismo como un algebrista, [373] y su estilo a menudo mostraba una mezcla de técnica algebraica e intuición de teoría de conjuntos. [374] Amaba los detalles obsesivos y no tenía problemas con el exceso de repetición o la notación demasiado explícita. Un ejemplo de esto fue un artículo suyo sobre anillos de operadores, donde extendió la notación funcional normal, a . Sin embargo, este proceso terminó repitiéndose varias veces, donde el resultado final fueron ecuaciones como . El artículo de 1936 se hizo conocido por los estudiantes como "la cebolla de von Neumann" [375] porque las ecuaciones "necesitaban ser peladas antes de poder digerirlas". En general, aunque sus escritos eran claros y poderosos, no eran limpios ni elegantes. [376] Aunque poderosos técnicamente, su principal preocupación era más con la formulación clara y viable de cuestiones y problemas fundamentales de la ciencia en lugar de solo la solución de acertijos matemáticos. [375]
Según Ulam, von Neumann sorprendió a los físicos al realizar estimaciones dimensionales y cálculos algebraicos en su cabeza con una fluidez que Ulam comparó con el ajedrez a ciegas . Su impresión era que von Neumann analizaba situaciones físicas mediante deducción lógica abstracta en lugar de visualización concreta. [377]
Goldstine comparó sus conferencias con estar sobre un cristal, suave y lúcido. En comparación, Goldstine pensaba que sus artículos científicos estaban escritos de una manera mucho más dura y con mucha menos perspicacia. [64] Halmos describió sus conferencias como "deslumbrantes", con un discurso claro, rápido, preciso y abarcador. Al igual que Goldstine, también describió cómo todo parecía "tan fácil y natural" en las conferencias, pero desconcertante al reflexionar más tarde. [365] Era un orador rápido: a Banesh Hoffmann le resultaba muy difícil tomar notas, incluso en taquigrafía , [378] y Albert Tucker dijo que la gente a menudo tenía que hacerle preguntas a von Neumann para que fuera más lento y pudiera pensar en las ideas que estaba presentando. Von Neumann lo sabía y agradecía que su audiencia le dijera cuando iba demasiado rápido. [379] Aunque dedicaba tiempo a prepararse para las conferencias, rara vez usaba notas, en lugar de eso anotaba los puntos de lo que discutiría y durante cuánto tiempo. [365]
Von Neumann también era conocido por su memoria eidética , en particular la simbólica. Herman Goldstine escribe:
Una de sus notables facultades era su capacidad de memorizar con absoluta precisión. Por lo que pude ver, von Neumann era capaz de leer un libro o artículo y citarlo textualmente una sola vez; además, podía hacerlo años después sin vacilar. También podía traducirlo sin disminuir la velocidad de su idioma original al inglés. En una ocasión puse a prueba su capacidad pidiéndole que me contara cómo empezaba Historia de dos ciudades . Inmediatamente, sin pausa alguna, empezó a recitar el primer capítulo y continuó hasta que le pedí que parara después de unos diez o quince minutos. [380]
Se dice que Von Neumann era capaz de memorizar las páginas de las guías telefónicas. Entretenía a sus amigos pidiéndoles que dijeran al azar los números de las páginas; luego recitaba los nombres, direcciones y números que aparecían en ellas. [29] [381] Stanisław Ulam creía que la memoria de von Neumann era auditiva, más que visual. [382]
La fluidez matemática de Von Neumann, su velocidad de cálculo y su capacidad general para resolver problemas fueron ampliamente apreciadas por sus colegas. Paul Halmos calificó su velocidad de "impresionante". [383] Lothar Wolfgang Nordheim lo describió como "la mente más rápida que he conocido". [384] Enrico Fermi le dijo al físico Herbert L. Anderson : "Sabes, Herb, Johnny puede hacer cálculos en su cabeza diez veces más rápido que yo. ¡Y yo puedo hacerlos diez veces más rápido que tú, Herb, así que puedes ver lo impresionante que es Johnny!" [385] Edward Teller admitió que "nunca podría seguirle el ritmo", [386] e Israel Halperin describió que tratar de seguirle el ritmo era como andar en un "triciclo persiguiendo a un coche de carreras". [387]
Tenía una capacidad poco común para resolver problemas nuevos con rapidez. George Pólya , a cuyas clases en la ETH de Zúrich asistió von Neumann como estudiante, dijo: "Johnny era el único estudiante al que siempre le tenía miedo. Si en el transcurso de una clase planteaba un problema sin resolver, lo más probable era que viniera a verme al final de la clase con la solución completa garabateada en un trozo de papel". [388] Cuando George Dantzig le planteó a von Neumann un problema sin resolver de programación lineal "como se lo plantearía a un mortal común", sobre el que no había literatura publicada, se quedó asombrado cuando von Neumann dijo "¡Ah, eso!", antes de dar despreocupadamente una clase de más de una hora, explicando cómo resolver el problema utilizando la teoría de la dualidad , hasta entonces inconcebida . [389]
Una historia sobre el encuentro de von Neumann con el famoso acertijo de la mosca [390] ha entrado en el folclore matemático . En este acertijo, dos bicicletas comienzan a 20 millas de distancia, y cada una viaja hacia la otra a 10 millas por hora hasta que chocan; mientras tanto, una mosca viaja continuamente de ida y vuelta entre las bicicletas a 15 millas por hora hasta que es aplastada en la colisión. El interrogador pregunta qué distancia viajó la mosca en total; el "truco" para una respuesta rápida es darse cuenta de que los tránsitos individuales de la mosca no importan, solo que ha estado viajando a 15 millas por hora durante una hora. Como lo cuenta Eugene Wigner , [391] Max Born le planteó el acertijo a von Neumann. Los otros científicos a los que se lo había planteado habían calculado laboriosamente la distancia, así que cuando von Neumann estuvo inmediatamente listo con la respuesta correcta de 15 millas, Born observó que debía haber adivinado el truco. "¿Qué truco?", respondió von Neumann. "Todo lo que hice fue sumar la serie geométrica ". [392]
Rota escribió que von Neumann tenía "dudas profundas y recurrentes sobre sí mismo". [393] John L. Kelley recordó en 1989 que "Johnny von Neumann ha dicho que será olvidado mientras que Kurt Gödel es recordado con Pitágoras , pero el resto de nosotros vimos a Johnny con asombro". [394] Ulam sugiere que algunas de sus dudas sobre sí mismo con respecto a su propia creatividad pueden haber surgido del hecho de que no había descubierto varias ideas importantes que otros sí habían descubierto, a pesar de que era más que capaz de hacerlo, dando los teoremas de incompletitud y el teorema ergódico puntual de Birkhoff como ejemplos. Von Neumann tenía un virtuosismo en seguir razonamientos complicados y tenía intuiciones supremas, pero tal vez sentía que no tenía el don para pruebas y teoremas aparentemente irracionales o intuiciones intuitivas. Ulam describe cómo durante una de sus estancias en Princeton, mientras von Neumann trabajaba en anillos de operadores, geometrías continuas y lógica cuántica, sintió que von Neumann no estaba convencido de la importancia de su trabajo, y sólo cuando encontraba algún truco técnico ingenioso o un nuevo enfoque era cuando disfrutaba de ello. [395] Sin embargo, según Rota, von Neumann todavía tenía una "técnica incomparablemente más fuerte" en comparación con su amigo, a pesar de describir a Ulam como el matemático más creativo. [393]
El premio Nobel Hans Bethe dijo: «A veces me he preguntado si un cerebro como el de von Neumann no indica una especie superior a la del hombre». [29] Edward Teller observó que «von Neumann mantenía una conversación con mi hijo de 3 años, y los dos hablaban como iguales, y a veces me preguntaba si usaba el mismo principio cuando hablaba con el resto de nosotros». [396] Peter Lax escribió: «Von Neumann era adicto a pensar, y en particular a pensar sobre matemáticas». [366] Eugene Wigner dijo: «Entendía los problemas matemáticos no solo en su aspecto inicial, sino en toda su complejidad». [397] Claude Shannon lo llamó «la persona más inteligente que he conocido», una opinión común. [398] Jacob Bronowski escribió: «Fue el hombre más inteligente que he conocido, sin excepción. Era un genio». [399]
"Parece justo decir que si la influencia de un científico se interpreta de manera suficientemente amplia como para incluir el impacto en campos más allá de la ciencia propiamente dicha, entonces John von Neumann fue probablemente el matemático más influyente que jamás haya vivido", escribió Miklós Rédei . [400] Peter Lax comentó que von Neumann habría ganado un Premio Nobel de Economía si hubiera vivido más tiempo, y que "si hubiera habido Premios Nobel en informática y matemáticas, también habría sido honrado con estos". [401] Rota escribe que "fue el primero en tener una visión de las posibilidades ilimitadas de la informática, y tuvo la determinación de reunir los considerables recursos intelectuales y de ingeniería que llevaron a la construcción de la primera gran computadora" y, en consecuencia, que "Ningún otro matemático en este siglo ha tenido una influencia tan profunda y duradera en el curso de la civilización". [402] Es ampliamente considerado como uno de los matemáticos y científicos más grandes e influyentes del siglo XX. [403]
El neurofisiólogo Leon Harmon lo describió de manera similar, llamándolo el único "verdadero genio" que había conocido: "la mente de von Neumann lo abarcaba todo. Podía resolver problemas en cualquier dominio... Y su mente siempre estaba trabajando, siempre inquieta". [404] Mientras asesoraba para proyectos no académicos, la combinación de capacidad científica sobresaliente y practicidad de von Neumann le dio una alta credibilidad con oficiales militares, ingenieros e industriales que ningún otro científico podía igualar. En misiles nucleares fue considerado "la figura asesora claramente dominante" según Herbert York . [405] El economista Nicholas Kaldor dijo que era "sin lugar a dudas lo más cercano a un genio que he conocido". [268] Asimismo, Paul Samuelson escribió: "Nosotros, los economistas, estamos agradecidos por el genio de von Neumann. No nos corresponde calcular si era un Gauss , un Poincaré o un Hilbert . Era el incomparable Johnny von Neumann. Se lanzó brevemente a nuestro dominio y nunca ha sido el mismo desde entonces". [406]
Entre los eventos y premios que llevan su nombre en reconocimiento a von Neumann se incluyen el Premio anual de teoría John von Neumann del Instituto de Investigación de Operaciones y Ciencias de la Gestión , [407] la Medalla John von Neumann del IEEE , [408] y el Premio John von Neumann de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . [409] Tanto el cráter von Neumann en la Luna [410] como el asteroide 22824 von Neumann llevan su nombre en su honor. [411] [412]
Von Neumann recibió premios que incluyen la Medalla al Mérito en 1947, la Medalla de la Libertad en 1956, [413] y el Premio Enrico Fermi también en 1956. Fue elegido miembro de múltiples sociedades honorarias, incluyendo la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias y la Academia Nacional de Ciencias , y tuvo ocho doctorados honorarios. [414] [415] [416] El 4 de mayo de 2005, el Servicio Postal de los Estados Unidos emitió la serie de sellos postales conmemorativos Científicos Estadounidenses , diseñada por el artista Victor Stabin . Los científicos representados fueron von Neumann, Barbara McClintock , Josiah Willard Gibbs y Richard Feynman . [417]
La Universidad John von Neumann se estableció en Kecskemét , Hungría en 2016, como sucesora del Kecskemét College. [418]
El primer artículo publicado de von Neumann fue On the position of zeroes of certain minimum polynomials , en coautoría con Michael Fekete y publicado cuando von Neumann tenía 18 años. A los 19, se publicó su artículo en solitario On the introduction of transfinite numbers . [419] Amplió su segundo artículo en solitario, An axiomatization of set theory , para crear su tesis doctoral. [420] Su primer libro, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , se publicó en 1932. [421] Después de esto, von Neumann pasó de publicar en alemán a publicar en inglés, y sus publicaciones se volvieron más selectivas y se expandieron más allá de las matemáticas puras. Su Theory of Detonation Waves de 1942 contribuyó a la investigación militar, [422] su trabajo en computación comenzó con el inédito On the principles of large scale computing machines de 1946 , y sus publicaciones sobre predicción meteorológica comenzaron con Numerical integration of the barotropic vorticity equation de 1950 . [423] Junto a sus últimos trabajos se encuentran ensayos informales dirigidos a colegas y al público en general, como su obra de 1947 The Mathematician , [424] descrito como un "adiós a las matemáticas puras", y su obra de 1955 Can we survival technology?, que consideraba un futuro sombrío que incluía la guerra nuclear y el cambio climático deliberado. [425] Sus obras completas han sido compiladas en un conjunto de seis volúmenes. [419]
Cuando von Neumann se dio cuenta de que estaba incurablemente enfermo, su lógica lo obligó a darse cuenta de que dejaría de existir... [un] destino que le parecía inevitable pero inaceptable.
von Neumann, John (1932). "Aplicaciones físicas de la hipótesis ergódica". Proc Natl Acad Sci USA . 18 (3): 263–266. Bibcode :1932PNAS...18..263N. doi : 10.1073/pnas.18.3.263 . JSTOR 86260. PMC 1076204 . PMID 16587674..
von Neumann, John (1981) [1937]. Halperin, Israel (ed.). "Geometrías continuas con probabilidad de transición". Memorias de la American Mathematical Society . 34 (252). doi :10.1090/memo/0252. ISBN 978-0-8218-2252-4. ISSN 0065-9266. MR 0634656.
"Estoy pensando en algo mucho más importante que las bombas. Estoy pensando en los ordenadores"
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