En matemáticas , específicamente en análisis funcional , el teorema bicommutante de von Neumann relaciona la clausura de un conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert en ciertas topologías con el bicommutante de ese conjunto. En esencia, es una conexión entre los aspectos algebraicos y topológicos de la teoría de operadores .
El enunciado formal del teorema es el siguiente:
Esta álgebra se llama álgebra de von Neumann generada por M.
Existen otras topologías en el espacio de operadores acotados, y uno puede preguntarse cuáles son las *-álgebras cerradas en estas topologías. Si M está cerrado en la topología de la norma , entonces es una C*-álgebra , pero no necesariamente un álgebra de von Neumann. Un ejemplo de ello es la C*-álgebra de operadores compactos (en un espacio de Hilbert de dimensión infinita). Para la mayoría de las demás topologías comunes, las *-álgebras cerradas que contienen 1 son álgebras de von Neumann; esto se aplica en particular al operador débil, operador fuerte, operador *-fuerte, topologías ultradébil , ultrafuerte y *-ultrafuerte.
Está relacionado con el teorema de densidad de Jacobson .
Sea H un espacio de Hilbert y L ( H ) los operadores acotados en H . Considérese una subálgebra unitaria autoadjunta M de L ( H ) (esto significa que M contiene los adjuntos de sus miembros y el operador identidad en H ).
El teorema es equivalente a la combinación de las tres afirmaciones siguientes:
donde los subíndices W y S representan cierres en las topologías de operadores débiles y fuertes , respectivamente.
Para cualquier x e y en H , la función T → < Tx , y > es continua en la topología de operador débil, por su definición. Por lo tanto, para cualquier operador fijo O , también lo es la función
Sea S cualquier subconjunto de L ( H ) , y S ′ su conmutante . Para cualquier operador T en S ′ , esta función es cero para todo O en S . Para cualquier T no en S ′ , debe ser distinta de cero para algún O en S y algún x e y en H . Por su continuidad hay un entorno abierto de T para la topología del operador débil en el que es distinto de cero, y que por lo tanto tampoco está en S ′ . Por lo tanto, cualquier conmutante S ′ es cerrado en la topología del operador débil. En particular, también lo es M ′′ ; puesto que contiene a M , también contiene su clausura del operador débil.
Esto se desprende directamente de que la topología del operador débil es más burda que la topología del operador fuerte: para cada punto x en cl S ( M ) , cada vecindad abierta de x en la topología del operador débil también es abierta en la topología del operador fuerte y, por lo tanto, contiene un miembro de M ; por lo tanto, x también es un miembro de cl W ( M ) .
Fijemos X ∈ M ′′ . Debemos demostrar que X ∈ cl S ( M ) , es decir, para cada h ∈ H y cualquier ε > 0 , existe T en M con || Xh − Th || < ε .
Fijemos h en H. El subespacio cíclico M h = { Mh : M ∈ M } es invariante bajo la acción de cualquier T en M. Su clausura cl( M h ) en la norma de H es un subespacio lineal cerrado, con la correspondiente proyección ortogonal P : H → cl( M h ) en L ( H ). De hecho, este P está en M ′ , como mostramos ahora.
Por definición del bicommutante , debemos tener XP = PX . Como M es unital, h ∈ M h , y por lo tanto h = Ph . Por lo tanto, Xh = XPh = PXh ∈ cl( M h ) . Por lo tanto, para cada ε > 0 , existe T en M con || Xh − Th || < ε , es decir, X está en la clausura del operador fuerte de M.
Se dice que el álgebra AC* M que actúa sobre H actúa de manera no degenerada si para h en H , M h = {0} implica h = 0 . En este caso, se puede demostrar utilizando una identidad aproximada en M que el operador identidad I se encuentra en la clausura fuerte de M . Por lo tanto, la conclusión del teorema bicommutante es válida para M .
