Curva de llenado del espacio
En análisis matemático, una curva de llenado del espacio es una clase de curva cuyo rango contiene el cuadrado unidad bidimensional completo (o de forma más general, un hipercubo unidad n dimensional).
Debido a que Giuseppe Peano (1858-1932) fue el primero en descubrir un ejemplo, las curvas que rellenan el espacio en el plano bidimensional a veces se denominan "curvas de Peano", aunque de forma estricta este término designa exclusivamente al ejemplo encontrado por el matemático italiano.
Para eliminar la vaguedad inherente de esta noción, el matemático francés Camille Jordan en 1887 introdujo la siguiente definición rigurosa, que desde entonces ha sido adoptada como la descripción precisa de la noción de una "curva": En la forma más general, el rango de dicha función puede estar en un espacio topológico arbitrario, pero en los casos más comúnmente estudiados, el rango estará en un espacio euclídeo como el plano bidimensional (una curva plana) o el espacio tridimensional una (curva espacial).
También es posible definir curvas sin puntos finales para que sean una función continua sobre la recta real (o en el intervalo unidad abierto (0, 1)).
La solución de Peano no establece una función biyectiva continua entre el intervalo unidad y el cuadrado unidad y, de hecho, tal correspondencia no existe (consúltese "Propiedades" a continuación).
Era común asociar las nociones vagas de "delgadez" y unidimensionalidad a las curvas; todas las curvas encontradas normalmente eran funciones definidas a trozos diferenciables (es decir, con derivadas continuas por partes), y tales curvas no pueden llenar todo el cuadrado unitario.
A partir del ejemplo de Peano, fue fácil deducir curvas continuas cuyos rangos contenían un hipercubo unidad de dimensión n (para cualquier entero positivo n).
También fue fácil extender el ejemplo de Peano a curvas continuas sin puntos finales, que llenaran todo el espacio euclídeo n dimensional (donde n es 2, 3 o cualquier otro entero positivo).
Pero la construcción gráfica le quedó perfectamente clara: hizo un mosaico ornamental que mostraba una imagen de la curva en su casa de Turín.
El artículo de Peano también termina observando que la técnica puede extenderse obviamente a otras bases impares además de la base 3.
Su elección de evitar cualquier visualización gráfica fue motivada por el deseo de una prueba completamente rigurosa que no debiera nada a las imágenes.
El artículo de Hilbert fue el primero en incluir una imagen que ayuda a visualizar la técnica de construcción, esencialmente la misma que se ilustra aquí.
A partir de ella, se obtiene una función continua
estableciendo Dado que el conjunto de Cantor es homeomorfo al producto
es una función continua que aplica el conjunto de Cantor sobre todo el cuadrado unidad.
Alternativamente, se podría usar el teorema de que cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor para obtener la función
como el segmento de línea dentro del cuadrado unitario que une los valores
Las dos subcurvas se cruzan si la intersección de las dos imágenes es no-vacía.
Sin embargo, dos curvas (o dos subcurvas de una curva) pueden estar en contacto entre sí sin cruzarse, como por ejemplo lo hace una línea tangente a un círculo.
Una curva continua que no se interseca automáticamente no puede llenar el cuadrado unitario porque eso hará que la curva sea un homeomorfismo desde el intervalo unitario hasta el cuadrado unitario (cualquier función biyectiva continua desde un espacio compacto hasta un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo).
Una curva de llenado del espacio puede ser (en todas partes) autocruzada si sus curvas de aproximación se autocruzan.
Las aproximaciones de una curva que llena el espacio pueden evitarse automáticamente, como lo ilustran las figuras anteriores.
En 3 dimensiones, las curvas de aproximación que se evitan automáticamente pueden contener incluso nudos.
No puede existir una curva de llenado del espacio diferenciable.
En términos generales, la diferenciación limita la velocidad a la que puede girar la curva.
Recíprocamente, un espacio métrico compacto cumple el segundo axioma de numerabilidad.
