Espacio coordenado real

[1]​ Con la suma de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial.Los espacios de coordenadas se utilizan mucho en geometría y física, ya que sus elementos permiten ubicar puntos en espacios euclídeos y calcular con ellos.Por lo tanto, un elemento de Rn es una n-tupla , y se escribe donde cada xi es un número real.[3]​ El uso del espacio n real, en lugar de varias variables consideradas por separado, puede simplificar la notación y sugerir definiciones razonables.Las operaciones en Rn como un espacio vectorial se definen típicamente por El vector cero[4]​ viene dado por y el opuesto del vector x viene dado por Esta estructura es importante,[5]​ porque cualquier espacio vectorial real de dimensión n es isomorfo al espacio vectorial Rn.En la notación estándar matricial, cada elemento de Rn se escribe típicamente como un vector columna y a veces como un vector fila:[6]​ El espacio de coordenadas Rn puede interpretarse entonces como el espacio de todos los n × 1 vectores columna, o todos los 1 × n vectores fila con las operaciones matriciales ordinarias de suma y multiplicación escalar.Tiene importantes consecuencias para la teoría de formas diferenciales, cuyas aplicaciones incluyen el electromagnetismo.La distinción dice que no hay opción canónica acerca de dónde debe localizarse el origen de coordenadas en un n-espacio afín, porque se puede trasladar a cualquier lugar sin alterar sus propiedades.En un espacio vectorial real, como Rn, se puede definir un cono convexo, que contiene todas las combinaciones lineales "no negativas" de sus vectores.Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".En cuanto a la estructura del espacio vectorial, generalmente se supone que el producto escalar y la distancia euclidea existen en Rn sin explicaciones especiales.La equivalencia mencionada anteriormente de funciones métricas sigue siendo válida si √q(x − y) se reemplaza por M(x − y), donde M es cualquier función homogénea convexa positiva de grado 1, es decir, una norma vectorial (consúltese la distancia de Minkowski para ver ejemplos útiles).Aunque la definición de una variedad no requiere que su espacio modelo sea Rn, esta opción es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial.Rn es también un subespacio vectorial real de Cn que es invariante a la conjugación;[15]​ véase también complejificación.Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en espacios Rn, para cualquier n, y se pueden usar para visualizar cualquier sistema de coordenadas afines en un espacio n real.Como un subconjunto dimensional n, se puede describir con un sistema de 2n desigualdades: Cada vértice del politopo de cruce[16]​ tiene, para algunos k, la coordenada xk igual a ±1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (tal que es el k-ésimo vector de la base estándar incluido su signo).Como un subconjunto de n dimensiones, se puede describir con una única desigualdad que utiliza la operación valor absoluto: pero esto también se puede expresar con un sistema de 2n desigualdades lineales.El tercer politopo con coordenadas simplemente enumerables es el símplex,[17]​ cuyos vértices son los vectores base estándar n y el origen (0, 0, …, 0).Es también idéntica a la topología natural inducida por la métrica Euclídea ya descrita: un conjunto es abierto en la topología euclídea si y solo si contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos.Como hay muchas aplicaciones lineales abiertas desde Rn sobre sí mismo que no son isometrías, puede haber muchas estructuras euclídeas en Rn que corresponden a la misma topología.Una consecuencia inmediata de esto es que Rm no es homeomórfico a Rn si m ≠ n - un resultado intuitivamente "obvio" que, no obstante, es difícil de demostrar.Los casos de 0 ≤ n ≤ 1 no ofrecen nada nuevo: R1 es la recta real, mientras que R0 (el espacio que contiene el vector columna vacío) es un conjunto unitario, entendido como el espacio vector cero.El primer uso importante de R4 es un modelo espacio-tiempo: tres coordenadas espaciales más una temporal.La relatividad especial se establece en el espacio-tiempo de Minkowski, y usa espacios curvos, que se pueden considerar como R4 con una métrica curvada para la mayoría de los propósitos prácticos.El espacio euclídeo R4 también atrae la atención de los matemáticos, por ejemplo, debido a su relación con los cuaterniones, un álgebra real sobre 4 dimensiones.Algunos ejemplos comunes son Un resultado realmente sorprendente y útil es que cada norma definida en Rn es equivalente.