En álgebra , el bicommutante de un subconjunto S de un semigrupo (como un álgebra o un grupo ) es el conmutante del conmutante de ese subconjunto. También se lo conoce como doble conmutante o segundo conmutante y se escribe .
El bicommutante es particularmente útil en la teoría de operadores , debido al teorema del doble conmutante de von Neumann , que relaciona las estructuras algebraicas y analíticas de las álgebras de operadores . Específicamente, muestra que si M es un álgebra de operadores unital autoadjunta en la C*-álgebra B(H) , para algún espacio de Hilbert H , entonces el cierre débil , el cierre fuerte y el bicommutante de M son iguales. Esto nos dice que una C*-subálgebra unital M de B(H) es un álgebra de von Neumann si, y solo si, , y que si no, el álgebra de von Neumann que genera es .
El bicommutante de S siempre contiene a S . Por lo tanto . Por otra parte, . Por lo tanto , es decir, el conmutante del bicommutante de S es igual al conmutante de S . Por inducción, tenemos:
y
para n > 1.
Está claro que, si S 1 y S 2 son subconjuntos de un semigrupo,
Si se supone que y (este es el caso, por ejemplo, para las álgebras de von Neumann ), entonces la igualdad anterior da
Véase también
Referencias
- J. Dixmier, Álgebras de Von Neumann , Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1981.