Su padre, Jules Blier, era biólogo del Instituto Pasteur y a causa de sus obligaciones laborales, Bernard nació en Buenos Aires, Argentina.
De nuevo en Francia, la familia Blier se instaló en París, donde Bernard cursó sin entusiasmo estudios en el Liceo Condorcet.
Debutó en la escena en 1934 en La Ciotat, y después se inscribió en el Conservatoire national supérieur d'art dramatique, en París, donde acudía a la clase de Louis Jouvet.
En el Conservatorio conoció a dos grandes personalidades con las que trabó una duradera amistad: François Périer y Gérard Oury.
En julio de 1939 finalizó su formación en el Conservatorio, aunque no se le concedió premio alguno.
Su colaboración con Georges Lautner, Henri Verneuil y Michel Audiard, que le escribió textos a su medida, hicieron de él un actor clave del cine francés.
También rodó filmes sin pretensiones, en los cuales destacó con sus personajes de gánsteres torpes acompañando a Jean Lefebvre (Les Tontons flingueurs, Le cave se rebiffe, Quand passent les faisans, Du mou dans la gâchette, C'est pas parce qu'on a rien à dire qu'il faut fermer sa gueule…).