Matemáticas

Área de conocimiento

Las matemáticas son un campo de estudio que descubre y organiza métodos, teorías y teoremas que se desarrollan y prueban para las necesidades de las ciencias empíricas y de las matemáticas en sí. Existen muchas áreas de las matemáticas, que incluyen la teoría de números (el estudio de los números), el álgebra (el estudio de fórmulas y estructuras relacionadas), la geometría (el estudio de las formas y los espacios que las contienen), el análisis (el estudio de los cambios continuos) y la teoría de conjuntos (que actualmente se utiliza como base de todas las matemáticas).

Las matemáticas implican la descripción y manipulación de objetos abstractos que consisten en abstracciones de la naturaleza o, en las matemáticas modernas, entidades puramente abstractas que se estipula que tienen ciertas propiedades, llamadas axiomas . Las matemáticas utilizan la razón pura para demostrar propiedades de objetos, una prueba que consiste en una sucesión de aplicaciones de reglas deductivas a resultados ya establecidos. Estos resultados incluyen teoremas y axiomas previamente demostrados y, en caso de abstracción de la naturaleza, algunas propiedades básicas que se consideran verdaderos puntos de partida de la teoría en consideración. ^[1]

Las matemáticas son esenciales en las ciencias naturales , la ingeniería , la medicina , las finanzas , la informática y las ciencias sociales . Aunque las matemáticas se utilizan ampliamente para modelar fenómenos, las verdades fundamentales de las matemáticas son independientes de cualquier experimentación científica. Algunas áreas de las matemáticas, como la estadística y la teoría de juegos , se desarrollan en estrecha correlación con sus aplicaciones y a menudo se agrupan bajo las matemáticas aplicadas . Otras áreas se desarrollan independientemente de cualquier aplicación (y, por lo tanto, se denominan matemáticas puras ), pero a menudo encuentran aplicaciones prácticas más adelante. ^{[2] [3]}

Históricamente, el concepto de prueba y su rigor matemático asociado aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas , más notablemente en los Elementos de Euclides . ^[4] Desde sus inicios, las matemáticas se dividieron principalmente en geometría y aritmética (la manipulación de números naturales y fracciones ), hasta los siglos XVI y XVII, cuando se introdujeron el álgebra ^[a] y el cálculo infinitesimal como nuevos campos. Desde entonces, la interacción entre las innovaciones matemáticas y los descubrimientos científicos ha llevado a un aumento correlacionado en el desarrollo de ambos. ^[5] A fines del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas llevó a la sistematización del método axiomático , ^{[6] que anunció un aumento dramático en el número de áreas matemáticas y sus campos de aplicación. La} Clasificación de Matemáticas Asignaturas contemporánea enumera más de sesenta áreas de primer nivel de las matemáticas.

Áreas de las matemáticas

Antes del Renacimiento , las matemáticas se dividían en dos áreas principales: la aritmética , relativa a la manipulación de números, y la geometría , relativa al estudio de las formas. ^[7] Algunos tipos de pseudociencias , como la numerología y la astrología , no se distinguían entonces claramente de las matemáticas. ^[8]

Durante el Renacimiento, aparecieron dos áreas más. La notación matemática condujo al álgebra que, en términos generales, consiste en el estudio y la manipulación de fórmulas . El cálculo , que consta de los dos subcampos cálculo diferencial y cálculo integral , es el estudio de funciones continuas , que modelan las relaciones típicamente no lineales entre cantidades variables, representadas por variables . Esta división en cuatro áreas principales (aritmética, geometría, álgebra y cálculo) ^[9] perduró hasta finales del siglo XIX. Los matemáticos estudiaron áreas como la mecánica celeste y la mecánica de sólidos , pero ahora se consideran pertenecientes a la física. ^[10] El tema de la combinatoria se ha estudiado durante gran parte de la historia registrada, pero no se convirtió en una rama separada de las matemáticas hasta el siglo XVII. ^[11]

A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas y la consiguiente sistematización del método axiomático dieron lugar a una explosión de nuevas áreas de las matemáticas. ^{[12] [6]} La Clasificación de Matemáticas por Temas de 2020 contiene no menos de sesenta y tres áreas de primer nivel. ^[13] Algunas de estas áreas corresponden a la división más antigua, como es el caso de la teoría de números (el nombre moderno de la aritmética superior ) y la geometría. Varias otras áreas de primer nivel tienen "geometría" en sus nombres o se consideran comúnmente parte de la geometría. El álgebra y el cálculo no aparecen como áreas de primer nivel, sino que se dividen respectivamente en varias áreas de primer nivel. Otras áreas de primer nivel surgieron durante el siglo XX o no se habían considerado previamente como matemáticas, como la lógica matemática y los fundamentos . ^[14]

Teoría de números

Esta es la espiral de Ulam , que ilustra la distribución de los números primos . Las líneas diagonales oscuras de la espiral insinúan la hipótesis de independencia aproximada entre ser primo y ser un valor de un polinomio cuadrático, una conjetura que ahora se conoce como la conjetura F de Hardy y Littlewood .

La teoría de números comenzó con la manipulación de números , es decir, números naturales y luego se expandió a números enteros y racionales. La teoría de números alguna vez se llamó aritmética, pero hoy en día este término se usa principalmente para cálculos numéricos . ^[15] La teoría de números se remonta a la antigua Babilonia y probablemente a China . Dos destacados teóricos de números tempranos fueron Euclides de la antigua Grecia y Diofanto de Alejandría. ^[16] El estudio moderno de la teoría de números en su forma abstracta se atribuye en gran parte a Pierre de Fermat y Leonhard Euler . El campo llegó a su plena concreción con las contribuciones de Adrien-Marie Legendre y Carl Friedrich Gauss . ^[17] ${\displaystyle (\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ).}$

Muchos problemas numéricos de fácil formulación tienen soluciones que requieren métodos sofisticados, a menudo de toda la matemática. Un ejemplo destacado es el Último Teorema de Fermat . Esta conjetura fue enunciada en 1637 por Pierre de Fermat, pero fue demostrada recién en 1994 por Andrew Wiles , quien utilizó herramientas que incluían la teoría de esquemas de la geometría algebraica , la teoría de categorías y el álgebra homológica . ^[18] Otro ejemplo es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos . Enunciada en 1742 por Christian Goldbach , sigue sin demostrarse a pesar de un esfuerzo considerable. ^[19]

La teoría de números incluye varias subáreas, entre ellas la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la geometría de números (orientada a métodos), las ecuaciones diofánticas y la teoría de la trascendencia (orientada a problemas). ^[14]

Geometría

En la superficie de una esfera, la geometría euclidiana sólo se aplica como aproximación local. Para escalas mayores, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°.

La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Comenzó con fórmulas empíricas relacionadas con formas, como líneas , ángulos y círculos , que se desarrollaron principalmente para las necesidades de la topografía y la arquitectura , pero desde entonces ha florecido en muchos otros subcampos. ^[20]

Una innovación fundamental fue la introducción por parte de los antiguos griegos del concepto de pruebas , que exigen que toda afirmación debe ser probada . Por ejemplo, no es suficiente verificar mediante medición que, digamos, dos longitudes son iguales; su igualdad debe probarse mediante razonamiento a partir de resultados previamente aceptados ( teoremas ) y unas pocas afirmaciones básicas. Las afirmaciones básicas no están sujetas a prueba porque son evidentes por sí mismas ( postulados ), o son parte de la definición del tema de estudio ( axiomas ). Este principio, fundamental para todas las matemáticas, fue elaborado por primera vez para la geometría, y fue sistematizado por Euclides alrededor del año 300 a. C. en su libro Elementos . ^{[21] [22]}

La geometría euclidiana resultante es el estudio de las formas y sus disposiciones construidas a partir de líneas, planos y círculos en el plano euclidiano ( geometría plana ) y el espacio euclidiano tridimensional . ^{[b] [20]}

La geometría euclidiana se desarrolló sin cambios de métodos ni de alcance hasta el siglo XVII, cuando René Descartes introdujo lo que hoy se llama coordenadas cartesianas . Esto constituyó un importante cambio de paradigma : en lugar de definir los números reales como longitudes de segmentos de línea (véase línea numérica ), permitió la representación de puntos utilizando sus coordenadas , que son números. El álgebra (y más tarde, el cálculo) puede así utilizarse para resolver problemas geométricos. La geometría se dividió en dos nuevos subcampos: la geometría sintética , que utiliza métodos puramente geométricos, y la geometría analítica , que utiliza coordenadas de forma sistémica. ^[23]

La geometría analítica permite el estudio de curvas no relacionadas con círculos y líneas. Dichas curvas pueden definirse como el gráfico de funciones , cuyo estudio dio lugar a la geometría diferencial . También pueden definirse como ecuaciones implícitas , a menudo ecuaciones polinómicas (que dieron origen a la geometría algebraica ). La geometría analítica también permite considerar espacios euclidianos de más de tres dimensiones. ^[20]

En el siglo XIX, los matemáticos descubrieron geometrías no euclidianas , que no siguen el postulado de las paralelas . Al cuestionar la verdad de ese postulado, este descubrimiento ha sido visto como una unión a la paradoja de Russell al revelar la crisis fundacional de las matemáticas . Este aspecto de la crisis se resolvió mediante la sistematización del método axiomático y la adopción de que la verdad de los axiomas elegidos no es un problema matemático. ^{[24] [6]} A su vez, el método axiomático permite el estudio de varias geometrías obtenidas ya sea cambiando los axiomas o considerando propiedades que no cambian bajo transformaciones específicas del espacio . ^[25]

Las subáreas actuales de la geometría incluyen: ^[14]

• La geometría proyectiva , introducida en el siglo XVI por Girard Desargues , amplía la geometría euclidiana añadiendo puntos en el infinito en los que se intersecan las líneas paralelas . Esto simplifica muchos aspectos de la geometría clásica al unificar los tratamientos para las líneas que se intersecan y las paralelas.
• Geometría afín , estudio de las propiedades relativas al paralelismo e independientes del concepto de longitud.
• Geometría diferencial , el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante funciones diferenciables .
• Teoría de variedades , el estudio de formas que no están necesariamente insertas en un espacio mayor.
• Geometría de Riemann , el estudio de las propiedades de la distancia en espacios curvos.
• Geometría algebraica , el estudio de curvas, superficies y sus generalizaciones, que se definen mediante polinomios .
• Topología , el estudio de las propiedades que se mantienen bajo deformaciones continuas .
  • Topología algebraica , uso en topología de métodos algebraicos, principalmente álgebra homológica .
• Geometría discreta , el estudio de configuraciones finitas en geometría.
• Geometría convexa , el estudio de conjuntos convexos , que toma su importancia de sus aplicaciones en optimización .
• Geometría compleja , la geometría obtenida al reemplazar números reales por números complejos .

Álgebra

La fórmula cuadrática , que expresa de forma concisa las soluciones de todas las ecuaciones cuadráticas.

El grupo del Cubo de Rubik es una aplicación concreta de la teoría de grupos . ^[26]

El álgebra es el arte de manipular ecuaciones y fórmulas. Diofanto (siglo III) y al-Juarizmi (siglo IX) fueron los dos principales precursores del álgebra. ^{[27] [28]} Diofanto resolvió algunas ecuaciones que involucraban números naturales desconocidos deduciendo nuevas relaciones hasta que obtuvo la solución. ^[29] Al-Juarizmi introdujo métodos sistemáticos para transformar ecuaciones, como mover un término de un lado de una ecuación al otro lado. ^[30] El término álgebra se deriva de la palabra árabe al-jabr que significa 'la reunión de partes rotas' que utilizó para nombrar uno de estos métodos en el título de su tratado principal . ^{[31] [32]}

El álgebra se convirtió en un área por derecho propio recién con François Viète (1540-1603), quien introdujo el uso de variables para representar números desconocidos o no especificados. ^[33] Las variables permiten a los matemáticos describir las operaciones que deben realizarse con los números representados mediante fórmulas matemáticas . ^[34]

Hasta el siglo XIX, el álgebra consistía principalmente en el estudio de ecuaciones lineales (actualmente álgebra lineal ), y ecuaciones polinómicas en una sola incógnita , que se denominaban ecuaciones algebraicas (término aún en uso, aunque puede resultar ambiguo). Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a utilizar variables para representar cosas distintas de números (como matrices , números enteros modulares y transformaciones geométricas ), sobre las que suelen ser válidas generalizaciones de operaciones aritméticas. ^[35] A esto se dirige el concepto de estructura algebraica , consistente en un conjunto cuyos elementos no están especificados, de operaciones que actúan sobre los elementos del conjunto y de reglas que deben seguir estas operaciones. El ámbito del álgebra creció así hasta incluir el estudio de las estructuras algebraicas. Este objeto del álgebra se denominó álgebra moderna o álgebra abstracta , tal y como lo estableció la influencia y los trabajos de Emmy Noether . ^[36]

Algunos tipos de estructuras algebraicas tienen propiedades útiles y a menudo fundamentales en muchas áreas de las matemáticas. Su estudio se convirtió en partes autónomas del álgebra e incluyen: ^[14]

• teoría de grupos
• teoría de campo
• espacios vectoriales , cuyo estudio es esencialmente el mismo que el álgebra lineal
• teoría del anillo
• El álgebra conmutativa , que es el estudio de los anillos conmutativos , incluye el estudio de los polinomios y es una parte fundamental de la geometría algebraica.
• álgebra homológica
• Álgebra de Lie y teoría de grupos de Lie
• Álgebra de Boole , que se utiliza ampliamente para el estudio de la estructura lógica de las computadoras.

El estudio de los tipos de estructuras algebraicas como objetos matemáticos es el propósito del álgebra universal y la teoría de categorías . ^[37] Esta última se aplica a toda estructura matemática (no solo a las algebraicas). En sus orígenes, se introdujo, junto con el álgebra homológica, para permitir el estudio algebraico de objetos no algebraicos como los espacios topológicos ; esta área particular de aplicación se denomina topología algebraica . ^[38]

Cálculo y análisis

Una secuencia de Cauchy consta de elementos tales que todos los términos subsiguientes de un término se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí a medida que la secuencia progresa (de izquierda a derecha).

El cálculo, antiguamente llamado cálculo infinitesimal, fue introducido independientemente y simultáneamente por los matemáticos del siglo XVII Newton y Leibniz . ^[39] Es fundamentalmente el estudio de la relación entre variables que dependen unas de otras. El cálculo fue ampliado en el siglo XVIII por Euler con la introducción del concepto de función y muchos otros resultados. ^[40] En la actualidad, "cálculo" se refiere principalmente a la parte elemental de esta teoría, y "análisis" se utiliza comúnmente para las partes avanzadas. ^[41]

El análisis se subdivide en análisis real , donde las variables representan números reales , y análisis complejo , donde las variables representan números complejos . El análisis incluye muchas subáreas compartidas por otras áreas de las matemáticas, entre las que se incluyen: ^[14]

• Cálculo multivariable
• Análisis funcional , donde las variables representan funciones variables.
• Integración , teoría de la medida y teoría del potencial , todas ellas fuertemente relacionadas con la teoría de la probabilidad en un continuo.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Ecuaciones diferenciales parciales
• Análisis numérico , dedicado principalmente al cálculo en computadoras de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que surgen en muchas aplicaciones.

Matemáticas discretas

Diagrama que representa una cadena de Markov de dos estados . Los estados están representados por "A" y "E". Los números son la probabilidad de invertir el estado.

En términos generales, las matemáticas discretas son el estudio de objetos matemáticos individuales y contables . Un ejemplo es el conjunto de todos los números enteros. ^[42] Debido a que los objetos de estudio aquí son discretos, los métodos de cálculo y análisis matemático no se aplican directamente. ^[c] Los algoritmos —especialmente su implementación y complejidad computacional— desempeñan un papel importante en las matemáticas discretas. ^[43]

El teorema de los cuatro colores y el empaquetamiento óptimo de esferas fueron dos problemas importantes de las matemáticas discretas resueltos en la segunda mitad del siglo XX. ^[44] El problema P versus NP , que permanece abierto hasta el día de hoy, también es importante para las matemáticas discretas, ya que su solución potencialmente impactaría en una gran cantidad de problemas computacionalmente difíciles . ^[45]

Las matemáticas discretas incluyen: ^[14]

• Combinatoria , el arte de enumerar objetos matemáticos que satisfacen ciertas restricciones dadas. Originalmente, estos objetos eran elementos o subconjuntos de un conjunto dado ; esto se ha extendido a varios objetos, lo que establece un fuerte vínculo entre la combinatoria y otras partes de las matemáticas discretas. Por ejemplo, la geometría discreta incluye el conteo de configuraciones de formas geométricas .
• Teoría de grafos e hipergrafos
• Teoría de la codificación , incluidos los códigos de corrección de errores y una parte de la criptografía
• Teoría de matroides
• Geometría discreta
• Distribuciones de probabilidad discretas
• Teoría de juegos (aunque también se estudian los juegos continuos , la mayoría de los juegos comunes, como el ajedrez y el póquer, son discretos)
• Optimización discreta , incluida la optimización combinatoria , la programación entera y la programación con restricciones.

Lógica matemática y teoría de conjuntos

El diagrama de Venn es un método comúnmente utilizado para ilustrar las relaciones entre conjuntos.

Las dos materias, la lógica matemática y la teoría de conjuntos, han pertenecido a las matemáticas desde finales del siglo XIX. ^{[46] [47]} Antes de este período, los conjuntos no se consideraban objetos matemáticos, y la lógica , aunque se utilizaba para pruebas matemáticas, pertenecía a la filosofía y no era estudiada específicamente por los matemáticos. ^[48]

Antes del estudio de los conjuntos infinitos de Cantor , los matemáticos eran reacios a considerar conjuntos realmente infinitos , y consideraban que el infinito era el resultado de una enumeración sin fin . El trabajo de Cantor ofendió a muchos matemáticos no solo al considerar conjuntos realmente infinitos ^[49] sino al mostrar que esto implica diferentes tamaños de infinito, según el argumento diagonal de Cantor . Esto condujo a la controversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor . ^[50] En el mismo período, varias áreas de las matemáticas concluyeron que las antiguas definiciones intuitivas de los objetos matemáticos básicos eran insuficientes para garantizar el rigor matemático . ^[51]

Esta se convirtió en la crisis fundacional de las matemáticas. ^[52] Finalmente se resolvió en las matemáticas convencionales mediante la sistematización del método axiomático dentro de una teoría de conjuntos formalizada . En términos generales, cada objeto matemático se define por el conjunto de todos los objetos similares y las propiedades que estos objetos deben tener. ^[12] Por ejemplo, en la aritmética de Peano , los números naturales se definen por "cero es un número", "cada número tiene un sucesor único", "cada número excepto cero tiene un predecesor único" y algunas reglas de razonamiento. ^[53] Esta abstracción matemática de la realidad está incorporada en la filosofía moderna del formalismo , fundada por David Hilbert alrededor de 1910. ^[54]

La "naturaleza" de los objetos definidos de esta manera es un problema filosófico que los matemáticos dejan a los filósofos, incluso si muchos matemáticos tienen opiniones sobre esta naturaleza y usan su opinión, a veces llamada "intuición", para guiar su estudio y sus demostraciones. El enfoque permite considerar "lógicas" (es decir, conjuntos de reglas de deducción permitidas), teoremas, demostraciones, etc. como objetos matemáticos y demostrar teoremas sobre ellos. Por ejemplo, los teoremas de incompletitud de Gödel afirman, en términos generales, que, en cada sistema formal consistente que contiene los números naturales, hay teoremas que son verdaderos (es decir, demostrables en un sistema más fuerte), pero no demostrables dentro del sistema. ^[55] Este enfoque de los fundamentos de las matemáticas fue cuestionado durante la primera mitad del siglo XX por matemáticos liderados por Brouwer , quien promovió la lógica intuicionista , que carece explícitamente de la ley del medio excluido . ^{[56] [57]}

Estos problemas y debates llevaron a una amplia expansión de la lógica matemática, con subáreas como la teoría de modelos (modelado de algunas teorías lógicas dentro de otras teorías), la teoría de la prueba , la teoría de tipos , la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad computacional . ^[14] Aunque estos aspectos de la lógica matemática se introdujeron antes del surgimiento de las computadoras , su uso en el diseño de compiladores , la verificación formal , el análisis de programas , los asistentes de prueba y otros aspectos de la informática , contribuyeron a su vez a la expansión de estas teorías lógicas. ^[58]

Estadística y otras ciencias de la decisión

Cualquiera que sea la forma de una distribución aleatoria de población (μ), la media de muestreo (x̄) tiende a una distribución gaussiana y su varianza (σ) está dada por el teorema del límite central de la teoría de la probabilidad. ^[59]

El campo de la estadística es una aplicación matemática que se emplea para la recolección y procesamiento de muestras de datos, utilizando procedimientos basados ​​en métodos matemáticos, especialmente la teoría de la probabilidad . Los estadísticos generan datos con muestreos aleatorios o experimentos aleatorios . ^[60]

La teoría estadística estudia problemas de decisión como la minimización del riesgo ( pérdida esperada ) de una acción estadística, como usar un procedimiento en, por ejemplo, la estimación de parámetros , la prueba de hipótesis y la selección de la mejor . En estas áreas tradicionales de la estadística matemática , un problema de decisión estadística se formula minimizando una función objetivo , como la pérdida esperada o el costo , bajo restricciones específicas. Por ejemplo, diseñar una encuesta a menudo implica minimizar el costo de estimar una media poblacional con un nivel de confianza dado. ^[61] Debido a su uso de la optimización , la teoría matemática de la estadística se superpone con otras ciencias de la decisión , como la investigación de operaciones , la teoría del control y la economía matemática . ^[62]

Matemáticas computacionales

Las matemáticas computacionales son el estudio de problemas matemáticos que son típicamente demasiado grandes para la capacidad numérica humana. ^{[63] [64]} El análisis numérico estudia métodos para problemas en análisis usando análisis funcional y teoría de aproximación ; el análisis numérico incluye ampliamente el estudio de aproximación y discretización con especial foco en errores de redondeo . ^[65] El análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica también estudian temas no analíticos de la ciencia matemática, especialmente teoría algorítmica, matricial y de grafos . Otras áreas de las matemáticas computacionales incluyen álgebra computacional y computación simbólica .

Historia

Etimología

La palabra matemáticas proviene del griego antiguo máthēma ( μάθημα ), que significa ' algo aprendido, conocimiento, matemáticas ' , y la expresión derivada mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ), que significa ' ciencia matemática ' . Ingresó al idioma inglés durante el período del inglés medio tardío a través del francés y el latín. ^[66]

De manera similar, una de las dos escuelas de pensamiento principales del pitagorismo era la conocida como mathēmatikoi (μαθηματικοί), que en ese momento significaba «aprendices» en lugar de «matemáticos» en el sentido moderno. Los pitagóricos fueron probablemente los primeros en restringir el uso de la palabra al estudio de la aritmética y la geometría. En la época de Aristóteles (384-322 a. C.) este significado ya estaba plenamente establecido. ^[67]

En latín e inglés, hasta alrededor de 1700, el término matemáticas significaba más comúnmente " astrología " (o a veces " astronomía ") en lugar de "matemáticas"; el significado cambió gradualmente a su actual desde aproximadamente 1500 hasta 1800. Este cambio ha dado lugar a varias traducciones erróneas: por ejemplo, la advertencia de San Agustín de que los cristianos deben tener cuidado con mathematici , que significa "astrólogos", a veces se traduce erróneamente como una condena a los matemáticos. ^[68]

La forma plural aparente en inglés se remonta al plural neutro latino mathematica ( Cicerón ), basado en el plural griego ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) y significa aproximadamente "todas las cosas matemáticas", aunque es plausible que el inglés haya tomado prestado solo el adjetivo mathematic(al) y haya formado el sustantivo mathematics de nuevo, siguiendo el patrón de física y metafísica , heredado del griego. ^[69] En inglés, el sustantivo mathematics toma un verbo singular. A menudo se abrevia como maths ^[70] o, en Norteamérica, math . ^[71]

Antiguo

La tablilla matemática babilónica Plimpton 322 , datada en 1800 a. C.

Además de reconocer cómo contar objetos físicos, los pueblos prehistóricos también pueden haber sabido cómo contar cantidades abstractas, como el tiempo: días, estaciones o años. ^{[72] [73]} La evidencia de matemáticas más complejas no aparece hasta alrededor del 3000  a. C. , cuando los babilonios y los egipcios comenzaron a usar la aritmética, el álgebra y la geometría para los impuestos y otros cálculos financieros, para la construcción y la astronomía. ^[74] Los textos matemáticos más antiguos de Mesopotamia y Egipto son del 2000 al 1800 a. C. ^[75] Muchos textos tempranos mencionan ternas pitagóricas y, por lo tanto, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el concepto matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas. Es en las matemáticas babilónicas donde la aritmética elemental ( suma , resta , multiplicación y división ) aparece por primera vez en el registro arqueológico. Los babilonios también poseían un sistema de valor posicional y utilizaban un sistema de numeración sexagesimal que todavía se utiliza hoy en día para medir ángulos y tiempo. ^[76]

En el siglo VI a. C., las matemáticas griegas comenzaron a surgir como una disciplina distinta y algunos griegos antiguos, como los pitagóricos, parecen haberlas considerado una materia por derecho propio. ^[77] Alrededor del 300 a. C., Euclides organizó el conocimiento matemático por medio de postulados y primeros principios, que evolucionaron hasta convertirse en el método axiomático que se utiliza en matemáticas hoy en día, que consiste en definición, axioma, teorema y prueba. ^[78] Su libro, Elementos , es ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. ^[79] A menudo se considera que el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes ( c.  287  - c.  212 a. C. ) de Siracusa . ^[80] Desarrolló fórmulas para calcular el área de superficie y el volumen de sólidos de revolución y utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no muy diferente del cálculo moderno. ^[81] Otros logros notables de las matemáticas griegas son las secciones cónicas ( Apolonio de Perge , siglo III a. C.), ^[82] la trigonometría ( Hiparco de Nicea , siglo II a. C.), ^[83] y los inicios del álgebra (Diofanto, siglo III d. C.). ^[84]

Los números utilizados en el manuscrito Bakhshali , datado entre el siglo II a. C. y el siglo II d. C.

El sistema de numeración hindú-arábigo y las reglas para el uso de sus operaciones, que se utilizan hoy en día en todo el mundo, evolucionaron a lo largo del primer milenio d. C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas . ^[85] Otros desarrollos notables de las matemáticas indias incluyen la definición y aproximación modernas del seno y el coseno , y una forma temprana de serie infinita . ^{[86] [87]}

Medieval y posterior

Una página de Al -Jabr de al -Khwarizmi

Durante la Edad de Oro del Islam , especialmente durante los siglos IX y X, las matemáticas fueron testigos de muchas innovaciones importantes basadas en las matemáticas griegas. El logro más notable de las matemáticas islámicas fue el desarrollo del álgebra . Otros logros del período islámico incluyen avances en la trigonometría esférica y la adición del punto decimal al sistema de numeración árabe. ^[88] Muchos matemáticos notables de este período eran persas, como Al-Khwarizmi , Omar Khayyam y Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī . ^[89] Los textos matemáticos griegos y árabes fueron a su vez traducidos al latín durante la Edad Media y puestos a disposición en Europa. ^[90]

Durante el período moderno temprano , las matemáticas comenzaron a desarrollarse a un ritmo acelerado en Europa occidental , con innovaciones que revolucionaron las matemáticas, como la introducción de variables y notación simbólica por François Viète (1540-1603), la introducción de los logaritmos por John Napier en 1614, que simplificaron enormemente los cálculos numéricos, especialmente para la astronomía y la navegación marítima , la introducción de coordenadas por René Descartes (1596-1650) para reducir la geometría al álgebra, y el desarrollo del cálculo por Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716). Leonhard Euler (1707-1783), el matemático más notable del siglo XVIII, unificó estas innovaciones en un solo corpus con una terminología estandarizada, y las completó con el descubrimiento y la prueba de numerosos teoremas. ^[91]

Carl Friedrich Gauss

Quizás el matemático más importante del siglo XIX fue el matemático alemán Carl Gauss , quien realizó numerosas contribuciones a campos como el álgebra, el análisis, la geometría diferencial , la teoría de matrices , la teoría de números y la estadística . ^[92] A principios del siglo XX, Kurt Gödel transformó las matemáticas al publicar sus teoremas de incompletitud , que muestran en parte que cualquier sistema axiomático consistente (si es lo suficientemente poderoso para describir la aritmética) contendrá proposiciones verdaderas que no se pueden demostrar. ^[55]

Desde entonces, las matemáticas se han extendido enormemente y ha habido una fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia , en beneficio de ambas. Los descubrimientos matemáticos continúan hasta el día de hoy. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero de 2006 del Bulletin of the American Mathematical Society , "El número de artículos y libros incluidos en la base de datos Mathematical Reviews (MR) desde 1940 (el primer año de funcionamiento de MR) es ahora más de 1,9 millones, y más de 75 mil artículos se agregan a la base de datos cada año. La abrumadora mayoría de las obras en este océano contienen nuevos teoremas matemáticos y sus demostraciones". ^[93]

Notación simbólica y terminología

Una explicación de la notación de suma sigma (Σ)

La notación matemática se utiliza ampliamente en ciencia e ingeniería para representar conceptos y propiedades complejas de una manera concisa, inequívoca y precisa. Esta notación consiste en símbolos utilizados para representar operaciones , números no especificados, relaciones y cualquier otro objeto matemático, y luego ensamblarlos en expresiones y fórmulas. ^[94] Más precisamente, los números y otros objetos matemáticos se representan mediante símbolos llamados variables, que generalmente son letras latinas o griegas , y a menudo incluyen subíndices . Las operaciones y relaciones generalmente se representan mediante símbolos o glifos específicos , ^[95] como + ( más ), × ( multiplicación ), ( integral ), = ( igual ) y < ( menor que ). ^[96] Todos estos símbolos generalmente se agrupan de acuerdo con reglas específicas para formar expresiones y fórmulas. ^[97] Normalmente, las expresiones y fórmulas no aparecen solas, sino que se incluyen en oraciones del lenguaje corriente, donde las expresiones juegan el papel de frases nominales y las fórmulas juegan el papel de cláusulas . ${\textstyle \int }$

Las matemáticas han desarrollado una rica terminología que abarca una amplia gama de campos que estudian las propiedades de varios objetos abstractos e idealizados y cómo interactúan. Se basa en definiciones rigurosas que proporcionan una base estándar para la comunicación. Un axioma o postulado es una afirmación matemática que se considera verdadera sin necesidad de prueba. Si una afirmación matemática aún no se ha demostrado (o refutado), se denomina conjetura . A través de una serie de argumentos rigurosos que emplean el razonamiento deductivo , una afirmación que se demuestra como verdadera se convierte en un teorema. Un teorema especializado que se utiliza principalmente para demostrar otro teorema se denomina lema . Una instancia demostrada que forma parte de un hallazgo más general se denomina corolario . ^[98]

Numerosos términos técnicos utilizados en matemáticas son neologismos , como polinomio y homeomorfismo . ^[99] Otros términos técnicos son palabras del lenguaje común que se utilizan con un significado preciso que puede diferir ligeramente de su significado común. Por ejemplo, en matemáticas, " o " significa "uno, el otro o ambos", mientras que, en el lenguaje común, es ambiguo o significa "uno o el otro pero no ambos" (en matemáticas, esto último se llama " o exclusivo "). Finalmente, muchos términos matemáticos son palabras comunes que se utilizan con un significado completamente diferente. ^[100] Esto puede dar lugar a frases que son afirmaciones matemáticas correctas y verdaderas, pero que parecen tonterías para las personas que no tienen los antecedentes necesarios. Por ejemplo, "todo módulo libre es plano " y "un cuerpo es siempre un anillo ".

Relación con las ciencias

Las matemáticas se utilizan en la mayoría de las ciencias para modelar fenómenos, lo que luego permite hacer predicciones a partir de leyes experimentales. ^[101] La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende solo de la adecuación del modelo. ^[102] Las predicciones inexactas, en lugar de ser causadas por conceptos matemáticos inválidos, implican la necesidad de cambiar el modelo matemático utilizado. ^[103] Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio solo pudo explicarse después de la aparición de la relatividad general de Einstein , que reemplazó a la ley de gravitación de Newton como un mejor modelo matemático. ^[104]

Todavía existe un debate filosófico sobre si las matemáticas son una ciencia. Sin embargo, en la práctica, los matemáticos suelen agruparse con los científicos, y las matemáticas comparten mucho en común con las ciencias físicas. Como ellas, son falsables , lo que significa en matemáticas que, si un resultado o una teoría es incorrecto, esto se puede demostrar proporcionando un contraejemplo . De manera similar a lo que ocurre en la ciencia, las teorías y los resultados (teoremas) a menudo se obtienen a partir de la experimentación . ^[105] En matemáticas, la experimentación puede consistir en el cálculo de ejemplos seleccionados o en el estudio de figuras u otras representaciones de objetos matemáticos (a menudo representaciones mentales sin soporte físico). Por ejemplo, cuando se le preguntó cómo llegó a sus teoremas, Gauss respondió una vez "durch planmässiges Tattonieren" (a través de la experimentación sistemática). ^[106] Sin embargo, algunos autores enfatizan que las matemáticas difieren de la noción moderna de ciencia al no depender de evidencia empírica. ^{[107] [108] [109] [110]}

Matemáticas puras y aplicadas

Isaac Newton (izquierda) y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo infinitesimal.

Hasta el siglo XIX, el desarrollo de las matemáticas en Occidente estuvo motivado principalmente por las necesidades de la tecnología y la ciencia, y no había una distinción clara entre las matemáticas puras y las aplicadas. ^[111] Por ejemplo, los números naturales y la aritmética se introdujeron por la necesidad de contar, y la geometría fue motivada por la topografía, la arquitectura y la astronomía. Más tarde, Isaac Newton introdujo el cálculo infinitesimal para explicar el movimiento de los planetas con su ley de gravitación. Además, la mayoría de los matemáticos también eran científicos, y muchos científicos también eran matemáticos. ^[112] Sin embargo, una notable excepción ocurrió con la tradición de las matemáticas puras en la Antigua Grecia . ^[113] El problema de la factorización de números enteros , por ejemplo, que se remonta a Euclides en el año 300 a. C., no tenía aplicación práctica antes de su uso en el criptosistema RSA , ahora ampliamente utilizado para la seguridad de las redes informáticas . ^[114]

En el siglo XIX, matemáticos como Karl Weierstrass y Richard Dedekind centraron cada vez más su investigación en problemas internos, es decir, matemáticas puras . ^{[111] [115]} Esto llevó a dividir las matemáticas en matemáticas puras y matemáticas aplicadas , siendo estas últimas consideradas a menudo como de menor valor entre los puristas matemáticos. Sin embargo, las líneas entre las dos son frecuentemente borrosas. ^[116]

Las secuelas de la Segunda Guerra Mundial llevaron a un aumento en el desarrollo de las matemáticas aplicadas en los EE. UU. y en otros lugares. ^{[117] [118]} Muchas de las teorías desarrolladas para aplicaciones se consideraron interesantes desde el punto de vista de las matemáticas puras, y se demostró que muchos resultados de las matemáticas puras tenían aplicaciones fuera de las matemáticas; a su vez, el estudio de estas aplicaciones puede brindar nuevas perspectivas sobre la "teoría pura". ^{[119] [120]}

Un ejemplo del primer caso es la teoría de distribuciones , introducida por Laurent Schwartz para validar los cálculos realizados en mecánica cuántica , que se convirtió inmediatamente en una herramienta importante del análisis matemático (puro). ^[121] Un ejemplo del segundo caso es la decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales , un problema de matemáticas puras que fue demostrado verdadero por Alfred Tarski , con un algoritmo que es imposible de implementar debido a una complejidad computacional demasiado alta. ^[122] Para obtener un algoritmo que pueda implementarse y pueda resolver sistemas de ecuaciones polinómicas y desigualdades, George Collins introdujo la descomposición algebraica cilíndrica que se convirtió en una herramienta fundamental en la geometría algebraica real . ^[123]

En la actualidad, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más una cuestión de objetivos de investigación personales de los matemáticos que una división de las matemáticas en áreas amplias. ^{[124] [125]} La Clasificación de Matemáticas por Temas tiene una sección para "matemáticas aplicadas generales" pero no menciona las "matemáticas puras". ^[14] Sin embargo, estos términos todavía se utilizan en los nombres de algunos departamentos universitarios , como en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge .

Eficacia irrazonable

La eficacia irrazonable de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner . ^[3] Se trata del hecho de que muchas teorías matemáticas (incluso las "más puras") tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área inicial de las matemáticas y pueden referirse a fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. ^[126] Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.

Un ejemplo notable es la factorización prima de los números naturales que fue descubierta más de 2.000 años antes de su uso común para las comunicaciones seguras por internet a través del criptosistema RSA . ^[127] Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses . Fueron estudiadas por los antiguos matemáticos griegos como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Fue casi 2.000 años después cuando Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses. ^[128]

En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemáticas puras) condujo a la definición y estudio de geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades . En esa época, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espacio-tiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espacio-tiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro. ^{[129] [130]}

Un aspecto llamativo de la interacción entre las matemáticas y la física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Esto se ilustra con los descubrimientos del positrón y el barión. En ambos casos, las ecuaciones de las teorías tenían soluciones inexplicables, lo que llevó a la conjetura de la existencia de una partícula desconocida y a la búsqueda de estas partículas. En ambos casos, estas partículas se descubrieron unos años después mediante experimentos específicos. ^{[131] [132] [133]} ${\displaystyle \Omega ^{-}.}$

Ciencias específicas

Física

Diagrama de un péndulo

Las matemáticas y la física se han influido mutuamente a lo largo de su historia moderna. La física moderna utiliza abundantemente las matemáticas ^[134] y también se considera que es la motivación de los principales avances matemáticos ^{[135] .}

Computación

La informática está estrechamente relacionada con las matemáticas de varias maneras. ^[136] La informática teórica se considera de naturaleza matemática. ^[137] Las tecnologías de la comunicación aplican ramas de las matemáticas que pueden ser muy antiguas (por ejemplo, la aritmética), especialmente con respecto a la seguridad de la transmisión, en criptografía y teoría de la codificación . Las matemáticas discretas son útiles en muchas áreas de la informática, como la teoría de la complejidad , la teoría de la información y la teoría de grafos . ^[138] En 1998, la conjetura de Kepler sobre el empaquetamiento de esferas pareció también ser parcialmente probada por computadora. ^[139]

Biología y química

La piel de este pez globo gigante exhibe un patrón de Turing , que puede modelarse mediante sistemas de reacción-difusión .

La biología utiliza la probabilidad ampliamente en campos como la ecología o la neurobiología . ^[140] La mayoría de las discusiones sobre la probabilidad se centran en el concepto de aptitud evolutiva . ^[140] La ecología utiliza en gran medida el modelado para simular la dinámica de poblaciones , ^{[140] [141]} estudiar ecosistemas como el modelo depredador-presa, medir la difusión de la contaminación, ^[142] o para evaluar el cambio climático. ^[143] La dinámica de una población se puede modelar mediante ecuaciones diferenciales acopladas, como las ecuaciones de Lotka-Volterra . ^[144]

Las pruebas de hipótesis estadísticas se realizan con datos de ensayos clínicos para determinar si un nuevo tratamiento funciona. ^[145] Desde principios del siglo XX, la química ha utilizado la informática para modelar moléculas en tres dimensiones. ^[146]

Ciencias de la tierra

La geología estructural y la climatología utilizan modelos probabilísticos para predecir el riesgo de catástrofes naturales. ^[147] De manera similar, la meteorología , la oceanografía y la planetología también utilizan las matemáticas debido a su uso intensivo de modelos. ^{[148] [149] [150]}

Ciencias sociales

Las áreas de las matemáticas que se utilizan en las ciencias sociales incluyen la probabilidad/estadística y las ecuaciones diferenciales. Estas se utilizan en lingüística, economía , sociología ^[151] y psicología ^[152] .

Las curvas de oferta y demanda , como ésta, son un elemento básico de la economía matemática.

A menudo, el postulado fundamental de la economía matemática es el del actor individual racional: el Homo economicus ( lit. ' hombre económico ' ). ^[153] En este modelo, el individuo busca maximizar su propio interés , ^[153] y siempre toma decisiones óptimas utilizando información perfecta . ^[154] Esta visión atomista de la economía le permite matematizar su pensamiento con relativa facilidad, porque los cálculos individuales se transponen en cálculos matemáticos. Tal modelado matemático permite investigar los mecanismos económicos. Algunos rechazan o critican el concepto de Homo economicus . Los economistas señalan que las personas reales tienen información limitada, toman malas decisiones y se preocupan por la justicia, el altruismo, no solo el beneficio personal. ^[155] 

Sin modelos matemáticos, es difícil ir más allá de las observaciones estadísticas o de la especulación no comprobable. Los modelos matemáticos permiten a los economistas crear marcos estructurados para comprobar hipótesis y analizar interacciones complejas. Los modelos aportan claridad y precisión, lo que permite traducir conceptos teóricos en predicciones cuantificables que se pueden comprobar con datos del mundo real. ^[156]

A principios del siglo XX, se produjo un desarrollo de la expresión de los movimientos históricos en fórmulas. En 1922, Nikolai Kondratiev distinguió el ciclo de Kondratiev de ~50 años de duración , que explica las fases de crecimiento o crisis económica. ^[157] Hacia finales del siglo XIX, los matemáticos extendieron su análisis a la geopolítica . ^[158] Peter Turchin desarrolló la cliodinámica desde la década de 1990. ^[159]

La matematización de las ciencias sociales no está exenta de riesgos. En el polémico libro Fashionable Nonsense (1997), Sokal y Bricmont denunciaron el uso infundado o abusivo de la terminología científica, en particular de las matemáticas o la física, en las ciencias sociales. ^[160] El estudio de sistemas complejos (evolución del desempleo, capital empresarial, evolución demográfica de una población, etc.) utiliza conocimientos matemáticos. Sin embargo, la elección de criterios de recuento, en particular del desempleo, o de modelos, puede ser objeto de controversia. ^{[161] [162]}

Filosofía

Realidad

La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos desde al menos la época de Pitágoras . El antiguo filósofo Platón argumentó que las abstracciones que reflejan la realidad material tienen en sí mismas una realidad que existe fuera del espacio y el tiempo. Como resultado, la visión filosófica de que los objetos matemáticos de alguna manera existen por sí mismos en abstracción a menudo se conoce como platonismo . Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden considerarse generalmente como platónicos, ya que piensan y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales. ^[163]

Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera y proporcionó citas de G. H. Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista. ^[131]

Algo se vuelve objetivo (en contraposición a "subjetivo") tan pronto como estamos convencidos de que existe en las mentes de los demás en la misma forma que existe en las nuestras y de que podemos pensar en ello y discutirlo juntos. ^[164] Debido a que el lenguaje de las matemáticas es tan preciso, es idealmente adecuado para definir conceptos para los cuales existe tal consenso. En mi opinión, eso es suficiente para proporcionarnos una sensación de una existencia objetiva, de una realidad de las matemáticas...

Sin embargo, el platonismo y las opiniones concurrentes sobre la abstracción no explican la irrazonable eficacia de las matemáticas. ^[165]

Definiciones propuestas

No existe un consenso general sobre la definición de las matemáticas o su estatus epistemológico , es decir, su lugar dentro del conocimiento. A muchos matemáticos profesionales no les interesa una definición de las matemáticas, o las consideran indefinibles. Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. Algunos simplemente dicen: "las matemáticas son lo que hacen los matemáticos". ^{[166] [167]} Un enfoque común es definir las matemáticas por su objeto de estudio. ^{[168] [169] [170] [171]}

Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad" y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII. Sin embargo, Aristóteles también señaló que un enfoque únicamente en la cantidad puede no distinguir las matemáticas de ciencias como la física; en su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de las instancias reales distinguen a las matemáticas. ^[172] En el siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a abordar temas (como los conjuntos infinitos) que no tienen una relación clara con la realidad física, se dieron una variedad de nuevas definiciones. ^[173] Con la gran cantidad de nuevas áreas de las matemáticas que han aparecido desde principios del siglo XX, definir las matemáticas por su objeto de estudio se ha vuelto cada vez más difícil. ^[174] Por ejemplo, en lugar de una definición, Saunders Mac Lane en Mathematics, form and function resume los conceptos básicos de varias áreas de las matemáticas, enfatizando su interconexión, y observa: ^[175]

El desarrollo de las matemáticas proporciona una red estrechamente conectada de reglas, conceptos y sistemas formales. Los nodos de esta red están estrechamente vinculados a procedimientos útiles en las actividades humanas y a cuestiones que surgen en la ciencia. La transición de las actividades a los sistemas matemáticos formales está guiada por una variedad de ideas y percepciones generales.

Otro enfoque para definir las matemáticas es utilizar sus métodos. Por ejemplo, un área de estudio suele calificarse de matemática tan pronto como se pueden demostrar teoremas, afirmaciones cuya validez depende de una prueba, es decir, una deducción puramente lógica. ^{[d] [176] [ verificación fallida ]}

Rigor

El razonamiento matemático requiere rigor . Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las pruebas deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de reglas de inferencia , ^[e] sin ningún uso de evidencia empírica e intuición . ^{[f] [177]} El razonamiento riguroso no es específico de las matemáticas, pero, en matemáticas, el estándar de rigor es mucho más alto que en otras partes. A pesar de la concisión de las matemáticas , las pruebas rigurosas pueden requerir cientos de páginas para expresarse, como el teorema de Feit-Thompson de 255 páginas . ^[g] La aparición de pruebas asistidas por computadora ha permitido que las longitudes de las pruebas se expandan aún más. ^{[h] [178]} El resultado de esta tendencia es una filosofía de la prueba cuasi-empirista que no puede considerarse infalible, pero tiene una probabilidad asociada a ella. ^[6]

El concepto de rigor en matemáticas se remonta a la antigua Grecia, donde su sociedad fomentaba el razonamiento lógico y deductivo. Sin embargo, este enfoque riguroso tendía a desalentar la exploración de nuevos enfoques, como los números irracionales y los conceptos de infinito. El método de demostración rigurosa se mejoró en el siglo XVI mediante el uso de la notación simbólica. En el siglo XVIII, la transición social llevó a los matemáticos a ganarse la vida mediante la enseñanza, lo que llevó a un pensamiento más cuidadoso sobre los conceptos subyacentes de las matemáticas. Esto produjo enfoques más rigurosos, al tiempo que se pasaba de los métodos geométricos a las pruebas algebraicas y luego a las aritméticas. ^[6]

A finales del siglo XIX, se hizo evidente que las definiciones de los conceptos básicos de las matemáticas no eran lo suficientemente precisas para evitar paradojas (geometrías no euclidianas y función de Weierstrass ) y contradicciones (paradoja de Russell). Esto se resolvió con la inclusión de axiomas en las reglas de inferencia apodíctica de las teorías matemáticas y la reintroducción del método axiomático iniciado por los antiguos griegos. ^[6] De ello se deduce que el "rigor" ya no es un concepto relevante en matemáticas, ya que una prueba es correcta o errónea, y una "prueba rigurosa" es simplemente un pleonasmo . Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos socializados de una prueba, en los que puede ser refutada de forma demostrable por otros matemáticos. Después de que una prueba ha sido aceptada durante muchos años o incluso décadas, puede considerarse confiable. ^[179]

Sin embargo, el concepto de "rigor" puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una prueba matemática. ^[180]

Entrenamiento y práctica

Educación

Las matemáticas tienen una notable capacidad para cruzar fronteras culturales y períodos de tiempo. Como actividad humana , la práctica de las matemáticas tiene un lado social, que incluye educación , carreras , reconocimiento , popularización , etc. En educación, las matemáticas son una parte central del currículo y forman un elemento importante de las disciplinas académicas STEM . Las carreras destacadas para los matemáticos profesionales incluyen profesor o profesor de matemáticas, estadístico , actuario , analista financiero , economista , contador , comerciante de materias primas o consultor informático . ^[181]

La evidencia arqueológica muestra que la instrucción en matemáticas ocurrió tan temprano como el segundo milenio a. C. en la antigua Babilonia. ^[182] Se ha desenterrado evidencia comparable de entrenamiento matemático de escribas en el antiguo Cercano Oriente y luego para el mundo grecorromano a partir de alrededor del 300 a. C. ^[183] ​​El libro de texto de matemáticas más antiguo conocido es el papiro Rhind , que data de c.  1650 a. C. en Egipto. ^[184] Debido a la escasez de libros, las enseñanzas matemáticas en la antigua India se comunicaban utilizando la tradición oral memorizada desde el período védico ( c.  1500  - c.  500 a. C. ). ^[185] En la China imperial durante la dinastía Tang (618-907 d. C.), se adoptó un plan de estudios de matemáticas para el examen de servicio civil para unirse a la burocracia estatal. ^[186]

Después de la Edad Oscura , la educación matemática en Europa fue proporcionada por escuelas religiosas como parte del Quadrivium . La instrucción formal en pedagogía comenzó con las escuelas jesuitas en los siglos XVI y XVII. La mayoría de los planes de estudio matemáticos se mantuvieron en un nivel básico y práctico hasta el siglo XIX, cuando comenzó a florecer en Francia y Alemania. La revista más antigua que abordaba la instrucción en matemáticas fue L'Enseignement Mathématique , que comenzó a publicarse en 1899. ^[187] Los avances occidentales en ciencia y tecnología llevaron al establecimiento de sistemas educativos centralizados en muchos estados-nación, con las matemáticas como un componente central, inicialmente para sus aplicaciones militares. ^[188] Si bien el contenido de los cursos varía, en la actualidad casi todos los países enseñan matemáticas a los estudiantes durante cantidades significativas de tiempo. ^[189]

Durante la escuela, las capacidades matemáticas y las expectativas positivas tienen una fuerte asociación con el interés profesional en el campo. Factores extrínsecos como la motivación de retroalimentación por parte de maestros, padres y grupos de pares pueden influir en el nivel de interés en las matemáticas. ^[190] Algunos estudiantes que estudian matemáticas pueden desarrollar aprensión o miedo sobre su desempeño en la materia. Esto se conoce como ansiedad matemática o fobia matemática, y se considera el trastorno más destacado que afecta el desempeño académico. La ansiedad matemática puede desarrollarse debido a varios factores como las actitudes de los padres y maestros, los estereotipos sociales y los rasgos personales. La ayuda para contrarrestar la ansiedad puede provenir de cambios en los enfoques instructivos, mediante interacciones con padres y maestros y mediante tratamientos personalizados para el individuo. ^[191]

Psicología (estética, creatividad e intuición)

La validez de un teorema matemático depende únicamente del rigor de su demostración, que teóricamente podría realizarse automáticamente mediante un programa informático . Esto no significa que no haya lugar para la creatividad en un trabajo matemático. Por el contrario, muchos resultados matemáticos importantes (teoremas) son soluciones de problemas que otros matemáticos no lograron resolver, y la invención de una forma de resolverlos puede ser una forma fundamental del proceso de resolución. ^{[192] [193]} Un ejemplo extremo es el teorema de Apery : Roger Apery proporcionó únicamente las ideas para una demostración, y la demostración formal fue dada solo varios meses después por otros tres matemáticos. ^[194]

La creatividad y el rigor no son los únicos aspectos psicológicos de la actividad de los matemáticos. Algunos matemáticos pueden ver su actividad como un juego, más específicamente como la resolución de acertijos . ^[195] Este aspecto de la actividad matemática se enfatiza en las matemáticas recreativas .

Los matemáticos pueden encontrar un valor estético en las matemáticas. Al igual que la belleza , es difícil de definir, y se relaciona comúnmente con la elegancia , que involucra cualidades como la simplicidad , la simetría , la completitud y la generalidad. GH Hardy en A Mathematician's Apology expresó la creencia de que las consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. También identificó otros criterios como la importancia, lo inesperado y la inevitabilidad, que contribuyen a la estética matemática. ^[196] Paul Erdős expresó este sentimiento de manera más irónica al hablar de "El Libro", una supuesta colección divina de las pruebas más hermosas. El libro de 1998 Pruebas de EL LIBRO , inspirado por Erdős, es una colección de argumentos matemáticos particularmente sucintos y reveladores. Algunos ejemplos de resultados particularmente elegantes incluidos son la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos y la transformada rápida de Fourier para el análisis armónico . ^[197]

Algunos creen que considerar las matemáticas como una ciencia es restarle importancia a su arte y a su historia en las siete artes liberales tradicionales . ^[198] Una forma en que se manifiesta esta diferencia de puntos de vista es en el debate filosófico sobre si los resultados matemáticos se crean (como en el arte) o se descubren (como en la ciencia). ^[131] La popularidad de las matemáticas recreativas es otra señal del placer que muchos encuentran en resolver cuestiones matemáticas.

Impacto cultural

Expresión artística

Las notas que suenan bien juntas para el oído occidental son sonidos cuyas frecuencias fundamentales de vibración están en proporciones simples. Por ejemplo, una octava duplica la frecuencia y una quinta perfecta la multiplica por . ^{[199] [200]} ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

Fractal con una simetría de escala y una simetría central

Los seres humanos, así como otros animales, encuentran más bellos los patrones simétricos. ^[201] Matemáticamente, las simetrías de un objeto forman un grupo conocido como el grupo de simetría . ^[202] Por ejemplo, el grupo subyacente a la simetría especular es el grupo cíclico de dos elementos, . Una prueba de Rorschach es una figura invariante por esta simetría, ^[203] como lo son los cuerpos de las mariposas y los animales de manera más general (al menos en la superficie). ^[204] Las olas en la superficie del mar poseen simetría de traslación: mover el punto de vista de uno por la distancia entre las crestas de las olas no cambia la vista del mar. ^[205] Los fractales poseen autosimilitud . ^{[206] [207]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Popularización

Las matemáticas populares son el acto de presentar las matemáticas sin términos técnicos. ^[208] Presentar las matemáticas puede ser difícil ya que el público en general sufre de ansiedad matemática y los objetos matemáticos son altamente abstractos. ^[209] Sin embargo, la escritura de matemáticas populares puede superar esto mediante el uso de aplicaciones o vínculos culturales. ^[210] A pesar de esto, las matemáticas rara vez son el tema de popularización en los medios impresos o televisados.

Premios y problemas de premios

El anverso de la Medalla Fields con una ilustración del erudito griego Arquímedes.

El premio más prestigioso en matemáticas es la Medalla Fields , ^{[211] [212]} establecida en 1936 y otorgada cada cuatro años (excepto alrededor de la Segunda Guerra Mundial ) a un máximo de cuatro individuos. ^{[213] [214]} Se considera el equivalente matemático del Premio Nobel . ^[214]

Otros prestigiosos premios de matemáticas incluyen: ^[215]

• El Premio Abel , instituido en 2002 ^[216] y otorgado por primera vez en 2003 ^[217]
• La Medalla Chern por los logros de toda una vida, introducida en 2009 ^[218] y otorgada por primera vez en 2010 ^[219]
• Premio Leroy P. Steele de la AMS , otorgado desde 1970 ^[220]
• El Premio Wolf en Matemáticas , también por los logros de toda una vida, ^[221] instituido en 1978 ^[222]

Una famosa lista de 23 problemas abiertos , llamada " problemas de Hilbert ", fue compilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. ^[223] Esta lista ha alcanzado gran celebridad entre los matemáticos, ^[224] y al menos trece de los problemas (dependiendo de cómo se interpreten algunos) han sido resueltos. ^[223]

En 2000 se publicó una nueva lista de siete problemas importantes, titulada « Problemas del Premio del Milenio ». Sólo uno de ellos, la hipótesis de Riemann , duplica uno de los problemas de Hilbert. La solución de cualquiera de estos problemas conlleva una recompensa de un millón de dólares. ^[225] Hasta la fecha, sólo uno de estos problemas, la conjetura de Poincaré , ha sido resuelto por el matemático ruso Grigori Perelman . ^[226]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Derecho (matemáticas)
• Lista de jerga matemática
• Listas de matemáticos
• Listas de temas de matemáticas
• Constante matemática
• Ciencias matemáticas
• Matemáticas y arte
• Educación matemática
• Filosofía de las matemáticas
• Relación entre las matemáticas y la física
• Ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas.

Referencias

Notas

1. Aquí se toma el álgebra en su sentido moderno, que es, a grandes rasgos, el arte de manipular fórmulas .
2. Esto incluye secciones cónicas , que son intersecciones de cilindros circulares y planos.
3. Sin embargo, a veces se utilizan algunos métodos de análisis avanzados; por ejemplo, métodos de análisis complejo aplicados a la generación de series .
4. Por ejemplo, la lógica pertenece a la filosofía desde Aristóteles . Hacia finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas implicó desarrollos de la lógica que son específicos de las matemáticas. Esto permitió finalmente la demostración de teoremas como los teoremas de Gödel . Desde entonces, la lógica matemática se considera comúnmente como un área de las matemáticas.
5. Esto no significa que se deban hacer explícitas todas las reglas de inferencia que se utilizan. Por el contrario, esto es generalmente imposible sin computadoras y asistentes de demostración . Incluso con esta tecnología moderna, puede llevar años de trabajo humano escribir una demostración completamente detallada.
6. Esto no significa que no se necesiten evidencia empírica y intuición para elegir los teoremas a demostrar y demostrarlos.
7. Esta es la extensión del artículo original que no contiene las demostraciones de algunos resultados auxiliares publicados previamente. El libro dedicado a la demostración completa tiene más de 1000 páginas.
8. Para considerar como confiable un cálculo grande que ocurre en una prueba, generalmente se requieren dos cálculos utilizando software independiente.

Citas

1. Hipólito, Inês Viegas (9 al 15 de agosto de 2015). "La cognición abstracta y la naturaleza de la prueba matemática". En kanziano, cristiano; Mitterer, Josef ; Neges, Katharina (eds.). Realismo – Relativismo – Konstruktivismo: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums [ Realismo – Relativismo – Constructivismo: Contribuciones del 38º Simposio Internacional Wittgenstein ] (PDF) (en alemán e inglés). vol. 23. Kirchberg am Wechsel, Austria: Sociedad Austriaca Ludwig Wittgenstein. págs. 132-134. ISSN  1022-3398. OCLC  236026294. Archivado (PDF) desde el original el 7 de noviembre de 2022 . Recuperado el 17 de enero de 2024 .(en ResearchGate)Archivado el 5 de noviembre de 2022 en Wayback Machine .
2. Peterson 1988, pág. 12.
3. Wigner, Eugene (1960). "La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales". Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1–14. Bibcode :1960CPAM...13....1W. doi :10.1002/cpa.3160130102. S2CID  6112252. Archivado desde el original el 28 de febrero de 2011.
4. Wise, David. "La influencia de Eudoxo en los Elementos de Euclides con una mirada cercana al método de agotamiento". Universidad de Georgia . Archivado desde el original el 1 de junio de 2019. Consultado el 18 de enero de 2024 .
5. Alexander, Amir (septiembre de 2011). "El esqueleto en el armario: ¿deberían los historiadores de la ciencia preocuparse por la historia de las matemáticas?". Isis . 102 (3): 475–480. doi :10.1086/661620. ISSN  0021-1753. MR  2884913. PMID  22073771. S2CID  21629993.
6. Kleiner, Israel (diciembre de 1991). "Rigor y prueba en matemáticas: una perspectiva histórica". Revista Matemáticas . 64 (5). Taylor y Francis, Ltd.: 291–314. doi :10.1080/0025570X.1991.11977625. eISSN  1930-0980. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690647. LCCN  47003192. SEÑOR  1141557. OCLC  1756877. S2CID  7787171.
7. Bell, ET (1945) [1940]. "Prospecto general". El desarrollo de las matemáticas (2.ª ed.). Dover Publications. pág. 3. ISBN 978-0-486-27239-9. LCCN  45010599. OCLC  523284. ... las matemáticas han llegado hasta el presente a través de dos corrientes principales, la de los números y la de las formas. La primera aportó la aritmética y el álgebra, la segunda, la geometría.
8. Tiwari, Sarju (1992). "Un espejo de la civilización". Matemáticas en la historia, la cultura, la filosofía y la ciencia (1.ª ed.). Nueva Delhi, India: Mittal Publications. pág. 27. ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN  92909575. OCLC  28115124. Es desafortunado que dos maldiciones de las matemáticas, la numerología y la astrología, también hayan nacido con ella y hayan sido más aceptables para las masas que las matemáticas mismas.
9. Restivo, Sal (1992). "Matemáticas desde cero". En Bunge, Mario (ed.). Matemáticas en la sociedad y en la historia . Episteme. Vol. 20. Kluwer Academic Publishers . pág. 14. ISBN. 0-7923-1765-3. OCLC  92013695  .​
10. Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler y los fundamentos de la mecánica celeste . Historia de la física. Springer International Publishing . doi :10.1007/978-3-031-12322-1. eISSN  2730-7557. ISBN 978-3-031-12321-4. ISSN  2730-7549. OCLC  1332780664. S2CID  253240718.
11. Biggs, NL (mayo de 1979). "Las raíces de la combinatoria". Historia Matemática . 6 (2): 109-136. doi : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 . eISSN  1090-249X. ISSN  0315-0860. LCCN  75642280. OCLC  2240703.
12. Warner, Evan. "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" (PDF) . Universidad de Columbia . Archivado desde el original (PDF) el 22 de marzo de 2023 . Consultado el 3 de febrero de 2024 .
13. Dunne, Edward; Hulek, Klaus (marzo de 2020). «Mathematics Subject Classification 2020» (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 67 (3): 410–411. doi : 10.1090/noti2052 . eISSN  1088-9477. ISSN  0002-9920. LCCN  sf77000404. OCLC  1480366. Archivado (PDF) del original el 3 de agosto de 2021. Consultado el 3 de febrero de 2024. La nueva MSC contiene 63 clasificaciones de dos dígitos, 529 clasificaciones de tres dígitos y 6006 clasificaciones de cinco dígitos.
14. «MSC2020-Sistema de clasificación de materias de matemáticas» (PDF) . zbMath . Editores asociados de Mathematical Reviews y zbMATH. Archivado (PDF) del original el 2 de enero de 2024 . Consultado el 3 de febrero de 2024 .
15. LeVeque, William J. (1977). "Introducción". Fundamentos de la teoría de números . Addison-Wesley Publishing Company . págs. 1–30. ISBN 0-201-04287-8. Código LCCN  76055645. Código OCLC  3519779. Código S2CID  118560854.
16. Goldman, Jay R. (1998). "Los padres fundadores". La reina de las matemáticas: una guía históricamente motivada para la teoría de números . Wellesley, MA: AK Peters. págs. 2-3. doi :10.1201/9781439864623. ISBN 1-56881-006-7. Código LCCN  94020017. Código OCLC  30437959. Código S2CID  118934517.
17. Weil, André (1983). Teoría de números: una aproximación a través de la historia desde Hammurabi hasta Legendre . Birkhäuser Boston. págs. 2-3. doi :10.1007/978-0-8176-4571-7. ISBN . 0-8176-3141-0Código LCCN :  83011857. Código OCLC:  9576587. Código S2CID  : 117789303.
18. Kleiner, Israel (marzo de 2000). "De Fermat a Wiles: el último teorema de Fermat se convierte en teorema". Elementos de Matemáticas . 55 (1): 19–37. doi : 10.1007/PL00000079 . eISSN  1420-8962. ISSN  0013-6018. LCCN  66083524. OCLC  1567783. S2CID  53319514.
19. Wang, Yuan (2002). La conjetura de Goldbach . Serie en Matemáticas Pura. Vol. 4 (2.ª ed.). World Scientific . Págs. 1–18. doi :10.1142/5096. ISBN. 981-238-159-7. LCCN  2003268597. OCLC  51533750. S2CID  14555830.
20. Straume, Eldar (4 de septiembre de 2014). "Un estudio del desarrollo de la geometría hasta 1870". arXiv : 1409.1140 [math.HO].
21. Hilbert, David (1902). Fundamentos de la geometría. Open Court Publishing Company . p. 1. doi :10.1126/science.16.399.307. LCCN  02019303. OCLC  996838. S2CID  238499430 . Consultado el 6 de febrero de 2024 .
22. Hartshorne, Robin (2000). "La geometría de Euclides". Geometría: Euclides y más allá. Springer New York . pp. 9–13. ISBN 0-387-98650-2. LCCN  99044789. OCLC  42290188 . Consultado el 7 de febrero de 2024 .
23. Boyer, Carl B. (2004) [1956]. "Fermat y Descartes". Historia de la geometría analítica . Dover Publications . pp. 74–102. ISBN 0-486-43832-5. OCLC  56317813  .​
24. Stump, David J. (1997). "Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900" (PDF) . Perspectives on Science . 5 (3): 383–417. doi :10.1162/posc_a_00532. eISSN  1530-9274. ISSN  1063-6145. LCCN  94657506. OCLC  26085129. S2CID  117709681. Consultado el 8 de febrero de 2024 .
25. O'Connor, JJ; Robertson, EF (febrero de 1996). «Geometría no euclidiana». MacTuror . Escocia, Reino Unido: Universidad de St. Andrews . Archivado desde el original el 6 de noviembre de 2022. Consultado el 8 de febrero de 2024 .
26. Joyner, David (2008). "El grupo (legal) del cubo de Rubik". Aventuras en la teoría de grupos: el cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos (2.ª ed.). Johns Hopkins University Press . pp. 219–232. ISBN 978-0-8018-9012-3. OCLC  213765703  .​
27. Christianidis, Jean; Oaks, Jeffrey (mayo de 2013). "Practicar el álgebra en la antigüedad tardía: la resolución de problemas de Diofanto de Alejandría". Historia Matemática . 40 (2): 127–163. doi : 10.1016/j.hm.2012.09.001 . eISSN  1090-249X. ISSN  0315-0860. LCCN  75642280. OCLC  2240703. S2CID  121346342.
28. Kleiner 2007, "Historia del álgebra clásica", págs. 3-5.
29. Shane, David (2022). «Números figurados: un estudio histórico de una matemática antigua» (PDF) . Universidad Metodista . p. 20. Consultado el 13 de junio de 2024. En su obra, Diofanto se centró en deducir las propiedades aritméticas de los números figurados, como la deducción del número de lados, las diferentes formas en que un número puede expresarse como número figurado y la formulación de las progresiones aritméticas.
30. Overbay, Shawn; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. "Al-Khwarizmi". Universidad de Kentucky . Consultado el 13 de junio de 2024 .
31. Lim, Lisa (21 de diciembre de 2018). "De dónde proviene la x que usamos en álgebra y la X en Navidad" . South China Morning Post . Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2018. Consultado el 8 de febrero de 2024 .
32. Berntjes, Sonja . "Álgebra". Enciclopedia del Islam en línea (3ª ed.). ISSN  1573-3912. LCCN  2007238847. OCLC  56713464 . Consultado el 13 de junio de 2024 .
33. Oaks, Jeffery A. (2018). «La revolución de François Viète en el álgebra» (PDF) . Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 72 (3): 245–302. doi :10.1007/s00407-018-0208-0. eISSN  1432-0657. ISSN  0003-9519. LCCN  63024699. OCLC  1482042. S2CID  125704699. Archivado (PDF) del original el 8 de noviembre de 2022. Consultado el 8 de febrero de 2024 .
34. "Variable en matemáticas". GeeksforGeeks . 24 de abril de 2024 . Consultado el 13 de junio de 2024 .
35. Kleiner 2007, "Historia del álgebra lineal", págs. 79-101.
36. Corry, Leo (2004). "Emmy Noether: ideales y estructuras". Álgebra moderna y el auge de las estructuras matemáticas (2.ª edición revisada). Alemania: Birkhäuser Basel. pp. 247–252. ISBN 3-7643-7002-5. LCCN  2004556211. OCLC  51234417 . Consultado el 8 de febrero de 2024 .
37. Riche, Jacques (2007). "Del álgebra universal a la lógica universal". En Beziau, JY; Costa-Leite, Alexandre (eds.). Perspectivas sobre la lógica universal. Milán, Italia: Polimetrica International Scientific Publisher. pp. 3–39. ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC  647049731 . Consultado el 8 de febrero de 2024 .
38. Krömer, Ralph (2007). Herramienta y objeto: una historia y filosofía de la teoría de categorías. Science Networks – Historical Studies. Vol. 32. Alemania: Springer Science & Business Media . pp. xxi–xxv, 1–91. ISBN 978-3-7643-7523-2. LCCN  2007920230. OCLC  85242858 . Consultado el 8 de febrero de 2024 .
39. Guicciardini, Niccolo (2017). "La controversia del cálculo Newton-Leibniz, 1708-1730" (PDF) . En Schliesser, Eric; Smeenk, Chris (eds.). El manual de Oxford de Newton . Manuales de Oxford. Oxford University Press . doi :10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. ISBN. 978-0-19-993041-8. OCLC  975829354. Archivado (PDF) del original el 9 de noviembre de 2022. Consultado el 9 de febrero de 2024 .
40. O'Connor, JJ; Robertson, EF (septiembre de 1998). "Leonhard Euler". MacTutor . Escocia, Reino Unido: Universidad de St Andrews . Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2022 . Consultado el 9 de febrero de 2024 .
41. "Cálculo (Cálculo diferencial e integral con ejemplos)". Byju's . Consultado el 13 de junio de 2024 .
42. Franklin, James (julio de 2017). «Discrete and Continuous: A Fundamental Dicotomy in Mathematics» (Discreto y continuo: una dicotomía fundamental en matemáticas). Journal of Humanistic Mathematics (Revista de matemáticas humanísticas ). 7 (2): 355–378. doi : 10.5642/jhummath.201702.18 . ISSN:  2159-8118. LCCN:  2011202231. OCLC:  700943261. S2CID  : 6945363. Consultado el 9 de febrero de 2024 .
43. Maurer, Stephen B. (1997). "¿Qué son las matemáticas discretas? Las muchas respuestas". En Rosenstein, Joseph G.; Franzblau, Deborah S.; Roberts, Fred S. (eds.). Matemáticas discretas en las escuelas . DIMACS: Serie sobre matemáticas discretas y ciencias de la computación teórica. Vol. 36. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 121–124. doi :10.1090/dimacs/036/13. ISBN . 0-8218-0448-0. ISSN  1052-1798. LCCN  97023277. OCLC  37141146. S2CID  67358543 . Consultado el 9 de febrero de 2024 .
44. Hales, Thomas C. (2014). "El legado de Turing: desarrollos a partir de las ideas de Turing en lógica". En Downey, Rod (ed.). El legado de Turing . Apuntes de clase sobre lógica. Vol. 42. Cambridge University Press . págs. 260–261. doi :10.1017/CBO9781107338579.001. ISBN . 978-1-107-04348-0. LCCN  2014000240. OCLC  867717052. S2CID  19315498. Consultado el 9 de febrero de 2024 .
45. Sipser, Michael (julio de 1992). Historia y estado de la cuestión P versus NP . STOC '92: Actas del vigésimo cuarto simposio anual de la ACM sobre teoría de la computación. pp. 603–618. doi :10.1145/129712.129771. S2CID  11678884.
46. Ewald, William (17 de noviembre de 2018). «The Emergence of First-Order Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy . ISSN  1095-5054. LCCN  sn97004494. OCLC  37550526. Consultado el 14 de junio de 2024 .
47. Ferreirós, José (18 de junio de 2020) [Publicado por primera vez el 10 de abril de 2007]. «The Early Development of Set Theory». Stanford Encyclopedia of Philosophy . ISSN  1095-5054. LCCN  sn97004494. OCLC  37550526. Consultado el 14 de junio de 2024 .
48. Ferreirós, José (diciembre de 2001). "El camino hacia la lógica moderna: una interpretación" (PDF) . El Boletín de Lógica Simbólica . 7 (4): 441–484. doi :10.2307/2687794. eISSN  1943-5894. hdl :11441/38373. ISSN  1079-8986. JSTOR  2687794. LCCN  95652899. OCLC  31616719. S2CID  43258676 . Consultado el 14 de junio de 2024 .
49. Wolchover, Natalie , ed. (26 de noviembre de 2013). "La disputa sobre el infinito divide a los matemáticos". Quanta Magazine . Consultado el 14 de junio de 2024 .
50. Zhuang, Chaohui. «Análisis de Wittgenstein sobre el argumento diagonal de Cantor» (DOC) . PhilArchive . Consultado el 14 de junio de 2024 .
51. Tanswell, Fenner Stanley (2024). Rigor matemático y demostración informal . Cambridge Elements in the Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press . doi :10.1017/9781009325110. eISSN  2399-2883. ISBN 978-1-00-949438-0. ISSN  2514-3808. OCLC  1418750041.
52. Avigad, Jeremy ; Reck, Erich H. (11 de diciembre de 2001). «"Aclarando la naturaleza del infinito": el desarrollo de la metamatemática y la teoría de la prueba» (PDF) . Universidad Carnegie Mellon . Consultado el 14 de junio de 2024 .
53. Hamilton, Alan G. (1982). Números, conjuntos y axiomas: el aparato de las matemáticas. Cambridge University Press. pp. 3–4. ISBN 978-0-521-28761-6. Consultado el 12 de noviembre de 2022 .
54. Snapper, Ernst (septiembre de 1979). "Las tres crisis en matemáticas: logicismo, intuicionismo y formalismo". Revista de matemáticas . 52 (4): 207–216. doi :10.2307/2689412. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689412.
55. Raatikainen, Panu (octubre de 2005). "Sobre la relevancia filosófica de los teoremas de incompletitud de Gödel". Revue Internationale de Philosophie . 59 (4): 513–534. doi :10.3917/rip.234.0513. JSTOR  23955909. S2CID  52083793. Archivado desde el original el 12 de noviembre de 2022 . Consultado el 12 de noviembre de 2022 .
56. Moschovakis, Joan (4 de septiembre de 2018). «Intuitionistic Logic». Stanford Encyclopedia of Philosophy . Archivado desde el original el 16 de diciembre de 2022. Consultado el 12 de noviembre de 2022 .
57. McCarty, Charles (2006). "En el centro del análisis: intuicionismo y filosofía". Philosophia Scientiæ, Cahier especial 6 : 81–94. doi : 10.4000/philosophiascientiae.411 .
58. Halpern, Joseph ; Harper, Robert ; Immerman, Neil ; Kolaitis, Phokion ; Vardi, Moshe ; Vianu, Victor (2001). "Sobre la inusual eficacia de la lógica en la informática" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 3 de marzo de 2021 . Consultado el 15 de enero de 2021 .
59. Rouaud, Mathieu (abril de 2017) [Publicado por primera vez en julio de 2013]. Probabilidad, estadística y estimación (PDF) . p. 10. Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 13 de febrero de 2024 .
60. Rao, C. Radhakrishna (1997) [1989]. Estadísticas y verdad: poner la suerte a trabajar (2.ª ed.). World Scientific. págs. 3-17, 63-70. ISBN 981-02-3111-3. LCCN  97010349. MR  1474730. OCLC  36597731.
61. Rao, C. Radhakrishna (1981). "Prólogo". En Arthanari, TS; Dodge, Yadolah (eds.). Programación matemática en estadística . Serie Wiley sobre probabilidad y estadística matemática. Nueva York: Wiley. págs. vii–viii. ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN  80021637. MR  0607328. OCLC  6707805.
62. Whittle 1994, págs. 10-11, 14-18.
63. Marchuk, Gurii Ivanovich (abril de 2020). «Pleno de GI Marchuk: ICM 1970». MacTutor . Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia. Archivado desde el original el 13 de noviembre de 2022 . Consultado el 13 de noviembre de 2022 .
64. Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (septiembre de 1991). Phua, Kang Hoh; Loe, Kia Fock (eds.). Grandes desafíos, computación de alto rendimiento y ciencia computacional. Conferencia de supercomputación de Singapur'90: supercomputación para una ventaja estratégica. World Scientific. pág. 28. LCCN  91018998. Consultado el 13 de noviembre de 2022 .
65. Trefethen, Lloyd N. (2008). "Análisis numérico". En Gowers, Timothy ; Barrow-Green, junio ; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics (PDF) . Princeton University Press . págs. 604–615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN  2008020450. MR  2467561. OCLC  227205932. Archivado (PDF) del original el 7 de marzo de 2023. Consultado el 15 de febrero de 2024 .
66. • Cresswell 2021, § Matemáticas
    • Perisho 1965, pág. 64
67. Perisho, Margaret W. (primavera de 1965). "La etimología de los términos matemáticos". Diario Pi Mu Epsilon . 4 (2): 62–66. ISSN  0031-952X. JSTOR  24338341. LCCN  58015848. OCLC  1762376.
68. Boas, Ralph P. (1995). "Lo que Agustín no dijo sobre los matemáticos". En Alexanderson, Gerald L.; Mugler, Dale H. (eds.). La caza del león y otras actividades matemáticas: una colección de matemáticas, versos e historias . Asociación Matemática de Estados Unidos . pág. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. Código LCCN  94078313. Código OCLC  633018890.
69. Diccionario Oxford de Etimología Inglesa , Diccionario Oxford de Inglés , sub "matemáticas", "matemático", "matemáticas".
70. "Matemáticas (sustantivo)". Oxford English Dictionary . Oxford University Press . Consultado el 25 de enero de 2024 .
71. "Matemáticas (sustantivo³)". Diccionario Oxford de inglés . Oxford University Press . Archivado desde el original el 4 de abril de 2020. Consultado el 25 de enero de 2024 .
72. Véase, por ejemplo, Wilder, Raymond L. Evolución de los conceptos matemáticos: un estudio elemental .
73. Zaslavsky, Claudia (1999). África cuenta: número y patrón en la cultura africana . Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3.OCLC 843204342  .
74. Kline 1990, Capítulo 1.
75. Mesopotamia pág. 10. Consultado el 1 de junio de 2024.
76. Boyer 1991, "Mesopotamia", págs. 24-27.
77. Heath, Thomas Little (1981) [1921]. Una historia de las matemáticas griegas: desde Tales hasta Euclides . Nueva York: Dover Publications. pág. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.
78. Mueller, I. (1969). "Los elementos de Euclides y el método axiomático". Revista británica de filosofía de la ciencia . 20 (4): 289–309. doi :10.1093/bjps/20.4.289. ISSN  0007-0882. JSTOR  686258.
79. Boyer 1991, "Euclides de Alejandría", pág. 119.
80. Boyer 1991, "Arquímedes de Siracusa", pág. 120.
81. Boyer 1991, "Arquímedes de Siracusa", pág. 130.
82. Boyer 1991, "Apolonio de Perge", pág. 145.
83. Boyer 1991, "Trigonometría y medición griegas", pág. 162.
84. Boyer 1991, "Renacimiento y decadencia de las matemáticas griegas", pág. 180.
85. Ore, Øystein (1988). Teoría de números y su historia. Courier Corporation. pp. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5. Consultado el 14 de noviembre de 2022 .
86. Singh, AN (enero de 1936). "Sobre el uso de series en las matemáticas hindúes". Osiris . 1 : 606–628. doi :10.1086/368443. JSTOR  301627. S2CID  144760421.
87. Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). "Uso de series en la India". Estudios en matemáticas y astronomía indias . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Singapur: Springer. págs. 438–461. doi :10.1007/978-981-13-7326-8_20. ISBN 978-981-13-7325-1.S2CID 190176726  .
88. Saliba, George (1994). Una historia de la astronomía árabe: teorías planetarias durante la edad de oro del Islam . New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0.OCLC 28723059  .
89. Faruqi, Yasmeen M. (2006). «Contribuciones de los eruditos islámicos a la empresa científica». Revista Internacional de Educación . 7 (4). Shannon Research Press: 391–399. Archivado desde el original el 14 de noviembre de 2022 . Consultado el 14 de noviembre de 2022 .
90. Lorch, Richard (junio de 2001). «Griego-árabe-latín: la transmisión de textos matemáticos en la Edad Media» (PDF) . Science in Context . 14 (1–2). Cambridge University Press: 313–331. doi :10.1017/S0269889701000114. S2CID  146539132. Archivado (PDF) desde el original el 17 de diciembre de 2022. Consultado el 5 de diciembre de 2022 .
91. Kent, Benjamin (2022). Historia de la ciencia (PDF) . Vol. 2. Biblioteca Digital Bibliotex. ISBN 978-1-984668-67-7.
92. Archibald, Raymond Clare (enero de 1949). "Historia de las matemáticas después del siglo XVI". The American Mathematical Monthly . Parte 2: Esquema de la historia de las matemáticas. 56 (1): 35–56. doi :10.2307/2304570. JSTOR  2304570.
93. Sevryuk 2006, págs. 101-109.
94. Wolfram, Stephan (octubre de 2000). Notación matemática: pasado y futuro. MathML y ​​matemáticas en la Web: Conferencia internacional MathML 2000, Urbana Champaign, EE. UU. Archivado desde el original el 16 de noviembre de 2022. Consultado el 3 de febrero de 2024 .
95. Douglas, Heather; Headley, Marcia Gail; Hadden, Stephanie; LeFevre, Jo-Anne (3 de diciembre de 2020). "El conocimiento de los símbolos matemáticos va más allá de los números". Revista de cognición numérica . 6 (3): 322–354. doi : 10.5964/jnc.v6i3.293 . eISSN  2363-8761. S2CID  228085700.
96. Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (octubre de 2017). "Guía de estilo de la AMS" (PDF) . American Mathematical Society . pág. 75. Archivado (PDF) del original el 8 de diciembre de 2022 . Consultado el 3 de febrero de 2024 .
97. Jansen, Anthony R.; Marriott, Kim; Yelland, Greg W. (2000). "Estructura constituyente en expresiones matemáticas" ( PDF) . Actas de la Reunión Anual de la Sociedad de Ciencias Cognitivas . 22. Universidad de California Merced . eISSN  1069-7977. OCLC  68713073. Archivado (PDF) del original el 16 de noviembre de 2022. Consultado el 3 de febrero de 2024 .
98. Rossi, Richard J. (2006). Teoremas, corolarios, lemas y métodos de demostración . Matemáticas puras y aplicadas: una serie de textos, monografías y tratados de Wiley. John Wiley & Sons . págs. 1–14, 47–48. ISBN 978-0-470-04295-3. OCLC  64085024  .​
99. "Usos más antiguos de algunas palabras de las matemáticas". MacTutor . Escocia, Reino Unido: Universidad de St. Andrews . Archivado desde el original el 29 de septiembre de 2022 . Consultado el 3 de febrero de 2024 .
100. Silver, Daniel S. (noviembre-diciembre de 2017). "El nuevo lenguaje de las matemáticas". The American Scientist . 105 (6). Sigma Xi : 364–371. doi : 10.1511/2017.105.6.364 . ISSN  0003-0996. LCCN  43020253. OCLC  1480717. S2CID  125455764.
101. Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (22 de diciembre de 1994). Modelado de métodos matemáticos y computación científica. Modelado matemático. Vol. 1. CRC Press. p. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1. Consultado el 16 de noviembre de 2022 .
102. Hennig, Christian (2010). "Modelos matemáticos y realidad: una perspectiva constructivista". Fundamentos de la ciencia . 15 : 29–48. doi :10.1007/s10699-009-9167-x. S2CID  6229200 . Consultado el 17 de noviembre de 2022 .
103. Frigg, Roman ; Hartmann, Stephan (4 de febrero de 2020). «Modelos en la ciencia». Stanford Encyclopedia of Philosophy . Archivado desde el original el 17 de noviembre de 2022 . Consultado el 17 de noviembre de 2022 .
104. Stewart, Ian (2018). "Matemáticas, mapas y modelos". En Wuppuluri, Shyam; Doria, Francisco Antonio (eds.). El mapa y el territorio: exploración de los fundamentos de la ciencia, el pensamiento y la realidad . Colección Frontiers. Springer. págs. 345–356. doi :10.1007/978-3-319-72478-2_18. ISBN . 978-3-319-72478-2. Consultado el 17 de noviembre de 2022 .
105. "La lista de verificación de la ciencia aplicada: Matemáticas". Entendiendo la ciencia . Universidad de California, Berkeley. Archivado desde el original el 27 de octubre de 2019. Consultado el 27 de octubre de 2019 .
106. Mackay, AL (1991). Diccionario de citas científicas. Londres: Taylor & Francis. pág. 100. ISBN. 978-0-7503-0106-0. Recuperado el 19 de marzo de 2023 .
107. Bishop, Alan (1991). "Actividades ambientales y cultura matemática". Enculturación matemática: una perspectiva cultural sobre la educación matemática . Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. págs. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3. Recuperado el 5 de abril de 2020 .
108. Shasha, Dennis Elliot ; Lazere, Cathy A. (1998). Fuera de sí: las vidas y los descubrimientos de 15 grandes científicos informáticos . Springer. pág. 228. ISBN 978-0-387-98269-4.
109. Nickles, Thomas (2013). "El problema de la demarcación". Filosofía de la pseudociencia: reconsideración del problema de la demarcación . Chicago: The University of Chicago Press. pág. 104. ISBN 978-0-226-05182-6.
110. Pigliucci, Massimo (2014). «¿Existen 'otras' formas de conocer?». Philosophy Now . Archivado desde el original el 13 de mayo de 2020. Consultado el 6 de abril de 2020 .
111. Ferreirós, J. (2007). "Ό Θεὸς Άριθμητίζει: el auge de la matemática pura como aritmética con Gauss". En Goldstein, Catalina ; Schappacher, Norberto; Schwermer, Joachim (eds.). La configuración de la aritmética a partir de las Disquisitiones Arithmeticae de CF Gauss . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 235–268. ISBN 978-3-540-34720-0.
112. Kuhn, Thomas S. (1976). "Tradiciones matemáticas y experimentales en el desarrollo de la ciencia física". Revista de historia interdisciplinaria . 7 (1). The MIT Press: 1–31. doi :10.2307/202372. JSTOR  202372.
113. Asper, Markus (2009). "Las dos culturas de las matemáticas en la antigua Grecia". En Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.). El manual de Oxford de la historia de las matemáticas . Oxford Handbooks in Mathematics. OUP Oxford. págs. 107–132. ISBN 978-0-19-921312-2. Consultado el 18 de noviembre de 2022 .
114. Gozwami, Pinkimani; Singh, Madan Mohan (2019). "Problema de factorización de enteros". En Ahmad, Khaleel; Doja, MN; Udzir, Nur Izura; Singh, Manu Pratap (eds.). Algoritmos y técnicas de seguridad emergentes . CRC Press. págs. 59–60. ISBN 978-0-8153-6145-9. OCLC  1082226900  .​
115. Maddy, P. (2008). «Cómo las matemáticas aplicadas se volvieron puras» (PDF) . The Review of Symbolic Logic . 1 (1): 16–41. doi :10.1017/S1755020308080027. S2CID  18122406. Archivado (PDF) del original el 12 de agosto de 2017. Consultado el 19 de noviembre de 2022 .
116. Silver, Daniel S. (2017). "En defensa de las matemáticas puras". En Pitici, Mircea (ed.). Los mejores escritos sobre matemáticas, 2016. Princeton University Press. págs. 17–26. ISBN 978-0-691-17529-4. Recuperado el 19 de noviembre de 2022 .
117. Parshall, Karen Hunger (2022). «La American Mathematical Society y las matemáticas aplicadas desde los años 1920 hasta los años 1950: un relato revisionista». Boletín de la American Mathematical Society . 59 (3): 405–427. doi : 10.1090/bull/1754 . S2CID  249561106. Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2022 . Consultado el 20 de noviembre de 2022 .
118. Stolz, Michael (2002). "La historia de las matemáticas aplicadas y la historia de la sociedad". Synthese . 133 : 43–57. doi :10.1023/A:1020823608217. S2CID  34271623 . Consultado el 20 de noviembre de 2022 .
119. Lin, C. C. (marzo de 1976). "Sobre el papel de las matemáticas aplicadas". Avances en Matemáticas . 19 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(76)90024-4 .
120. Peressini, Anthony (septiembre de 1999). Aplicación de las matemáticas puras (PDF) . Filosofía de la ciencia. Actas de las reuniones bienales de 1998 de la Asociación de Filosofía de la Ciencia. Parte I: Documentos aportados. Vol. 66. págs. S1–S13. JSTOR  188757. Archivado (PDF) desde el original el 2 de enero de 2024 . Consultado el 30 de noviembre de 2022 .
121. Lützen, J. (2011). "Ejemplos y reflexiones sobre la interacción entre las matemáticas y la física en los siglos XIX y XX". En Schlote, KH; Schneider, M. (eds.). Las matemáticas se encuentran con la física: una contribución a su interacción en el siglo XIX y la primera mitad del siglo XX . Fráncfort del Meno: Verlag Harri Deutsch. Archivado desde el original el 23 de marzo de 2023. Consultado el 19 de noviembre de 2022 .
122. Marker, Dave (julio de 1996). «Teoría de modelos y exponenciación». Avisos de la American Mathematical Society . 43 (7): 753–759. Archivado desde el original el 13 de marzo de 2014. Consultado el 19 de noviembre de 2022 .
123. Chen, Changbo; Maza, Marc Moreno (agosto de 2014). Descomposición algebraica cilíndrica en la biblioteca RegularChains. International Congress on Mathematical Software 2014. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 8592. Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-662-44199-2_65 . Consultado el 19 de noviembre de 2022 .
124. Pérez-Escobar, José Antonio; Sarikaya, Deniz (2021). «Purificar las matemáticas aplicadas y aplicar las matemáticas puras: cómo una perspectiva tardía de Wittgenstein arroja luz sobre la dicotomía». Revista Europea de Filosofía de la Ciencia . 12 (1): 1–22. doi : 10.1007/s13194-021-00435-9 . S2CID  245465895.
125. Takase, M. (2014). "Las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas están inseparablemente entrelazadas: observación del análisis temprano del infinito". Un enfoque matemático para los problemas de investigación de la ciencia y la tecnología . Matemáticas para la industria. Vol. 5. Tokio: Springer. págs. 393–399. doi :10.1007/978-4-431-55060-0_29. ISBN 978-4-431-55059-4. Recuperado el 20 de noviembre de 2022 .
126. Sarukkai, Sundar (10 de febrero de 2005). "Revisitando la 'eficacia irrazonable' de las matemáticas". Current Science . 88 (3): 415–423. JSTOR  24110208.
127. Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). "Historia de la factorización de enteros" (PDF) . En Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (eds.). Criptografía computacional, aspectos algorítmicos de la criptografía, un tributo a AKL . London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. Cambridge University Press. págs. 41–77. Archivado (PDF) desde el original el 20 de noviembre de 2022 . Consultado el 20 de noviembre de 2022 .
128. "Curvas: Elipse". MacTutor . Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia. Archivado desde el original el 14 de octubre de 2022 . Consultado el 20 de noviembre de 2022 .
129. Mukunth, Vasudevan (10 de septiembre de 2015). «Más allá de la superficie de la relatividad de Einstein se encuentra una geometría quimérica». The Wire . Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2022. Consultado el 20 de noviembre de 2022 .
130. Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (noviembre de 1912). "La variedad espacio-temporal de la relatividad. La geometría no euclidiana de la mecánica y el electromagnetismo". Actas de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias . 48 (11): 389–507. doi :10.2307/20022840. JSTOR  20022840.
131. Borel, Armand (1983). "Matemáticas: arte y ciencia". The Mathematical Intelligencer . 5 (4). Springer: 9–17. doi : 10.4171/news/103/8 . ISSN  1027-488X.
132. Hanson, Norwood Russell (noviembre de 1961). "Descubrimiento del positrón (I)". Revista británica de filosofía de la ciencia . 12 (47). Prensa de la Universidad de Chicago: 194–214. doi :10.1093/bjps/xiii.49.54. JSTOR  685207.
133. Ginammi, Michele (febrero de 2016). "Evitar la cosificación: eficacia heurística de las matemáticas y la predicción de la partícula Ω". ^Estudios de historia y filosofía de la ciencia, parte B: Estudios de historia y filosofía de la física moderna . 53 : 20–27. Bibcode :2016SHPMP..53...20G. doi :10.1016/j.shpsb.2015.12.001.
134. Wagh, Sanjay Moreshwar; Deshpande, Dilip Abasaheb (27 de septiembre de 2012). Fundamentos de la Física. PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. pág. 3.ISBN​ 978-81-203-4642-0. Recuperado el 3 de enero de 2023 .
135. Atiyah, Michael (1990). Sobre la obra de Edward Witten (PDF) . Actas del Congreso Internacional de Matemáticos. pág. 31. Archivado desde el original (PDF) el 28 de septiembre de 2013. Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
136. "Curso 18C Matemáticas con Ciencias de la Computación". math.mit.edu . Consultado el 1 de junio de 2024 .
137. "Ciencia informática teórica". math.mit.edu . Consultado el 1 de junio de 2024 .
138. "Aplicaciones de las matemáticas discretas en la vida real". GeeksforGeeks . 8 de abril de 2024 . Consultado el 19 de mayo de 2024 .
139. Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; Mclaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (2017). "Una prueba formal de la conjetura de Kepler". Foro de Matemáticas, Pi . 5 : e2. doi :10.1017/fmp.2017.1. hdl : 2066/176365 . ISSN  2050-5086. S2CID  216912822. Archivado desde el original el 4 de diciembre de 2020 . Consultado el 25 de febrero de 2023 .
140. Millstein, Roberta (8 de septiembre de 2016). "Probabilidad en biología: el caso de la aptitud" (PDF) . En Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher (eds.). The Oxford Handbook of Probability and Philosophy . págs. 601–622. doi :10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27. Archivado (PDF) del original el 7 de marzo de 2023 . Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
141. Véase, por ejemplo, Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme environnement, vie et sociétés» 15-17 de enero de 1996, CNRS
142. Bouleau 1999, págs. 282-283.
143. Bouleau 1999, pág. 285.
144. "1.4: El modelo depredador-presa de Lotka-Volterra". Matemáticas LibreTexts . 5 de enero de 2022. Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2022 . Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
145. Salsburg, David (17 de agosto de 1992). "Comentario" (PDF) . El uso de métodos estadísticos en el análisis de estudios clínicos . 46 : 17.
146. Consejo Nacional de Investigación (2003). "8". Más allá de la frontera molecular: desafíos para la química y la ingeniería química. NAP.edu. pp. 71–73. doi :10.17226/10633. ISBN 978-0-309-16839-7. Número de identificación personal  25032300.
147. "Modelos de catástrofes (propiedad)". content.naic.org . Consultado el 19 de mayo de 2024 .
148. "Ensayo MAM2001". ww2.amstat.org . Consultado el 19 de mayo de 2024 .
149. Hill, Mullica (7 de septiembre de 2022). "CÓMO SE UTILIZAN LAS MATEMÁTICAS EN LA PREVISIÓN DEL TIEMPO". mathnasium.com . Consultado el 19 de mayo de 2024 .
150. "Uso de modelos matemáticos para investigar la habitabilidad planetaria" (PDF) . NASA . Consultado el 19 de mayo de 2024 .
151. Edling, Christofer R. (2002). "Matemáticas en sociología". Revista Anual de Sociología . 28 (1): 197–220. doi :10.1146/annurev.soc.28.110601.140942. ISSN  0360-0572.
152. Batchelder, William H. (1 de enero de 2015). "Psicología matemática: historia". En Wright, James D. (ed.). Enciclopedia internacional de las ciencias sociales y del comportamiento (segunda edición) . Oxford: Elsevier. págs. 808–815. ISBN 978-0-08-097087-5. Recuperado el 30 de septiembre de 2023 .
153. Zak, Paul J. (2010). Mercados morales: el papel fundamental de los valores en la economía. Princeton University Press. pág. 158. ISBN 978-1-4008-3736-6. Recuperado el 3 de enero de 2023 .
154. Levin, Jonathan; Milgrom, Paul (septiembre de 2004). Introducción a la teoría de la elección (PDF) .
155. Kremer, Michael; Rao, Gautam; Schilbach, Frank (2019). "Capítulo 5 Economía del desarrollo conductual". Manual de economía del comportamiento: aplicaciones y fundamentos (PDF) . Vol. 2.
156. "Matemáticas". mdpi.com .
157. "Kondratiev, Nikolai Dmitrievich | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com . Archivado desde el original el 1 de julio de 2016. Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
158. "Mathématique de l'histoire-géometrie et cinématique. Lois de Brück. Chronologie géodésique de la Bible., por Charles LAGRANGE et al. | La página de libros en línea". libros en línea.library.upenn.edu .
159. "Cliodinámica: una ciencia para predecir el futuro". ZDNet. Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2022. Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
160. Sokal, Alan ; Jean Bricmont (1998). Tonterías de moda. Nueva York: Picador. ISBN 978-0-312-19545-8.OCLC 39605994  .
161. "La engañosa estadística de desempleo de Biden – FactCheck.org".
162. "Modelos macroeconómicos modernos como herramientas para la política económica | Banco de la Reserva Federal de Minneapolis". minneapolisfed.org .
163. Balaguer, Mark (2016). "Platonismo en metafísica". En Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2016). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archivado desde el original el 30 de enero de 2022. Consultado el 2 de abril de 2022 .
164. Véase White, L. (1947). "El lugar de la realidad matemática: una nota al pie antropológica". Filosofía de la ciencia . 14 (4): 289–303. doi :10.1086/286957. S2CID  119887253. 189303;También en Newman, JR (1956). El mundo de las matemáticas . Vol. 4. Nueva York: Simon and Schuster. pp. 2348–2364.
165. Dorato, Mauro (2005). "¿Por qué las leyes son matemáticas?" (PDF) . El software del universo: una introducción a la historia y la filosofía de las leyes de la naturaleza . Ashgate. pp. 31–66. ISBN 978-0-7546-3994-7Archivado (PDF) del original el 17 de agosto de 2023 . Consultado el 5 de diciembre de 2022 .
166. Mura, Roberta (diciembre de 1993). "Imágenes de las matemáticas en manos de profesores universitarios de ciencias matemáticas". Educational Studies in Mathematics . 25 (4): 375–85. doi :10.1007/BF01273907. JSTOR  3482762. S2CID  122351146.
167. Tobies, Renate ; Neunzert, Helmut (2012). Iris Runge: una vida en la encrucijada de las matemáticas, la ciencia y la industria. Springer. pág. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. Consultado el 20 de junio de 2015. [E]n primer lugar, es necesario preguntarse qué se entiende por matemáticas en general. Ilustres eruditos han debatido este asunto hasta ponerse colorados, y sin embargo no se ha llegado a un consenso sobre si las matemáticas son una ciencia natural, una rama de las humanidades o una forma de arte.
168. Ziegler, Günter M. ; Loos, Andreas (2 de noviembre de 2017). Kaiser, G. (ed.). "¿Qué son las matemáticas?" y por qué deberíamos preguntar, dónde deberíamos experimentarlas y aprenderlas, y cómo enseñarlas . Actas del 13.º Congreso Internacional de Educación Matemática. Monografías ICME-13. Springer. pp. 63–77. doi :10.1007/978-3-319-62597-3_5. ISBN 978-3-319-62596-6.(Secciones "¿Qué son las matemáticas?" y "¿Qué son realmente las matemáticas?")
169. Mura 1993, págs. 379, 381.
170. Brown y Porter 1995, pág. 326.
171. Strauss, Danie (2011). «Definición de las matemáticas». Acta Academica . 43 (4): 1–28 . Consultado el 25 de noviembre de 2022 .
172. Franklin, James (2009). Filosofía de las matemáticas. Elsevier. pp. 104-106. ISBN. 978-0-08-093058-9. Recuperado el 20 de junio de 2015 .
173. Cajori, Florian (1893). Una historia de las matemáticas. American Mathematical Society (reimpresión de 1991). pp. 285–286. ISBN 978-0-8218-2102-2. Recuperado el 20 de junio de 2015 .
174. Devlin 2018, pág. 3.
175. Saunders Maclane (1986). Matemáticas, forma y función . Springer., página 409
176. Brown, Ronald ; Porter, Timothy (1995). "La metodología de las matemáticas". The Mathematical Gazette . 79 (485): 321–334. doi :10.2307/3618304. JSTOR  3618304. S2CID  178923299. Archivado desde el original el 23 de marzo de 2023 . Consultado el 25 de noviembre de 2022 .
177. Hamami, Yacin (junio de 2022). «Rigor matemático y demostración» (PDF) . The Review of Symbolic Logic . 15 (2): 409–449. doi :10.1017/S1755020319000443. S2CID  209980693. Archivado (PDF) del original el 5 de diciembre de 2022 . Consultado el 21 de noviembre de 2022 .
178. Peterson 1988, p. 4: "Algunos se quejan de que el programa de computadora no puede verificarse adecuadamente" (en referencia a la prueba de Haken-Apple del Teorema de los Cuatro Colores )
179. Perminov, V. Ya. (1988). "Sobre la fiabilidad de las pruebas matemáticas". Filosofía de las matemáticas . 42 (167 (4)). Revue Internationale de Philosophie: 500–508.
180. Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). "Percepciones de los docentes sobre el currículo oficial: resolución de problemas y rigor". Revista Internacional de Investigación Educativa . 93 : 91–100. doi :10.1016/j.ijer.2018.10.002. S2CID  149753721.
181. Endsley, Kezia (2021). Matemáticos y estadísticos: una guía profesional práctica. Guías profesionales prácticas. Rowman & Littlefield. págs. 1–3. ISBN 978-1-5381-4517-3. Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
182. Robson, Eleanor (2009). "La educación matemática en una escuela de escribas de la Antigua Babilonia". En Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.). El Manual de Oxford de la Historia de las Matemáticas . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-921312-2. Consultado el 24 de noviembre de 2022 .
183. Bernard, Alain; Proust, Christine ; Ross, Micah (2014). "La educación matemática en la Antigüedad". En Karp, A.; Schubring, G. (eds.). Manual sobre la historia de la educación matemática . Nueva York: Springer. págs. 27–53. doi :10.1007/978-1-4614-9155-2_3. ISBN 978-1-4614-9154-5.
184. Dudley, Underwood (abril de 2002). "El primer libro de texto de matemáticas del mundo". Math Horizons . 9 (4). Taylor & Francis, Ltd.: 8–11. doi :10.1080/10724117.2002.11975154. JSTOR  25678363. S2CID  126067145.
185. Subramarian, F. Pedagogía india y resolución de problemas en la antigua Thamizhakam (PDF) . Conferencia de Historia y Pedagogía de las Matemáticas, 16-20 de julio de 2012. Archivado (PDF) del original el 28 de noviembre de 2022. Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
186. Siu, Man Keung (2004). "El plan de estudios oficial de matemáticas en la antigua China: ¿cómo estudiaban los candidatos para el examen?". Cómo aprenden matemáticas los chinos (PDF) . Serie sobre educación matemática. Vol. 1. págs. 157–185. doi :10.1142/9789812562241_0006. ISBN 978-981-256-014-8. Consultado el 26 de noviembre de 2022 .
187. Jones, Phillip S. (1967). "La historia de la educación matemática". The American Mathematical Monthly . 74 (1). Taylor & Francis, Ltd.: 38–55. doi :10.2307/2314867. JSTOR  2314867.
188. Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (agosto de 2012). "Introducción: la historia de la enseñanza de las matemáticas. Indicadores de los procesos de modernización en las sociedades". ZDM Mathematics Education . 44 (4): 457–459. doi : 10.1007/s11858-012-0445-7 . S2CID  145507519.
189. von Davier, Matthias; Foy, Pierre; Martin, Michael O.; Mullis, Ina VS (2020). "Examinando las diferencias entre los datos de eTIMSS y los datos de Bridge: una mirada a los efectos del modo de administración a nivel de país". Resultados internacionales de TIMSS 2019 en matemáticas y ciencias (PDF) . Centro de estudios internacionales TIMSS y PIRLS , Escuela Lynch de Educación y Desarrollo Humano y Asociación Internacional para la Evaluación del Logro Educativo . p. 13.1. ISBN 978-1-889938-54-7. Archivado (PDF) del original el 29 de noviembre de 2022 . Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
190. Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (marzo de 2012). "Factores cognitivos sociales, apoyo y compromiso: los intereses matemáticos de los adolescentes tempranos como precursores de la elección de una carrera" (PDF) . The Career Development Quarterly . 60 (1): 2–15. doi :10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x. Archivado (PDF) desde el original el 22 de noviembre de 2023 . Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
191. Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter, Manuela (2018). "Enfoque sobre la ansiedad matemática". Investigación en psicología y gestión del comportamiento . 11 : 311–322. doi : 10.2147/PRBM.S141421 . PMC 6087017 . PMID  30123014. 
192. Yaftian, Narges (2 de junio de 2015). "La perspectiva de los procesos creativos de los matemáticos". Procedia – Ciencias sociales y del comportamiento . 191 : 2519–2525. doi : 10.1016/j.sbspro.2015.04.617 .
193. Nadjafikhah, Mehdi; Yaftian, Narges (10 de octubre de 2013). "La fachada de la creatividad y la creatividad matemática". Procedia – Ciencias sociales y del comportamiento . 90 : 344–350. doi : 10.1016/j.sbspro.2013.07.101 .
194. van der Poorten, A. (1979). "Una prueba que Euler pasó por alto... Prueba de Apéry de la irracionalidad de ζ(3)" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 1 (4): 195–203. doi :10.1007/BF03028234. S2CID  121589323. Archivado (PDF) desde el original el 6 de septiembre de 2015 . Consultado el 22 de noviembre de 2022 .
195. Petkovi, Miodrag (2 de septiembre de 2009). Famosos rompecabezas de grandes matemáticos. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. xiii-xiv. ISBN 978-0-8218-4814-2. Consultado el 25 de noviembre de 2022 .
196. Hardy, GH (1940). Disculpa de un matemático. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. Consultado el 22 de noviembre de 2022 .Véase también Apología de un matemático .
197. Alón, Noga; Goldston, Dan; Sárközy, András; Szabados, József; Tenenbaum, Gérald; García, Stephan Ramón; Zapatero, Amy L. (marzo de 2015). Alladi, Krishnaswami; Krantz, Steven G. (eds.). "Reflexiones sobre Paul Erdős sobre el centenario de su nacimiento, Parte II". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 62 (3): 226–247. doi : 10.1090/noti1223 .
198. Véase, por ejemplo, la afirmación de Bertrand Russell : «Las matemáticas, correctamente consideradas, poseen no sólo verdad, sino belleza suprema...» en su Historia de la filosofía occidental , 1919, pág. 60.
199. Cazden, Norman (octubre de 1959). «Intervalos musicales y proporciones numéricas simples». Revista de investigación en educación musical . 7 (2): 197–220. doi :10.1177/002242945900700205. JSTOR  3344215. S2CID  220636812.
200. Budden, FJ (octubre de 1967). «Matemáticas modernas y música». The Mathematical Gazette . 51 (377). Cambridge University Press ({CUP}): 204–215. doi :10.2307/3613237. JSTOR  3613237. S2CID  126119711.
201. Enquist, Magnus; Arak, Anthony (noviembre de 1994). «Simetría, belleza y evolución». Nature (revista) . 372 (6502): 169–172. Código Bibliográfico : 1994Natur.372..169E. doi :10.1038/372169a0. ISSN  1476-4687. PMID  7969448. S2CID  4310147. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2022. Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
202. Hestenes, David (1999). "Grupos de simetría" (PDF) .
203. Bender, Sara (septiembre de 2020). "El test de Rorschach". En Carducci, Bernardo J.; Nave, Christopher S.; Mio, Jeffrey S.; Riggio, Ronald E. (eds.). La enciclopedia Wiley de personalidad y diferencias individuales: medición y evaluación . Wiley. págs. 367–376. doi :10.1002/9781119547167.ch131. ISBN . 978-1-119-05751-2.
204. Weyl, Hermann (2015). Simetría . Biblioteca de Ciencias de Princeton. Vol. 47. Princeton University Press. pág. 4. ISBN. 978-1-4008-7434-7.
205. "Conferencia 8: Simetría de traslación | Física III: Vibraciones y ondas | Física". MIT OpenCourseWare .
206. Bradley, Larry (2010). «Fractales: caos y fractales». stsci.edu . Archivado desde el original el 7 de marzo de 2023. Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
207. "Autosimilitud". math.bu.edu . Archivado desde el original el 2 de marzo de 2023 . Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
208. Kissane, Barry (julio de 2009). Popular mathematics. 22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers. Fremantle, Australia Occidental: Asociación Australiana de Profesores de Matemáticas. pp. 125–126. Archivado desde el original el 7 de marzo de 2023. Consultado el 29 de diciembre de 2022 .
209. Steen, LA (2012). Matemáticas hoy: doce ensayos informales. Springer Science & Business Media. pág. 2. ISBN 978-1-4613-9435-8. Recuperado el 3 de enero de 2023 .
210. Pitici, Mircea (2017). Los mejores escritos sobre matemáticas de 2016. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8560-2. Recuperado el 3 de enero de 2023 .
211. Monastyrsky 2001, p. 1: "La Medalla Fields es ahora indiscutiblemente el premio más conocido y más influyente en matemáticas".
212. Riehm 2002, págs. 778–782.
213. "Medalla Fields | Unión Matemática Internacional (IMU)" . www.mathunion.org . Archivado desde el original el 26 de diciembre de 2018 . Consultado el 21 de febrero de 2022 .
214. "Medalla Fields". Historia de las matemáticas . Archivado desde el original el 22 de marzo de 2019 . Consultado el 21 de febrero de 2022 .
215. "Índice de premios y distinciones". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor . Archivado desde el original el 17 de diciembre de 2021. Consultado el 20 de febrero de 2023 .
216. "Acerca del Premio Abel". El Premio Abel. Archivado desde el original el 14 de abril de 2022. Consultado el 23 de enero de 2022 .
217. «Premio Abel | premio de matemáticas». Enciclopedia Británica . Archivado desde el original el 26 de enero de 2020. Consultado el 23 de enero de 2022 .
218. "Premio Medalla Chern" (PDF) . mathunion.org . 1 de junio de 2009. Archivado (PDF) del original el 17 de junio de 2009 . Consultado el 21 de febrero de 2022 .
219. "Premio Medalla Chern". Unión Matemática Internacional (IMU). Archivado desde el original el 25 de agosto de 2010. Consultado el 23 de enero de 2022 .
220. "El premio Leroy P Steele de la AMS". Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia. Archivado desde el original el 17 de noviembre de 2022. Consultado el 17 de noviembre de 2022 .
221. Chern, SS; Hirzebruch, F. (septiembre de 2000). Premio Wolf en Matemáticas. doi :10.1142/4149. ISBN 978-981-02-3945-9Archivado del original el 21 de febrero de 2022 . Consultado el 21 de febrero de 2022 .
222. "El premio Wolf". Fundación Wolf . Archivado desde el original el 12 de enero de 2020. Consultado el 23 de enero de 2022 .
223. "Problemas de Hilbert: 23 y matemáticas". Fundación Simons . 6 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 23 de enero de 2022. Consultado el 23 de enero de 2022 .
224. Feferman, Solomon (1998). "Decidir lo indecidible: Luchando con los problemas de Hilbert" (PDF) . A la luz de la lógica. Serie Lógica y computación en filosofía. Oxford University Press. pp. 3–27. ISBN 978-0-19-508030-8. Consultado el 29 de noviembre de 2022 .
225. "Los problemas del Premio del Milenio". Instituto Clay de Matemáticas. Archivado desde el original el 3 de julio de 2015. Consultado el 23 de enero de 2022 .
226. "Problemas del Milenio". Instituto de Matemáticas Clay. Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2018. Consultado el 23 de enero de 2022 .

Fuentes

• Bouleau, Nicolás (1999). Filosofía de las matemáticas y de la modelización: Du chercheur à l'ingénieur . El Harmattan. ISBN 978-2-7384-8125-2.
• Boyer, Carl Benjamin (1991). Una historia de las matemáticas (2.ª ed.). Nueva York: Wiley . ISBN 978-0-471-54397-8.
• Cresswell, Julia (2021). Diccionario Oxford de orígenes de palabras (3.ª edición). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-886875-0.
• Devlin, Keith (2018). Conjuntos, funciones y lógica: Introducción a las matemáticas abstractas (3.ª edición). CRC Press. ISBN 978-1-4822-8602-1.
• Eves, Howard (1990). Introducción a la historia de las matemáticas (6.ª ed.). Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). Una historia del álgebra abstracta. Springer Science & Business Media. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0-8176-4684-4. LCCN  2007932362. OCLC  76935733. S2CID  117392219. Consultado el 8 de febrero de 2024 .
• Kline, Morris (1990). El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506135-2.
• Monastyrsky, Michael (2001). «Algunas tendencias en las matemáticas modernas y la medalla Fields» (PDF) . CMS – Notas – de la SMC . 33 (2–3). Sociedad Matemática Canadiense. Archivado (PDF) desde el original el 13 de agosto de 2006 . Consultado el 28 de julio de 2006 .
• Oakley, Barbara (2014). Una mente para los números: cómo sobresalir en matemáticas y ciencias (incluso si reprobaste álgebra) . Nueva York: Penguin Random House. ISBN 978-0-399-16524-5Una mente para los números.
• Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders (ed.). "Álgebra asociativa lineal". American Journal of Mathematics . 4 (1–4) (Revisión corregida, ampliada y anotada con un artículo de 1875 de B. Peirce y anotaciones de su hijo, CS Peirce, de la edición litográfica de 1872): 97–229. doi :10.2307/2369153. hdl : 2027/hvd.32044030622997 . JSTOR  2369153. Revisión corregida, ampliada y anotada con un artículo de 1875 de B. Peirce y anotaciones de su hijo, C. S. Peirce, de la edición litográfica de 1872. Google Eprint y como extracto, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint . Consultado el 17 de noviembre de 2020 ..
• Peterson, Ivars (1988). El turista matemático: instantáneas de las matemáticas modernas . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1953-3. OCLC  17202382  .​
• Popper, Karl R. (1995). "Sobre el conocimiento". En busca de un mundo mejor: conferencias y ensayos de treinta años . Nueva York: Routledge. Bibcode :1992sbwl.book.....P. ISBN 978-0-415-13548-1.
• Riehm, Carl (agosto de 2002). «La historia temprana de la Medalla Fields» (PDF) . Notices of the AMS . 49 (7): 778–782. Archivado (PDF) desde el original el 26 de octubre de 2006. Consultado el 2 de octubre de 2006 .
• Sevryuk, Mikhail B. (enero de 2006). «Book Reviews» (PDF) . Bulletin of the American Mathematical Society . 43 (1): 101–109. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01069-4 . Archivado (PDF) desde el original el 23 de julio de 2006 . Consultado el 24 de junio de 2006 .
• Whittle, Peter (1994). "Casi en casa". En Kelly, FP (ed.). Probabilidad, estadística y optimización: un tributo a Peter Whittle (anteriormente "Un camino realizado: El Laboratorio Estadístico de Cambridge hasta 1993 (revisado en 2002)" ed.). Chichester: John Wiley. págs. 1–28. ISBN 978-0-471-94829-2. Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2013.

Lectura adicional

• Benson, Donald C. (1999). El momento de la demostración: epifanías matemáticas . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8.
• Davis, Philip J. ; Hersh, Reuben (1999). La experiencia matemática (edición reimpresa). Boston; Nueva York: Mariner Books. ISBN 978-0-395-92968-1.Disponible en línea (se requiere registro).
• Courant, Richard ; Robbins, Herbert (1996). ¿Qué son las matemáticas?: Un enfoque elemental de las ideas y los métodos (2.ª ed.). Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510519-3.
• Gullberg, Jan (1997). Matemáticas: desde el nacimiento de los números . WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9.
• Hazewinkel, Michiel , ed. (2000). Enciclopedia de matemáticas . Kluwer Academic Publishers. – Versión traducida y ampliada de una enciclopedia matemática soviética, en diez volúmenes. También en edición de bolsillo, en CD-ROM y en línea. Archivado el 20 de diciembre de 2012 en archive.today .
• Hodgkin, Luke Howard (2005). Una historia de las matemáticas: desde Mesopotamia hasta la modernidad . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-152383-0.
• Jourdain, Philip EB (2003). "La naturaleza de las matemáticas". En James R. Newman (ed.). El mundo de las matemáticas . Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7.
• Pappas, Theoni (1986). El placer de las matemáticas . San Carlos, California: Wide World Publishing. ISBN 978-0-933174-65-8.
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [1856]. Gauss zum Gedächtniss . Sändig Reimpresión Verlag HR Wohlwend. ISBN 978-3-253-01702-5.