En álgebra abstracta, la teoría de anillos es el estudio de anillos —estructuras algebraicas en las cuales la adición y la multiplicación están definidas y tienen propiedades similares a aquellas operaciones definidas para los enteros—.
Debido a que estos tres campos (geometría algebraica, teoría de números algebraicos y álgebra conmutativa) están tan íntimamente conectados, es normalmente difícil y sin sentido decidir a qué campo pertenece un resultado particular.
Los anillos no conmutativos son bastante diferentes en sabor, ya que un comportamiento más inusual puede surgir.
Mientras la teoría se ha desarrollado por derecho propio, una tendencia bastante reciente ha buscado paralelizar el desarrollo conmutativo construyendo la teoría de ciertas clases de anillos no conmutativos de una manera geométrica como si fueran anillos de funciones sobre (no existentes) 'espacios no conmutativos'.
Los anillos conmutativos se parecen a los sistemas numéricos conocidos, y varias definiciones para los anillos conmutativos están diseñadas para formalizar las propiedades de los enteros.
En la teoría de anillo conmutativo, los números suelen ser reemplazados por ideales, y la definición del ideal primo intenta capturar la esencia de números primos.
Dominios de integridad, anillos conmutativos no triviales donde no hay dos elementos distintos de cero que multiplicados den cero, generalizan otra propiedad de los enteros y sirven como el dominio apropiado para estudiar la divisibilidad.
Los dominios de ideales principales son dominios integrales en los cuales cada ideal puede ser generado por un solo elemento, otra propiedad compartida por los enteros.
Esta correspondencia ha sido ampliada y sistematizada para traducir (y probar) las propiedades más geométricas de las variedades algebraicas en propiedades algebraicas de los anillos conmutativos asociados.
Alexander Grothendieck completó esto introduciendo esquemas, una generalización de variedades algebraicas, que pueden construirse a partir de cualquier anillo conmutativo.
Estos objetos son los "esquemas afines " (generalización de variedades afines), y un esquema general se obtiene "pegando" (por métodos puramente algebraicos) varios de estos esquemas afines, en analogía a la manera de construir un colector "pegando" los gráficos de un atlas.
Siguiendo el modelo de geometría algebraica, se han intentado recientemente definir geometrías no conmutativas basadas en anillos no conmutativos.
Estudia estructuras algebraicas abstractas representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales, y módulos de estudios sobre estas estructuras algebraicas abstractas.
En esencia, una representación hace un objeto algebraico abstracto más concreto describiendo sus elementos mediante matrices y las operaciones algebraicas en términos de adición matricial y multiplicación matricial, que es no conmutativa.
sobre un campo k tiene dimensión n. El teorema fundamental de la teoría de la dimensión establece que los siguientes números coinciden para un anillo local noetheriano
que es maximal en el sentido de que es imposible insertar un ideal primo adicional entre dos ideales de la cadena, y todas esas cadenas maximales entre
Prácticamente todos los anillos noetherianos que aparecen en las aplicaciones son catenarios.
Ratliff demostró que un dominio integral local noetheriano R es catenario si y sólo si para cada ideal primo
Conceptos estrechamente relacionados son los de profundidad y dimensión global.
En general, si R es un anillo local noetheriano, entonces la profundidad de R es menor o igual que la dimensión de R. Cuando se cumple la igualdad, R se llama anillo de Cohen-Macaulay.
Sin embargo, los anillos conmutativos pueden ser Morita equivalentes a anillos no conmutativos, por lo que la equivalencia de Morita es más gruesa que el isomorfismo.
La equivalencia de Morita es especialmente importante en topología algebraica y análisis funcional.
En teoría algebraica de números, R se tomará como el anillo de enteros, que es Dedekind y por tanto regular.
Por ejemplo, existen anillos simples que no contienen ideales propios no triviales (de dos lados), pero contienen ideales propios no triviales a la izquierda o a la derecha.
Existen varios invariantes para los anillos conmutativos, mientras que los invariantes de los anillos no conmutativos son difíciles de encontrar.
Por ejemplo, el nilradical de un anillo, el conjunto de todos los elementos nilpotentes, no es necesariamente un ideal a menos que el anillo sea conmutativo.
Existen, sin embargo, análogos del nilradical definidos para anillos no conmutativos, que coinciden con el nilradical cuando se asume conmutatividad.
El hecho de que el radical de Jacobson pueda verse como la intersección de todos los ideales maximales derechos (izquierdos) del anillo, muestra cómo la estructura interna del anillo se refleja en sus módulos.
Los anillos no conmutativos son un campo de investigación muy activo debido a su ubicuidad en las matemáticas.
Uno de los anillos estrictamente no conmutativos más conocidos son los cuaterniones.